System der Raumlehre: Nach den Prinzipien der Grassmann'schen ...

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SYSTEM

DER

RAUMLEHRE.

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NACH DEN PRINZIPIEN

DEB

GRASSMANN'SCHEN AUSDEHNÜNGSLEHRE

UND ALS EINLEITUNG IN DIESELBE

DARGESTELLT

VON

VICTOR _^HLEGEL ,

OBERLEHRER AM Ö*YMNASIUM ZU WAREN.

ZWEITER THEIL:

DIB ELEMENTE DER MODERNEN GEOMETRIE UND ALGEBRA.

LEIPZIG,

DRÜCK UND VERLAG VON B. G. TEÜBNER.

1875.

DIE ELEMENTE

DER

MODERNEN GEOMETRIE

UND ALGEBRA.

NACH DEN PRINZIPIEN

DER

GRASSMANN'SCHEN AÜSDEHNÜNGSLEHRE,

UND

MIT BERÜCKSICHTIGUNG VERWANDTER METHODEN

DARGESTELLT

VON

VICTOR SCHLEGEL,

OBERLEHRER AM GYMNASIUM ZU WAREN.

•'- LEIPZIG,

DRÜCK UND VERLAG VON B. G. TEÜBNEB.

1875.

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Vorrede.

Der vorliegende zweite Theil des „Systems der Baum-
lehre" sollte dem ursprünglichen Plane gemäss die Elemente
der Stereometrie nach denselben Grundsätzen und in der-
selben Darstellungsweise behandeln, wie der erste diejenigen
der Geometrie. — Dieser Theil würde demnach für die Wür-
digung der Grassmann'schen Werke dem ersten gegenüber
wenig neue Gesichtspunkte geboten haben. Da es aber vor
allem darauf ankam, und sich in der seit dem Erscheinen
des 1. Theils verflossenen Zeit als uothwendig herausstellte,
von dem Umfange des Gebietes, welchem die Vortheile der
Grassmann'schen Methoden zu Gute kommen, und von den
Fortschritten, welche diese Methoden auch gegenüber den
neusten Leistungen in der Geometrie repräsentiren, eine Vor-
stellung zu geben, so empfahl es sich für diesen Zweck mehr,
jene Methoden im Zusammenhange mit den Resultaten der
modernen Geometrie und Algebra darzustellen, und hierdurch
gleichzeitig den Wünschen desjenigen Theiles des mathe-
matischen Publicums nachzukommen, welches sich für jenen
Zusammenhang mehr interessirt, als für denjenigen mit den
Elementen des Euclid.

Während nämlich in früheren Jahren nur die durch jene
Methoden gewonnenen neuen Resultate in der Theorie der
höheren Curven und Flächen allgemeinere Aufmerksamkeit
erregt hatten , ist es neuerdings den warmen und nachdrück-
lichen Empfehlungen von Hankel und Clebsch gelungen,
auch für Grassmann's Hauptwerk, die „Ausdehnungslehre^^,
ein sich mehr und mehr steigerndes Interesse zu erwecken*).

*) Einen besonders beachtenswerthen Ausdruck giebt diesem In-
teresse die im 7. Bd. der Math. Annalen, S. 12 befindliche Stelle, welche
das Verhältniss der Forschungen von Grassmann und Möbius zu den
Leistungen der Zeitgenossen berührt

— VI —

Es lag aber auch ausserdem in der Natur der Sache^ dass
das durch die ganze neuere Mathematik sich hindurchziehende
Streben nach Vereinfachung der Methoden von selbst, wenn
auch auf Umwegen; mit der Zeit auf die Anschauungen
Grassmanns hinführen musste. Und so besteht denn auch
in der That zwischen den Methoden der modernen Geometrie
und Algebra und denjenigen der Ausdehnungslehre äusserlich
eine gewisse Aehnlichkeit*). — Diese Wahrnehmung aber
war es, welche zu dem Wunsche führte — und der erste,
welcher diesen Wunsch aussprach , war noch Clebsch selbst — :
dass das Verhältnisse in welchem die Grassmann'sche Aus-
dehnungslehre zu den neueren Methoden der analytischen
Geometrie und der modernen Algebra stehe , eine ausführliche
Darlegung erfahren möge.

Indem ich nun diese Aufgabe durch die vorliegende Ar-
beit zu losen suchte, stellte sich heraus, dass jene letzteren
Methoden , vom Standpunkte der Ausdehnungslehre behandelt,
eine doppelte Verbesserung erfahren.

Erstens leiden die Methoden der neueren analytischen
Geometrie und noch mehr die der modernen Algebra an dem
Uebelstande einer willkürlich aufgestellten Symbolik,
welche namentlich in der letzteren Wissenschaft dadurch
Verwirrung angerichtet hat, dass verschiedene Autoren zur
Bezeichnung desselben Gegenstandes verschiedene Ausdrücke
anwendeten. Jedem, sei er Studirender oder Lehrer, wird
hierdurch das Eindringen in den Gegenstand wesentlich er-
schwert. Wer z. B. der Reihe nach die einführenden Arbeiten
von Fiedler, Salmon und Clebsch studirt, wird genöthigt, in
jedem Buche eine neue Symbolik und neue Operationen zu
lernen. Es ist aber auch, abgesehen vom |)ädagogischen
Interesse, für das Gedeihen der noch jungen Wissenschaft
von hohem Werthe, dass dieselbe möglichst früh das Gewand
einer angemessenen Bezeichnungsweise anlege. Welchen nach-

*) Dass aber diese Aehnlichkeit, oder, wenn man will, Verwandt-
schaft, keineswegs ein ZufaU ist, sondern dass eine naturgemässe
Aasbüdung der in der Ausdehnungslehre liegenden Keime auch die
Lehren der modernen Algebra, und zwar in einem Gewände von noch
ungekannter Einfachheit liefert, das wird, wie ich hoffe, aus der Dar-
stellung des vorliegenden Buches ersichtlich sein.

— VII —

theiligen EinfLuss der Mangel einer solchen auf manche Zweige
der Mathematik ausgeübt hat^ davon giebt die Geschichte
dieser Wissenschaft die auffallendsten Beispiele. Trotzdem
scheint es fast^ als habe die Fülle von Thatsachen^ mit wel-
cher uns die neuere Mathematik überschüttet hat^ das Interesse
an einer zweckmässigen Form allmälig zurücktreten lassen. —
An die Stelle jener willkürlichen Symbolik tritt nun im vor-
liegenden Buche eine aus den Prinzipien der Ausdehnungs-
lehre mit Nothwendigkeit sich ergebende, deren Anwendung
ihren Nutzen sofort darin äussert, dass (ebenso wie im ersten
Theile) aus den Formeln die entsprechenden geometrischen
Beziehungen ohne Mühe abgelesen werden können.

Dieser Vortheil hängt zusammen mit der Beseitigung
eines zweiten üebelstandes, an welchem die Anwendui^en der
Analysis und der modernen Algebra auf die Geometrie leiden.
Dieser beruht in der Verwendung der Coordinaten,
welche nicht nur den geometrischen Gebilden fremd sind,
sondern auch eine oft unerträgliche Weitläuftigkeit der For-
meln im Gefolge haben und deren geometrischen Sinn völlig
verdunkeln. Esv ist aber bekanntlich gerade eine Eigen-
thümlichkeit der Grassmann'schen Methoden, dass die geo-
metrisch zu deutenden Formeln keine Coordinaten enthalten,
sondern nur Punkte , Geraden und Curven , deren Beziehungen
durch die Formeln unmittelbar ausgedrückt werden.

Was den behandelten Stoff betrifft^ so wurde im Ganzen
das Gebiet der Ebene und in ihr dasjenige der Curven 2. Gra-
des (wie im 1 . Theile) nicht überschritten. Eine Ausnahme
war nur nöthig in der Theorie der Determinanten und der
damit zusammenhängenden Uebersicht über die Eigenschaften
der Functionen. Hier musste die Untersuchung, um mit den
bisherigen Darstellungen Schritt zu halten, allgemein (mit
n Variablen) geführt werden. — Es ist ferner in einer Reihe
von Anmerkungen vergleichenden und erläuternden Inhalts
das Verhältniss der Ausdehnungslehre zur modernen Geometrie
und Algebra ausführlicher erörtert, und eine Anzahl von neuen
Gesichtspunkten, unter denen sich verschiedene Gegenstände
zeigen, begründet worden. Wenn aus dem Mangel solcher
Vergleichungen dem ersten Theil dieses Werkes in den „Jahrb.

— VIII

üb. d. Fortschr. d. Math/^ ein Vorwurf gemacht worden ist,
so scheint mir derselbe gegenstandlos, da dieser Theil doch
nur die Lehren der elementaren Geometrie umfasste, welche
bisher bei allen Leistungen auf dem Gebiete der modernen
Geometrie und Algebra in dem Grade leer ausgegangen ist,
dass zwischen der Geometrie der Schule und derjenigen der
TJniversität eine Kluft besteht, welche allseitig anerkannt und
bedauert, doch bisher nicht ausgefüllt wurde. Wenn aber an
derselben Stelle gesagt wird, der von solchen Vergleichen
abgelöste Vortrag des Grassmann'schen Ideenganges muthe
dem Leser zu, Grassmann's Methoden als die absolut vor-
trefflichen zu betrachten, so sehe ich nicht ein, wie der rein
objective, von allen Seitenblicken freie Vortrag alter Lehren
in neuem Gewände dem unbefangenen Leser etwas anderes
zumuthet, als zu prüfen, ob das Gewand zu den Lehren auch
passe. Zu Vergleichungen bot eben der behandelte Stoff gar
keine Veranlassung. Und schliesslich : wird nicht eine solche
Vergleichung stets zu Gunsten der von einem Verfasser vor-
getragenen Anschauung ausfallen? Welchen Zweck hätte es
wohl, eine Lehre aufzustellen und zu begründen, von der
man selbst im Voraus überzeugt wäre, dass sie durch andre
schon bestehende übertroffen würde? Mit dem Anspruch,
irgend einen Fortschritt, sei es nach Inhalt oder nach Form,
zu repräsentiren, tritt schliesslich jede wissenschaftliche Publi-
cation auf. Ob aber die Grassmann'sche Ausdehnungslehre
nur noch dazu da ist, nach einer Vergleichung mit anderen
Methoden ; allenfalls mit dem Bedauern , dass sie nicht früher
ihre Wirkung geäussert habe, ad acta gelegt zu werden, oder
ob sie auch gegenwärtig noch weiterer Ausbildung werth, und
fähig sei, nutzbringend in den Entwickelungsgang der Wissen-
schaft einzugreifen, das ist eine Frage, die sich nicht in drei
Zeilen beantworten lässt, auch nicht auf Grund meiner nur
einführenden Schriften, sondern erst nach gründlichem Stu-
dium der Grassmann'schen Original werke, welches anzuregen
der hauptsächliche Zweck der ersteren ist. — Das Eine nur
dürfte aus den bisherigen Anwendungen der Ausdehnungs-
lehre auf die Gebiete des Baumes hervorgehen: dass sie den
kürzesten und bequemsten Zugang zu den Resultaten der
älteren wie der neueren Geometrie und Algebra eröffiiet, ein

— IX —

Umstand; welcher für alle diejenigen, welche in diese Gebiete
erst eindringen wollen, beachtenswerth sein dürfte.

Wenn das vorliegende Buch seinen Lesern eine Ueber-
zeugung von diesen Vortheilen verschaffen, und sie zu weite-
rer Hebung der in der „Ausdehnungslehre" ruhenden Schätze
anregen sollte, dann würde ich den Zweck desselben für er-
reicht halten. In diesem Sinne empfehle ich es der wohl-
wollenden Prüfung des mathematischen Publicums, mit dem
Wunsche, dass die unvermeidlichen Un Vollkommenheiten in
der Darstellung, deren Berichtigung ich jederzeit mit Dank
entgegennehmen werde, nicht dem Gegenstande selbst zur
Last gelegt werden mögen.

Waren, im September 1875.

V. SchlegeL

Inhalt.

Einleitung.

Seite

1. üeberaicht 1

1. Die unbestimmt (unendlich) entfernten Punkte

und Geraden.

2. Ableitung des unendlich fernen Punktes — 3. Seine Identität
mit der Strecke. — 4. Die unendlich ferne Gerade als Parallelogramm 1

2. Das involutorische System der gleichweit

entfernten Punkte.

6. Der Abstand zweier Geraden. — 6. Der Abstand zweier Punkte
auf der Kreislinie und auf der Geraden. — 7. Der Fall des gleichen
Abstandes zwischen den Elementen eines Stralenbüschels und einer
Punktreihe 5

3. Die Curve als Function eines variablen Punktes.

8. Die Cnrve 1. Grades (gerade Linie). — 9. Die Curve 2. Gra-
des. — 10. Curven beliebigen Grades 13

4. Die Multiplication der Eaumgrössen.

11. Allgemeine Form des Productes. — 12. Symmetrische Mul-
tiplicationen. — 13. Circuläre Multiplicationen. — 14. Lineale Mul-
tiplicationen. — 15. Die vier speciellen Multiplications - Gattungen
der Raumlehre - 17

Erste Abtheilung.

Die Kegelschnitte als Resultate einer zusammen-
gesetzten Bewegung.

16. Uebersicht 27

1. Bewegungsgesetz ri + r2=r. — Die Ellipse.

17. Axen. Mittelpunkt. Brennpunkte. — 18. Tangente. — 19. Die
Tangenten aus einem Punkte. — 20. Hilfssätze. Anwendung der
inneren Multiplication. Directrix. Parameter. — 21. Specielle Sätze.
Polargleichung. Excentricität. — 22. Das umschriebene Parallelo-
gramm. Conjugirte Durchmesser 29

2. Bewegungsgesetz r^ — r^=^r, — Die Hyperbel.

23. Axen. Unendlich ferne Punkte. — 24. Mittelpunkt. Brenn-
punkte. — 25. Tangente und Asymptote. — 26. Die Tangenten aus
einem Punkte. Asymptotenwinkel. — 27. Anwendung der inneiren
Multiplication. Directrix. Parameter. — 28. Specielle Sätze. Polar-
gleichung. Excentricität. — 29. Das umschriebene Parallelogramm.
Conjugirte Durchmesser 41

3. Bewegungsgesetz r, + r2 == oo. — Die Parabel.

30. Axe. Unendlich ferner Punkt. Mittelpunkt. Brennpunkt. —
31. Tangente. — 32. Die Tangenten aus einem Punkte. Directrix.
Parameter. — 33. Specielle Sätze. Polargleichung 53

XI

Zweite Abtheilung.
Die Projectivität von Punkten und Linien.

Seite

34. Uebersicht 59

1. Halbirungspunkte und HalbirungslinieD.

35. Sätze über die Transversalen und die Halbirungslinien der
Winkel eines Dreiecks 60

2. Harmonische Punktreihen und Stralenbüschel.

36. Sätze über harmonische Punktreihen und Stralenbüschel . 62

3. Involutorische Punktreihen und Stralenbüschel.

37. Centrum und Brennpunkte der Involution. — 38. Sätze über
involutorische Punktreiben und Stralenbüschel 65

4. Involutorische Punkt- und Geraden-Vereine.

39. Definition und Sätze von involutorischen Punkt- und Ge-
raden-Vereinen. — 40. Sätze vom Sechseck und Sechsseit ... 69

5. Projectivische Punktreihen und Stralenbüschel.

41. Darstellung der Verwandtschafts-Beziehungen durch den Be-
griff des Quotienten im Gebiete der Geraden. — 42. Desgl. im Ge-
biete der Ebene. — 43. Specielle Verwandtschaften: Affinität,
Aehnlichkeit , Inhaltsgleichheit, Congruenz. — 44. Begriff der pro-
jecti vischen Punktreihen und Stralenbüschel. Gleichungen der
Projectivität. — 45. Verschiedene projectivische Punktreihen und
Stralenbüschel. Perspectivität 75

6. Projectivische Punkt- und Geraden-Vereine.

46. Begriff der projecti vischen Punkt- und Geraden -Vereine.
Gleichungen der Projectivität. — 47. Involution als epecieUer Fall
der Projectivität. AequianharmoDische Gebilde . 85

7. Das PascaTsche Sechsseit und das Brianchon'sche

Sechseck.

48. Definition des Pascarschen Sechsseits und des Brianchon'-
Bchcn Sechsecks. Der Brianchon'sche Punkt und die Pascarsche
Linie. Sätze. — 49. Weitere Sätze. Die Hesse'schen Geraden und
die Steiner'schen Punkte. — 60. Die 15 Schnittpunkte der Seiten
des Brianchon'schen Sechsecks. Die 60 Sechsecke der Seitenlinien
des Brianchon'schen Sechsecks. — 51. Die Hesse'schen Geraden
und Steiuer'schen Punkte der 60 Sechsecke und Sechsseite. Die
Hesse'schen Punkte und Steiner'schen Geraden 90

Dritte Abtheilung.
Die Lehre von den zusammengesetzten Grössen.

52. Uebersicht 104

I. Der Krei8.

l.Die aus zwei Kreisen ableitbare Reihe von Kreisen.

53. Der Kreis und sein Mittelpunkt. Punkt und Gerade als
specieller Fall des Kreises. Potenzlinie. Sätze vom Doppelabstand
und der Tangente. — 54. Das System der durch 2 Punkte gehen-
den Kreise. Orthogonalkreis. Imaginäre Schnittpunkte. Gentral-
punkte. — 55. Harmonische Pole und Polaren des Systems. —

56. Aehnlichkeitspunkte. Homologe Punkte und Secapten t . . 105

— XII —
2. Der aus drei Kreisen ableitbare Verein von Kreisen.

Seite

57. Das System der Kreise. Potenzpunkfc. Ortho^onalkreis.
Aehnlichkeitspunkte und Aehnlichkeitsaxen. — 58. Specielle Sätze
über Kreise, welche sich berühren. Aehnlichkeitspolaren. A polio-
nisches Problem 117

II. Determinanten.

1. Definition und allgemeine Eigenschaften der

Determinante.

59. Betriff und Eigenschaften der Determinante. — 60. Sätze
über die Determinante 121

2. Beziehungen zwische^n mehreren Determinanten.

61. Das Multiplicationstheorem. Erster (neuer) Beweis. — 62.
Zweiter Beweis. Transformation einer Determinante. — 63. Ortho-
gonale Substitution. — 64. Dritter Beweis des Multiplications-
theorems. Symmetrische und congruente Determinanten. Alter-
nirende Function 126

3. Unterdeterminanten.

65. Begriff der ünterdeterminante. Adjungirtes System. Reci-
proke Determinante. — 66. Eigenschaften der Reciprokal- Deter-
minante 135

4. Anwendungen auf die Theorie der Gleichungen.

67. Auflösimg eines Systems von n linearen Gleichungen mit

n Unbekannten. Erste Methode. Zweite Methode 138

68. Bestimmung der Besultante eines Systems von n homogenen
linearen Gleichungen mit n Unbekannten .140

69. Elimination einer Unbekannten aus 2 beliebigen Gleichungen
mit 2 Unbekannten, a) Sylvester's Methode. Elimination cc) mit-
telst äusserer, ß) mittelst innerer Multiplication. — 70. Sätze über
die Resultante. — 71. b) Modification der Bezout-Cayley' sehen
Methode "... 140

72. Die Functionaldeterminante eines Systems von p beliebigen
Gleichungen mit p Variablen. Ihre Darstellung als Potenzwerth
eines Quotienten. — 73. Sätze über die Functionaldeterminante . 145

74. Die H^se'sche Determinomte einer homogenen Function
n. Grades von p Variablen. Ihre Bezeichnung als Function. —
75. Sätze über die Hesse'sche Determinante. — 76. Die Hesse'sche
Determinante von p homogenen Functionen n. Grades von p Va-
riablen 150

III. Die räumliclien Functionen.

1. Allgemeine Eigenschaften und Beziehungen.

77. Verallgemeinerung der die Hesse'sche Determinante dar-
stellenden Formen . . . , 156

78. Üebersicht der in der aufgestellten allgemeinen Form ent-
haltenen speciellen Bildungen. Covarianten, Lineare Coordinaten-
Transformation. — 79. Invarianten. — 80. Concomitanten. Trans-
formation durch reciproke Substitution. — 81. Geometrische Be-
deutung der Variablen § einer Function. — 82. Contravarianten. 158

83. Bildimg der abgeleiteten Functionen, Erste Methode. All-
gemeine Regeln. — 84. Zweite Methode. Ueberschiebungen. —
85. Dritte Methode. Theile der Ueberschiebung. — 86. Vierte Me-
thode. Reduction von Ueberschiebungen complicirter Formen auf
solche niederer Formen .' . 166

— XIII —

"^ Seite

87. Eeduction einer Fomi auf Stammformen. Fall der durch
Coordinaten ausgedrückten Function. — 88. Fall der binären Form.

— 89. Fall der temären Form 172

2. Betrachtung der einzelnen räumlichen Functionen.

A. Gebiet der Geraden. Functionen 2. Stufe. (Binare Formen.)

a) Die Fi/mction 2. Grades. (Quadratische Form.)

a) Eine Function.

90. Allgemeine nnd canonische Formen der Function. Harmo-
nisches Centrum 1. Ordnung. — 91. Covarianten. Die Hesse'sche
Determinante. — " 92. Reduction auf die Stammformen .... 179

ß) Zwei Functionen.

93. Covarianten: 1) Die Hesse'sche Determinante. 2)DieFunction8-
detcrminante. — 94. Reduction auf die Stammformen. — 95. Die
Hesse'sche Determinante der Functionsdeterminante 184

y) Drei Functionen.

96. Die gemeinsame Co Variante der drei Functionen. — 97. Re-
duction auf die Stammformen 188

d) Vier und mehr Functionen.

98. Das Formensystem von n binären quadratischen Formen . 191

b) Die Function 3. Grades. (Cubische Form.)
a) Eine Function.

99. Allgemeine und canonische Formen der Function. Har-
monisches Centrum 1. und 2. Ordnung. — 100. Covarianten. Üeber-
sicht. Die Hesse'sche Determinante. — 101. Weitere Covarianten.

— 102. Reduction auf die Stammformen 192

j3) Zwei Functionen.

103. üebersicht der Covarianten. — 104. Reduction auf die
Stammformen 202

c) Die Function 4. Grades, (Biquadratische Form.)

105. Allgemeine und canonische Formen der Function. Har-
monisches Centrum 1. und 3. Ordnung. — 106. Covarianien. üeber-
sicht. Die Hesse'sche Determinante. — 107. Weitere Covarianten.

— 108. Reduction auf die Stammformen. — 109. Zwei abhängige
Formen. — 110. Discriminanten. — 111. Formensystem der Functio-
nen 5. und 6. Grades 204

d) Beziehungen zwischen den Covarianten einer oder mehrerer

Functionen n. Grades.

112. Allgemeine Methode. Beispiele 217

B. Gebiet der Ebene. Funotionen 3. Stufe. (Temäre Formen.)

Die Function 2, Grades. (Quadratische Form.)

a) Eine Function.

113. Allgemeine Form und geometrische Bedeutung der Function.

— 114. Canonische Formen. — 116. Sätze über Pol und Polare. —
116. Fortsetzung. — 117. Covarianten, Die Hesse'sche Determinante.

— 118. Die Discriminante.. — 119. Die unendlich fernen Gebilde
der Doppelgeraden und des Doppelpunktes. — 120. Reciproke
Sätze von den Seiten und Höhen eines Dreiecks. — 121. Contra-
varianten. Reciprokalcurve. — 122. Reduction auf die Stammformen 220

— XtV —

dettd
ß) Zwei Functionen.

123. Covarianten. — 124. Gontravarianten 240

y) Drei Functionen.

125. Covarianten, 1) Die gemeinsame Invariante. Schnittpunkte
und gemeinsame Tangenten zweier Kegelschnitte. Kegelschnitt-
büschel und Kegelschnittreihe 242

126. Die Ftmction y =^ Xa-]- (nß. Die Hesse'sche Determinante
von y, Berührung zweier Kegelschnitte. Die Contravariante von y.
— 127. Specielle Fälle der Function y, a) Concentrische Kegel-
schnitte. Asymptoten. — li8. b) Confocale Kegelschnitte. Brenn-
punkte 244

129. 2) Die gemeinsame Covariante. — 130. Contra Varianten . 249

Die Massbeziehumgen in der Ebene.

131. Der Neigungswinkel zweier Geraden, einer Geraden und
einer Ebene, zweier Ebenen. — 132. Der Abstand zweier Punkte,
eines Punktes und eines grössten Kugelkreises, zweier grösster
Kugelkreise auf der Kugelfläche. — 133. Der Abstand zweier Punkte,
eines Punktes und einer Geraden, zweier Geraden in der Ebene. 250

Anmerkungen allgemeinen und vergleichenden

Inhalts.

1. Ueber den unendlich fernen Punkt 3

2. Ueber den analytischen Ursprung der metrischen Relationen . 10

3. Ueber die Bezeichnungen ax^ und aJJ 17. 171

4. Ueber die Multiplicatiou der Baumgrössen 27

5. Ueber conjugirte Durchmesser 41

6. 'Einfügung der in diesem Buche behandelten Gegenstände in

das „System der Baumlehre** 59

7.' Ueber die Verallgemeinerung des Begriffes „Quotient** ... 76

8. Ueber die geometrische Bedeutung der imaginären Wurzeln
einer Gleichung 83

9. Vergleichung der verschiedenen Methoden zur Untersuchung
projectivischer Beziehungen 102

10. Ueber imafsfinäre Schnittpunkte von Kreisen 111

11. Ueber die Bedeutung des Systems der ursprünglichen Einheiten

für die Determinantentheorie • 126

12. Ueber die Methoden zur Auflösung eines^ Systems linearer
Gleichungen 138

13. Ueber die Beduction eines Systems von Functionen mehrerer
numerischer Variablen auf eine Function einer extensiven Va-
riablen 149

14. Ueber das Verhältniss der Ausdehnungslehre zur Methode der
modernen Algebra 172

15. Ueber einen Fundamentalsatz der modernen Algebra . . . 177

16. Ueber „unendlich ferne imaginäre Schnittpunkte** 233

17. Ueber die Bedeutung unendhch ferner Gebilde für die Theorie

der Beciprocität 235

Verzeichniss der erklärten Ausdrücke 258

Berichtigungen und Zusätze zum ersten Theil dieses Werkes . . xv

Berichtigungen und Zusätze
zum ersten Theile dieses Werkes.

S. 12, Z. 2 mues der Nenner des Bruches n statt 2 heissen.

S. 16, Z. 25 hinter „folgt" ist hinzuzufügen: ,,da das Product zweier
identischen Punkte stets einen Linientheil von der Grösse Null liefert."

S. 38, vor Nr. 70 ist einzuschalten: „Anm. Bei der Betrachtung
einer Strecke {A — B) konnten wir von der Bewegung (Schiebung eines
Punktes), durch welche die Strecke entstanden war, absehen, weil die
zwischen den Punktdifferenzen geltenden Formel^ gleichzeitig Be-
ziehungen zwischen Strecken, und zwischen Schiebungen ausdrückten,
so zwar, dass wir in den Sätzen nur den Ausdruck „Strecke'* durch
„Schiebung** zu ersetzen brauchen. — Dagegen drängt bei Betrachtung
des Winkels die Definition zu einer Unterscheidung zwischen „Winkel"
und „Drehung", so zwar, dass die Potenz t" die Drehimg, dagegen der
Exponent n den Winkel repräsentirt. Da nun die Verbindungen der
Exponenten um eine Bechnungsstufe tiefer stehen, als diejenigen der
Potenzen, so wird jeder Satz, der eine doppelte FormuliruDg (zwischen
den Potenzen oder den Exponenten) zulässt, auch einen doppelten
Wortausdruck gestatten, jenachdem man den Begriff der Drehung,
oder den des Winkels anwendet."

S. 38, Z. 22; S. 39, Z. 3; S. 40, Nr. 73, Z. 4; S. 43, Z. 1; S. 44, Nr. 80,
Z. 2 ; S.46, Z. 4 u. 8 ; S.48, Nr.87 ist statt „Winkel" zu setzen: „Drehung".

S. 39, Z. 2 von unten ist statt „Drehungen" und „einer Umdrehung"
resp. zu lesen: „Winkel" und „einem geschlossenen".

S. 43, Z. 2 ist statt „das Product" zu lesen: „die Summe", und auf
derselben Seite in Nr. 76 statt „der Quotient" : „die Differenz".

S. 44, Z. 2 ist statt „Drehung" zu setzen: „Sinne", und Z. 4 hinzu-
zufügen: „die zugehörigen Winkel dagegen wie positive und negative
Zahlen".

S. 44 ist statt der letzten 6 Zeilen zu setzen: „Anm. Die getheilte
Darstellung: einer JDrehtmg als Quotient zweier Geraden, und eines
Winkels als Vielfaches des als Einheit genommenen rechten Winkels,
der im Exponenten von i erscheint, hat zur Folge (wie schon oben
angedeutet), dass entweder die Vereinigung von Drehungen durch die
zweite, oder die von Winkeln durch die erste Bechnungsstufe aus-

— XVI —

geführt werden kann, jenachdem die eine oder die andere Betrachtungs-
weise gewählt wird. In der vorstehenden Darstellung laufen" . . .

S. 45^ Z. 6 ist \F wegzulassen, S. 49, Z. 4 y. unten, S. 50, Z. 20 u. 21
ist a^ und t" resp. durch m und n zu ersetzen. ^

S. 47, Z. 3 ist statt „(6 : aj)** zu setzen : „der beiden Geraden^^

S. 94, in der Figur ist die Strecke BA statt durch h zu bezeichnen
durch &i.

S. 106 kann aus der in Z. 6 stehenden Formel unmittelbar der Satz
abgelesen werden: Jedes einem Kegelschnitte eingeschriebene Sechseck
ist ein FascaVsches. Desgl. die Umkehrung und die reciproken Sätze.

S. 108 ist der vor Nr. 149 stehende Satz zu streichen.

S. 135. Das den Schluss der Nr. 169 bildende, mit den Worten:
„Vertauscht man*' etc. eingeleitete Verfahren ist dadurch zu ersetzen,
dass man ebenso wie in Nr. 168 statt der Punktdiüerenzen die Sinus
der Winkel einführt. Den Grund s. in der Anm. auf S. 60 des vor-
liegenden Buches.

'.V.V^'

r-

• V?

■'•>Ä

Einleitung.

Während im ,,System der Raumlehre" sich im Allgemei-1.
nen das Gesetz zeigte, dass jedes neue Gebilde ein vorher
betrachtetes als speciellen Fall in sich schloss^ so traten an
zwei Stellen Paare von Gebilden mit scheinbar gleichberech-
tigter Existenz auf. — Erstens erschienen Punkt und Strecke
(Nr. 26) als gleichberechtigte Gebilde 1. Grades, beide dar-
gestellt durch die Form a = Äjei + a2^2* — Zweitens er-
schienen Linieneinheit (Nr. 32) und Flächeneinheit (Nr. 152)
als gleichberechtigte Grössen 2. Stufe, beide dargestellt durch

Es ist zunächst das zwischen diesen Grössenpaaren be-
stehende Verhältniss der Unterordnung nachzuweisen. Sodann
ist noch eine dritte, in der „Raumlehre" gebliebene Lücke
auszufüllen, nämlich der Fortschritt darzulegen, welcher von
der Darstellung der Curven durch gleich Null gesetzte plani-
metrische Producte (Nr. 146) zu deqenigen durch gleich Null
gesetzte Funktionen (Nr. 164) stattfindet. Endlich ist der
systematische Zusammenhang der verschiedenen in der Raum-
lehre gebräuchlichen Multiplicationen darzulegen (Nr. 166).

- \i

/_>J

1. Die unbestimmt (unendlich) entfernten Funkte und

Geraden.

Die Grösse a ^^ a^e^ -|- a^e^ bedeutete einen Punkt mit 2.

dem Coefficienten {a^ -f- a^, sobald «j + «j ^ war; dagegen
das «1 -fache der Strecke (e^ — e^y sobald a, + «j =»0 war
(„Raumlehre" Nr. 26). — Im letzteren Falle kann jedoch die
Grosse a ebensowohl als Punkt mit dem Coefficienten be-
trachtet werden, und es fragt sich nur noch, welche Bedeu-
tung eine solche Punktgrösse hat.

Sohlegel, Elemente. 1

".1

Sei zur Vereinfachung

a, = — «2=1,
und A der einfache Punkt , sodass allgemein

(«1 + «2) ^ = «;

dann erhält man:

0.-4 = (6, — «2)7
und da

0.^ = = + ^ — ^

ist, so folgt:

oder:

(«1 - -4) = (^2 — A),

oder:

gl — -^ = 1
e^ — A

Hiernach müssten die Entfernungen des Punktes A von
den Punkten e^ und 62 gleich gross und gleich gerichtet sein.
Dieser Umstand kann niemals genau eintreten. Entfernt sich
aber A von den beiden Punkten e, und e^ ins Unendliche;

so nähert sich auch das Verhältniss ^* ~" . der Einheit als

e^ — A

Grenze. Denn schreibt man die letzte Gleichung:

e^ — A
oder:

= 1,

^1 — ^2

^ + 1 = 1,

SO sieht man, dass der Unterschied der beiden Seiten sich
mit wachsendem {e^ — A) der Null nähert.

Dasselbe findet auch statt , wenn der Punkt A fest bleibt,
dagegen e^ an den ebenfalls festen Punkt e^ heranrückt.

Im ersten Falle, wo c, — e^ eine endliche Strecke ist,
die wir durch b bezeichnen und als Masseinheit betrachten
können, ist es nicht möglich, die Strecke «j — -^ durch e zu
messen. Der nicht existirende, aber in unbestimmter Ent-
fernung denkbare Punkt A heisst daher der unbestimmt {un-
endlich) entfernte Punkt der Geraden^ und es ist für ihn

et— A 00 ,
c, — eji «

wo 00 die ebenfalls nicht existirende, aber in unbestimmter

I
I
I

~ 3 —
mg denkbare Grenze für das Wachsthum einer Zahl

zweiten Falle verschwindet die Masseinhelt selbst;
st 68 ebensowenig, wie vorher, möglich, die Strecke
durch £ zu messen. Der Punkte ist daher, obwohl
^er EntfemuDg existirend , wiederum nicht bestimm-
lem jeder Punkt der Geraden der Gleichung genügt:

e Strecke e^ — A bedeutet.

1 kann hiernach jede Strecke einer Geraden als un-3.

entfernten Punkt betrachten , und zwar diejenige

welche gleich der Masseinheit ist, als unendlich

'onkt mit dem Coefficienten 1^ jede andere Strecke

unendlich fernen Punkt mit irgend einem anderen
nten. — Umgekehrt lässt sich der unendlich entfernte
tets durch eine Strecke vertreten, nachdem erwiesen
1 beide Ausdrücke nur verschiedene Formen für den-
egriff sind (nämlich den Begriff einer mit dem Coeffi-

versehenen Grosse 1. Grades).

onacb haben zwei Linientheüe (Grössen 2. Grades) in
De stets eine Grösse 1. Grades (einen Punkt) gemein-
3 giebt nämlich stets zwei gleiche Grössen 1. Grades,
en die eine in dem ersten, die andere in dem zweiten
.eil liegt. Sind diese gleichen Grössen endliche Punkte,
en sie, um gleich zu sein, zusammenfallen („Räum-
er. 27. Anm.); d. h. die (sich schneidenden) Linien-
aben einen endlichen Punkt gemeinsam. Sind die
Grössen unendlich entfernte Punkte, d.h. Strecken,
m sie, um gleich zu sein, in parallelen Linien liegen;
t (parallelen) Linientheüe haben einen unendlich ent-
Punkt (eine Strecke) gemeinsam.

erkuiig. Die beiden gleichbedeutenden Ausdrucke „Strecke"
ndlicb femer Pnnkt" haben jeder seinen besonderen VorEng,
:Bte entepricbt nueerer Asscbauimg , nOtJügt uns aber zn einer

1 Anadrucksform für manche, von GrQeaen l.Gradea allgemein
Sätze. — Der zweite ermöglicht ea, Grüseeu vom 1. Grade
erachied ala Funkte zu bezeichnen, entzieht aich aber jeder
ag. — Daher findet dei zweite seine Erklärung durch den
od ist DDT als ein, freilich oft nnentbehrlioher, Stellvertreter

— 4 -

desselben anzusehen. — Der hier entwickelte Zusammenhang zwischen
Strecke und Punkt findet sich ähnlich schon bei Grassmann, Ausd.-
Lehre. IL 228.

Ebenso, wie die Strecke als specieller Fall des Punktes,
erscheint nun auch die Schiebung als ein specieller Fall der
Drehung. Denn wie die Drehung einer Geraden um einen
endlichen Punkt eine neue Gerade erzeugte, welche mit der
vorigen diesen endlichen Punkt gemeinsam hatte, so liefert
die Drehung der Geraden um ihren unendlich fernen Punkt
eine neue Gerade, welche diesen unendlich fernen Punkt mit
ihr gemeinsam hat, also ihr parallel ist. Es kann daher die
Schiebung der Geraden als Drehung um ihren unendlich fer-
nen Punkt bezeichnet werden, und die Grösse dieser Drehung
wird dargestellt durch die Grösse der Schiebung.

4. Eine ganz analoge Untersuchung lässt sich nun über
„Linientheil" und „Parallelogramm" anstellen.

Die Grösse a = a^^j -j- ^2^29 worin e^ und ßj zwei gleich
lange und gleich gerichtete Linientheile sind, stellt (nach
„Raumlehre" Nr. 129) einen Linientheil oder ein Parallelo-
gramm dar, je nachdem a^ + «j ungleich oder gleich Null,
Das Parallelogramm kann hiernach als Linientheil mit dem
Coefficienten Null betrachtet werden. Es führt dann die
wörtliche Wiederholung der oben angestellten Rechnungen
zu dem Resultat, dass ein Linientheil mit dem Coefficienten
Null ein unendlich entfernter Linientheil ist. Bezieht sich diese
Entfernung auf einen anderen Linientheil, so hat der unend-
lich entfernte gleiche Richtung mit diesem; bezieht sie sich
dagegen auf einen Punkt, so ist die Richtung des unendlich
entfernten Linientheils unbestimmt, und man kann ihn als
irgend eine der Tangenten des aus dem gegebenen Punkte
mit unendlich grossem Radius beschriebenen Kreises sich
vorstellen.

Jedes Parallelogramm kann demnach als unendlich ent-
fernter Linientheil mit gleichem Coefficienten betrachtet wer-
den, und umgekehrt.

Demnach haben zwei Flächentheile (d. h. Ebenenstücke
oder Grössen 3. Grades) im Raum stets eine Grösse 2, Grades
(einen Linientheil) gemeinsam. Es giebt nämlich stets 2
gleiche Grössen 2. Grades, von denen die eine in dem ersten,

— o —

die andre in dem zweiten Flächenstücke liegt. Sind diese
gleichen Grössen endlich entfernte Linientheile, so müssen
sie^ um gleich zu sein^ in derselben Geraden liegen (^^Raum-
lehre'^ Nr. 30); d. h. die (sich schneidenden) Flächentheile
haben eine Gerade gemeinsam. Sind die gleichen Grössen
unendlich entfernte Linientheile^ d. h. Parallelogramme ^ so
müssen sie^ um gleich zu sein^ in parallelen Ebenen liegen
(„Raumlehre" Nr. 140); d. h. die (parallelen) Ebenen haben
eine unendlich ferne Gerade gemeinsam. — Endlich kann
noch die Schiebung einer Ebene als Drehung um ihre unend-
lich ferne Gerade betrachtet werden.

2. Das involutorische System der gleichweit entfernten

Funkte.

Wenn, wie wir soeben gefunden haben, die Schiebung 5.
ein specieller Fall der Drehung ist, so kann man auch die
gerade Linie als einen speciellen Fall der Kreislinie betrach-
ten, nämlich als eine Kreislinie, deren Mittelpunkt in unend-
liche Ferne gerückt ist. Dies folgt daraus, dass der End-
punkt einer sich schiebenden Strecke eine Gerade, derjenige
einer sich drehenden Strecke eine Kreislinie beschreibt.

In diesem Falle ist nun auch eine Strecke auf einer Ge-
raden der specielle Fall eines Kreisbogens, und es muss der
Ausdruck der Strecke durch ihre Endpunkte in dem Ausdruck
des Kreisbogens enthalten sein. Dieser Zusammenhang ist
zunächst darzulegen.

Es seien e^ und 62 zwei auf einander senkrechte Radien
eines Kreises, und (6^62) = 1.

Femer seien x und y zwei andre beliebige, vom Mittel-
punkte des Kreises ausgehende Strecken, und

Wenn dann -O* der Winkel zwischen x und y ist, so hat
man („Raumlehre" Nr. 154) folgende Beziehungen:

{xy) = (Ai/[*2 — ^12^*1) (^1^2)5

(a;|i/)= A,^, +^2f*2;

(Aj^2 — hl^i) = V^i^ + V • W?^\-l^ • sin ^\
(^1^1 + ^2^*2) = /V+~V . /^^T+T? . cos '^;

■.T-^

mithin:

0)

f sin 0* ==

6 —

^li"2 — h(^i

\

COS d'

Da nun der Richtungsunterschied der Strecken x und y
gleich 0* ist, wobei -9" nicht nur den Winkel sondern auch
den zugehörigen Bogen der Kreislinie bedeuten kann, so ist,
wenn man den Winkel, dessen Sinus m ist, mit arc. sin. m
(arcus sinus m) bezeichnet, und die entsprechende Bezeich-
nung arc. COS. n anwendet, dieser Bichtungsunterschied aus-
gedrückt durch

/&• = arc. sin.

= arc. COS.

Xifii + Xifii

Vh^ + ^2* • Vl^f + f*2*

Betrachten wir nun die Strecke y als constant, x als
variabel, so repräsentirt die Gleichung

(2) Aifi2 - ^2^*1=0

eine Strecke, welche mit y zusammenfällt, da sin -ö- == ist.
Und die Gleichung

(3) Aj^i + ^2^2 =

stellt eine Strecke vor, welche auf y senkrecht steht, da
COS -9* = ist.

Löst man endlich eine der Gleichungen für sin ^ und

cos %' nach -y- auf, so hat dieselbe, als gemischt quadratische

Gleichung, zwei Wurzeln,
und stellt daher zwei
Strecken dar, welche von
y um den Winkel -d* ab-
weichen. Der Winkel die-
ser beiden Strecken wird
also durch y halbirt, folg-
lich auch ihr Nebenwinkel
durch die auf y senkrechte Strecke. Daher sind die beiden,
durch eine der Gleichungen (1) dargestellten Strecken har-
monisch mit den durch (2) und (3) dargestellten.

Und lässt man in einer der Gleichungen 1) den Winkel
& sich ändern, so stellt diese Gleichung alle mit 2} und 3)
harmonischen Linienpaare dar, d. h. das ganze System von
involutorischen Paaren, dessen Doppelstralen (2) und (3) sind.

Bis jetzt war nur die Richtung einer Strecke bestimmt,
nicht aber ihre absolute Lange (gemessen durch e, oder e^).
Das letztere geschieht, indem noch zwischen Aj und X^ eine
Gleichung aufgestellt wird. Man bat dann zur Bestimmung
von A, und Xj erstens diese Gleichung, und zweitens den
aus den Gleichungen (1) resp. (2) oder (3) gezogenen Werth

£s sei zunächst 6

V + V=li ^' + /^,'=1.
Dann hegen die Endpunkte aller Strecken auf der Peripherie
des gegebenen Kreises, und & ist nicht nur (als Winkel be-
trachtet) der Bichtungsuuterschied der Strecken x und y, son-
dern auch (als Bogen betrachtet) die Entfernung ihrer End-
punkte auf der Kreislinie.

Wenn nun der Mittelpunkt des Kreises . auf der Strecke
(2) in unendhche Ferne rückt, während der andere Endpunkt
dieser Strecke fest bleibt, so geht die Kreislinie über in eine
Gerade, die auf (2) in deren Endpunkte senkrecht steht.
SämmÜiche, bisher durch den Mittelpunkt des Kreises gehende
Geraden stehen jetzt auf dieser Geraden in verschiedenen
Punkten senkrecht, und alle zwischen diesen Geraden be-
stehenden Gleichungen gelten auch (nach „Rauml." Nr. 132)
zwischen ihren Fusspunkten auf der aus dem Kreise ent-

m e, (2)

1)

Fig. S.

standenen Geraden. Die Gerade (3) rückt, von (2) aus ge-
rechnet, in unendliche Feme, dasselbe thut also auch ihr
Fusspunkt.

Wählen wir nun für alle Fusspunkte dieselbe Bezeichnung,

— 8 —

wie für die durch sie gehenden Geraden, so bezeichnen jetzt
die Gleichungen

zwei Punkte x und y, welche aus zwei anderen Punkten e^

und ^2 vermittelst der Zahlen A^A2fiift2 ^hgeleitet sind. Dem-
nach erscheint die Ableitung eines Punktes aus zwei Punkten
auf einer Geraden als specieller Fall der Ableitung einer
Strecke aus zwei zu einander senkrechten Strecken.

Die Gleichung (2) stellt jetzt einen Punkt vor, der mit
y zusammenfallt; die Gleichung (3) lautet, wenn man von
vornherein e^ und ^2 so annimmt, dass der Winkel dieser
Strecken durch (2) halbirt wird, dass also ftj = (I2 ist:

^1 + ^2 = 0-

Sie stellt daher eine Strecke oder den unendlich entfernten
Punkt der Geraden vor, wie schon vorhin gefunden. Beide
Punkte, (2) und (3), sind die Doppelpunkte der Involution,
deren Paare durch eine der Gleichungen (1) bestimmt werden.
Um diese letzteren Gleichungen, welche für die Invo-
lution von Linien galten, so zu transformiren, dass sie fQr
diejenige von Punkten gelten, erinnern wir uns („Rauml.^^
Nr. 168), dass das anharmonische Verhältniss zwischen vier
Geraden a, 6, c, d, mit den resp. numerischen Werthen a, ß,
y, tf, durch die Gleichung bestimmt wurde:

a . ß . ein (ba) a , S . sin (da)

ß ,y . sin {bc) '~~ y . S . Bin (dc)^

während die entsprechende Gleichung zwischen den Durch-
schnittspunkten dieser Geraden -4, B, C, D lautete:

(BC) ^* (DC)

Man hat also, um von der einen Relation den Uebergang
zur andern zu machen, nur jedesmal das Product der nume-
rischen Werthe zweier Strecken und des Sinus ihres Zwischen-
winkels mit dem äusseren Product ihrer Fusspunkte zu ver-
tauschen. Ersetzt man hiernach in der ersten der Gleichungen
(1) das Product j/\'^ + L^^ . ^^a,^ -|- ^^'^ . sin d^ durch (xy),
so lautet diese Gleichung nun

(xy) = A, ^2 — ^2^1 5
dieselbe giebt die Entfernung der beiden Punkte x und y an,

— 9 -

Fig. 3.

ebenso, wie oben der allgemeinere Ausdruck, für 9' den Rich-
tungsonterschied der beiden Geraden x und y bezeichnete.
Hierdurch ist nun die Entfernung zweier Punkte auf einer
Geraden als specieller Fall des Richtungsunterschiedes zweier
Geraden in einer Ebene nachgewiesen.

Denkt man sich, noch einmal zur Kreislinie zurück- 7.
kehrend, verschiedene Linienpaare, aa^ &&,..., welche alle
zu den Doppellinien
(mund^) der Involu-
tion harmonisch sind,
so ist m die Mittel-
richtung für jedes die-
ser Paare. Wenn dann
die Winkel der succes-
siven Stralen m, a, 6, c
. . . alle gleich %• sind,
unddasVerhältnissdes

Winkels (mp) zu d' eine ganze Zahl fc'ist, so ist jedes Stralen-
paar, dessen Winkel Jcd' ist, ein Doppelpaar der Involution
für die übrigen Stralen. Der Winkel Jc^ oder (mjp) (der rechte
Winkel) ist nun die Masseinheit für die Richtungsunterschiede
zweier beliebiger Geraden, und der ihm entsprechende Bogen
(der Quadrant) die Masseinheit für die Entfernung zweier be-
liebiger Punkte auf der Kreislinie.

Geht nun die Kreislinie in eine Gerade über, so ist M
der Mittelpunkt für alle Paare ÄÄ^ BB^ . . . , die Entfernungen
der successiven Punkte M, A, B, G , , . sind einander gleich,
und M und der in unendliche Feme gerückte Punkt P sind
die Doppelpunkte der Involution für alle jene Paare. Aber
auch jeder andere Punkt des Systems

C B A M Ai Bj C^

I I I I I I I i I

bildet mit P zusammen ein Paar von Doppelpunkten, sodass
in diesem Falle eine Masseinheit für die Entfernung zweier
Punkte nicht gegeben ist, sondern willkürlich angenommen
werden kann.

Es lässt sich hiemach überall auf einer Geraden die
Gleichheit zweier (anstossender) Strecken als harmonische
Beziehung ihrer Endpunkte auf ein Grundgebilde (den unend-

- 10 —

lieh entfernten Punkt) betrachten, wodurch überhaupt die
Geometrie des Masses auf einer Geraden der Geometrie der
Lage untergeordnet wird. Dieser Umstand hängt genau mit
dem Resultat des vorigen Abschnittes zusammen , wonach die
Strecke als specieller Fall des Punktes erschien. — Auch der
in die gegenwärtige Untersuchung eintretende unendlich
entfernte Punkt lässt sich leicht auf eine Strecke zurück-
führen. Wenn nämlich Ä, -4^, M, P harmonische Punkte sind,
so ist G,Rauml." Nr. 169)

(P — ^) = A(P — ^i); {Ä — M) = X{M—A^)
oder:

P{1 — X) = A — XÄ^] M{\ +X) = Ä + XÄi.

Wird nun A = 1 , d. h. rückt P in unendliche Ferne,

so ist

d. h. der unendlich ferne Punkt P ist gleichbedeutend mit
der Strecke A — A. ,

Anmerkung. Der Inhalt dieses Abschnittes fallt im Wesentlichen
zusammen mit der Theorie des analytischen Ursprungs der metrischen
Relationen, wie sie (nach Cayley) in den „Elem. d. neueren Geom.'^
von Fiedler S. 217 ff. gegeben ist. Doch sind einige Eunstausdrücke
weggelassen, die, auf die Gerade bezogen^ noch keine Bedeutung
haben. Der Uebergang von der vorliegenden Darstellung zu derjenigen
mittelst der modernen Algebra erfolgt durch die Substitutionen:

f*i=" ftyi + fty2; f 2 = yi^i + 72^2 .

Hierdurch gehen zunächst die Werthe von x und y über in:
Setzt man femer:

ft' + yi*-aii; fe* + y2'««22;
ftft + yiy2 = «i2>

so ist zunächst

Setzt mau endHch noch

so nehmen die in den Formeln (1) enthaltenen Ausdrücke folgende Ge-
stalt an:

- 11 -

fi' + Ci*— «i.yi' + 2i«„yiy, + oay,' = «y»
i.f 1 + »«(**= "iiiCiyi + ",i (iiVt + *iy.) + "nXtVt = «« ■ y

=- (*, e»)' ■ (i^iyi — x^yt)' = {xy)* .
In diesen Formeln bedeutet, wie auch aus der Rechnung erhellt, x.y
das algebraische , dagegen (xy) du äueaere Product der Gröasen x nnd y.
8eM man diese Werthe in den Formeln (1), (SJ, (3) ein, bo lauten
dieselben:

!►= ta^y) .

' .s* °^y ■

(8) C^y)-0:

(3) oa!.y = 0.

Man lann nun direct zeigen, dass (2) nnd (3) die Doppelelemente
der Involution für alle in einer der Gleichungen (1) enthaltenen Faara
sind. Zunächst sind für die beiden, durch

a!a!' = 0; px» —
ansgedriickten Paare die Doppelelemente der Involutian gegeben durch
die Gleichung

(<tx . I,) (ßx . t.) - (ax . »,) (ßx . »,) =

(«„ft. - "„Pii) «i" + («i,ß» - «„iJ.i) X,Xt + (or„(5„ - o«p„) a%' = 0.
Ist nun ßx* ein vollständiges Qaadrat, so bezeichnet es ein Paar zn-
sammenfatlender Elemente; und setzt mau fOr diesen Fall

Pii — yt*; ?»=- — j/iSj! ßn — yi'i
also

pa!» = {a!,y, — fl^y,)»-=0,
so geht die letzte Gleichung über in

{- «HVift— ''iiy.')a'i'+(''iiyi'-''My(*)«ia:i+(«iij'i'+"nyiyt)%'=-o
(a!iyi — yi%) [«««1^1 + «i, («iy.+ yiit.) + «i.a:,yil = 0.

Diese zerfbllt also in die Gleichungen (3) und (3); mithin bezeichnen
dieselben die Doppeletemente der Involution für die Paare a3^ ^
und P:b* = 0. Legt man statt dieser Paare die folgenden zn Gründe:

(« + 1P)3!' = 0; ßa? = Q,
so bleibt, wie leicht zu sehen, die Gleichung der Doppelelemente nn-
geändert; mithin sind, wennl sich ändert, auch alle durch (a-|-lß}iB*>^0
ansgedrQckten Paare mit den Doppelelementen harmonisch. Ersetzt
man schliesslich die Variable A durch # so, dase

^»

\

— 12

ay^ sin ^9" txy^ (^i2/2 — ^22/i)^ <^os 2^ ^

so geht die Gleichung (a'{- Xß) x^ = nach Auswahl in eine der For-
men (1) über.
Ist specieU

so sind die Strecken Si und £2 parallel, die Kreislinie geht in eine Ge-
rade über, und man kann setzen:

woraus folgt:

ax^=^{qXi—px2Y] ccy^^'iqyt—pyt)*;
ax.y=-:qxi — pxz)iqyi — pyz'^; (xy)==0.

•

Wenn nun die Fusspunkte aller Strecken auf der Geraden mit den-
selben Buchstaben, wie die Strecken bezeichnet werden^ so kann man
unter dieser neuen Voraussetzung (£| s^) = 1 setzen , und &• für sin d".
Man erhält also:

^^ Xjyj — X iyi

{qx^—pXi) {qyy--py2)

Wenn wir nun die Formel a; = iCi f 1 + ^2 ^2 ^^ folgender Gestalt
schreiben:

x = Xy^ {Si — «2) + (oJi + x^) ez,

oder da Xi + o?« = i ist,

X = Xi («1 — f 2) + f 2 ,

so sieht man, dass, wenn wir x^^^i setzen, dann Xy die Entfernung
der Punkte x und ^2 bedeutet, gemessen durch die Strecken-Einheit

(«1 — «2)-

Da der Funkt ax ,y = jetzt in unendliche Ferne gerückt ist, so

muss sein

Xi'. X2= p : q=^ OO'f

man kann also setzen:

^=1; g; = 0; x^=l', 2/2 = !-
Dann folgt:

^ = a?! — 2/1

wodurch der gewöhnliche Ausdruck der Entfernung zweier Punkte
(durch ihre Coordinaten) hergestellt ist.

Da endlich {x—y)=- {Xi — 2/1) («i - «2); (^ — 2/)y = (^1 — Vi) («1 ^2)
ist, so folgt:

(a;y)=.(aj, — 2/1)=.«-,

übereinstimmend n^it der Entwickelung des Textes.

Die grössere Einfachheit der letzteren erklärt sich daraus, dass die
dort befolgte Methode von selbst auf die canonische Form Xi* 4~ ^2^
führt, welche in der Anmerkung erst durch Transformation in die all-
gemeine ax^ verwandelt wurde.

irre als Funktion eines Toriablen Punktes.

Raumlehre" (143 ff.) ist eine Curte durch ein 8.
gesetztes planimetriseliea Product ausgedruckt
38 ist (146, 148—150) gezeigt worden, wie die-
L eine ZaMengleichung zwischen den (auf ein
em bezüglichen) Coordinaten des beweglichen
mdelt werden kann.

e, von welcher diese Zahlengleichung aussagte,
h Null sei, wurde später (164) eine Funktion
in genannt, und da diese Funktion vermittelst
ilen aus den algebraischen Prodncten der Goor-
eitet wurde (welche Producte hierbei als Ein-
1 Grades erschienen), so wurden dem entepre-
'ven als zusammengesetzte Grössen betrachtet.
1 wurde einerseits der Fortschritt gemacht, dass
eiche vorher nur als Bewegungeresultat eines
onkten und Geraden abhängigen Punktes er-
ihr in die Reihe der selbständigen geometrischen
t, und als allgemeineres Gebilde der geraden
rdnet wurde. — Andrerseits aber wurde ein
durch gemacht, dass die algebraische Gleichung,
neue Verhältniss der Ourve ausdrückte, mit den
ehaftet wurde, wodurch dieser neue Ausdruck
V,bhängigkeit von einem ihr ganz fremden Ele-
oordinatensystem , gerieth. Dahingegen hatte
sehe Product nur die zur Construction der Curve
Elemente nebst dem sie beschreibenden variablen
ten.

r Rückschritt fand dadurch statt, dass der eine
t des Productes durch mehrere variable Co-
1er Gleichung ersetzt wurde,
tmnach zunächst unsere Aufgabe, jenen Fort-
Ihren unter Vermeidung dieser Rückschritte,
ein aus den drei Einheiten e,Cjej abgeleiteter

funkt erstens auf der Geraden a liegt, so wird
kt durch die Gleichung

"1

— 14 —

(1) ax =

oder:

(2) x^ae^ + a?2ae2 + oa^cce^ = 0.

Nun ist

x^ = {x\ e^) ; a?2 = (a? I «2) 5 ^3 = (^ I ^3) »
daher:

ax = a^i (a^l^i) + cte2 (^[^2) + «^3 (^l^s) = 0.
Wenn ferner

(3) a = ai|6i + «2^2 + «3^3

ist, so hat man

(4) 61« = «!; e^cc^cc^] e^a = a^'^
folglich :

(5) ax = «i(ic|^i) + «2(^1^2) H" ^3(^1^3) = 0.

Man kann nun auf der rechten Seite dieser Gleichung
den gemeinsamen Factor x heraussetzen, vorausgesetzt, dass
man die Stellen, wo er herausgenommen ist, bezeichnet.
Wenn diese Bezeichnung durch Einsetzung des Buchstabens l
(Lücke) geschieht, so hat man

ax = [«1(^1^1) + «2(^1^2) + «3(^1^3)3 ^ ;

also

(6) a = a,(i|6i) + «2(^1^2) + «3Gk3).

Dieser Werth für a ist mit dem durch (3) gegebenen
identisch; denn die l sagen nur aus, dass, wenn a mit x multi-
plicirt wird, an Stelle jedes l ein x zu treten hat.*)

Setzt man in der Gleichung x^aey'\' x^cce^-^- x^ae^=^0
die oben gefundenen Werthe für ßj«, e^ccy ß,«, so erhält man
die gewöhnliche Gleichung der Geraden in homogenen Co-^
ordinaten :

(7) x^ Uy + x^a^ + ^TgÄa = 0.

9. • Diese Betrachtungen mögen nun zweitens erweitert wer-
den auf den Fall, dass x auf einer Curve 2. Grades liege.

*) Man kann auch, was für viele Untersuchungen bequemer ist, die
Lücke, statt durch Z, durch irgend eine extensive Variable, namentlich
durch X selbst bezeichnen; im letzteren Falle zeigt Formel (6), dass
dann a und ax (allgemein a und ao;*») dasselbe bedeuten. Von dieser
Bezeichnung wird später Gebrauch gemacht werden. — S. auch Mathem.
Ann. Bd. 7. S. 543 unten.

— 15 -

eichuDg einer solchen, durch die 5 Elemente
3, bestimmten Curre ist („Raumlehre" 147):

(xAbCäEx)^0,
man nach obigem Grundsätze die beiden Factoren
it, und durch l ersetzt:

ie immer das algebraische Product der Grössen x

itet.

Luen wir die ElammergtSsse mit a, sodass

a = (lAhCdEl) ,
Gleichung

ttx^ = 0,
inkt X auf der Curve liege. Ersetzt mau x durch
Üi, so fo^ weiter:

«»i'c,* -f- ax^e.^ -\- ax^e^
x^x^e^e^ -\- 20X2X36263 -\- aaxja^ie^ßi = 0.
lun analog der obigen Betrachtung:

« = «,, Ie,''' + ajjjCj* + «gjlcs'
2«nl(e.e,) + 2«„|(e,e3) + 2«3,|(e,e,),

= a.ei'; a^j -= a . e^^ ; «33 = 0.63*;

= a.(e,ej); «23 = « ■ (ejCa); «ji = «■ {«36,).

iiese Werthe und diejenigen für a;,, x^, x^ in der

ung ein, so folgt:

5 = «„ (a:|e,)^ + o:„(a:]ej)' + «ss (3^163)*

)i^le,) + 2a2Me,){x\e,) + 2a3,ix\e3){x\e,) = 0.

nidlich hier den Factor x^ auf der rechten Seite

bleibt:

.-«„(i|e,)' + «,i(i|«>)' + "..(!|«i)'
) (f\e,) + 2«„ {l\e,) (!| e,) + 2«„ (i|,,) (i|e,) _ 0.
ruck stimmt mit dem oben fSr a gegebenen toII-
irein, da (nach „Raumlehre" Mr. 143)

|(e,ej)=|Cp.|e,

lan in der Hauptgleichung nur die Werthe für
bc. ein, so lautet sie:

^%

— 16 —

(7) ^11^1 "T ^22^2 1 ^33^3

und dies ist die gewöhnliche Gleichung der Curven 2. Grades
in homogenen Coordinaten.

Es ergiebt sich nun aus diesen Betrachtungen, da«8 «
jetzt ebenso eine Curve 2. Grades repräsentirt, wie vorhin
eine Gerade. Und ebenso, wie ein Punkt aus drei Punkten
(Grössen 1. Grades und 1. Stufe), und eine Strecke aus drei
Strecken (Grössen 1. Grades und 2. Stufe) abgeleitet werden
konnte, so kann, wie die Ausdrücke für a zeigen, eine Curve
2. Grades aus 6 anderen Grössen 2. Grades und 2. Stufe, d. h.
aus 6 anderen Curven 2. Grades abgeleitet werden. Im vor-
liegenden Falle insbesondere sind diese 6 Curven die Linien-
paare des Dreiecks (^16263):

(^i ^2) f (^1 ^2) 5 fe %) f (fi2 ^3) 5 (^3 ^1) > \H ^1) 5
(^1 ^2) ; (^2 ^3) 5 \^2 ^3) ; (^3 ^1 ) 5 (^3 ^1 ) > (^1 ^2) 5
weil nämlich

I ^1 **** ^2^8 5 I ^2 ^"^ ^3^1 5 I ^3 '^^ ^1 ^2
ist.

Die Gleichung

ax^ =

genügt nun vollständig den im Anfang dieser Betrachtung
gestellten Anforderungen. Sie enthält einerseits die Curve a
als selbständige Grösse, unabhängig von den erzeugenden
Elementen A, h, C etc.; und diese Grösse a stellt sich durch
ihre Einfachheit der Geraden a an die Seite. Sie enthält
andrerseits ausser der Curve nur den sie beschreibenden Punkt
rr als einzige Variable, und es kann von ihr ebenso leicht
wie von dem planimetrischen Producte zu jeder Coordinaten-
gleichung übergegangen werden, nämUch vermittelst der
Gleichungen :

X == X^ 6^ -f- X262 ~f~ «^3 ^3 j

10. Die Betrachtungen der vorigen Nr. lassen sich nun sofort
auf Curven beliebigen Grades ausdehnen. Da (nach „ßauml."
Nr. 151) jede algebraische Curve n. Grades sich durch ein
planimetrisches Product ausdrücken lässt, welches den Factor
X nmaX enthält, so wird, wenn man x!^ heraussetzt, und das

i I

— 17 —

übrigbleibende, n Lücken enthaltende Product mit cc bezeich-
net, die Gleichung der Curve die Form annehmen:

ax^ = 0.

Man findet dann weiter, dass allgemein

cc (e^^ ^2*^3 / ^^^ ^111 • • • (jo)222 • • • • (9)333 • • • • (r)

ist, wo z. B. iti . . . . (jo) bedeutet, dass der Index 1 pmal zu
setzen ist, und wo

p -}- q -{- r =^n.

Diese Substitutionen, verbunden mita?=Ä'| ^1+^2 ^2 +^3 ^3?
verwandeln die Gleichung ax^ = in die allgemeine homp- .
gene Gleichung n. Grades zwischen x^y x^f x^.

Es ist endlich klar, dass dieselben Betrachtungen gelten,
wenn x statt aus drei, aus einer anderen Anzahl von Punkten
abgeleitet ist. Die Zahl dieser Punkte (Einheiten) ist jedes-
mal festzustellen, bevor man sich der Form ax^ bedient.

Anmerkung. Die im Yorsteheuden angewendete Bezeichnung
einer homogenen Funktion n, Grades durch ax^ findet sich zuerst in
einem Aufsatze von H. Grassmann in den „Göttinger Nachrichten" (1872
Nr. 28). Diese Bezeichnung ist ausser] ich von der durch Aronhold
eingeführten „symbolischen Bezeichnung" a^ kaum verschieden. Um
so grösser ist der in dem inneren Wesen der beiden Ausdrücke He-
gende Unterschied. Der letztere Ausdruck ist eben nur eines jener
zahbeiehen Symbole, welche die moderne Algebra erfindet, um die
jeweiligen Bedürfnisse nach einer abgekürzten Bezeichnung zu befrie-
digen , welche aber immer nur besonderen Zwecken dienen können , da
ihre Formen, dem Bedürfnisse des Augenblickes angepasst, jeder tie-
feren Begründung, und somit jedes inneren Zusammenhanges imter-
einander entbehren. •— Dahingegen ist der erste Ausdruck (ax^), wie
vorstehend gezeigt, ein aus den Prinzipien der Ausdehnungslehre
heraus gebildeter, und seine Form ist nicht eine willkürliche, sondern
eine nothwendige.

4. Die Multiplication der IBaumgrössen.

Nachdem mit der in der vorigen Untersuchung auftreten- 11..
den algebraischen Multiplication der Raumgrössen die Reihe
der in der Raumlehre auftretenden Multiplicationen erschöpft
ist, kommt es darauf an, auch für diese verschiedenen Ope-
rationen den systematischen Zusammenhang festzustellen.
Wenn die Untersuchung sich an dieser Stelle nur auf drei
Einheiten bezieht, so mag von vornherein bemerkt werden,

Schlegel, Elemente. 2

k ♦

- 18 —

»

dass in ihrem Gange durch Einführung einer beliebigen An-
zahl von Einheiten keine Aenderung- verursacht wird.

Wenn zwei Grössen a und h aus den Einheiten e^e^e^
durch die Gleichungen abgeleitet sind:

« = «1^1 + «2^2 + «3^3;

worin die Grössen a und ß reelle Zahlen sind, so verstehen
wir im Allgemeinen unter dem Producte {aV) den Ausdruck

(a6) = «1^1(^16,) + a^ßiiß^e^) + «1/^3(^1^3)

+ «2/*i(«2^i) + «2/52(^2^2) + «2/^3(^2^3)

+ «3/51(^3^1) + «3/^2(^3^2)+ a3/'3(^3^3)-
Besondere Arten von Multiplication werden nun durch

Aufstellung besonderer Bedingungsgleichungen zwischen den

Producten der Einheiten entstehen.

Die allgemeine Form einer solchen Bedingungsgleichung

ist

(1) «11(^1^1) + «12(^1^2) + «13(^1^3)

+ «2lfe^l) + «22(^2^2) + «23(^2^3)

+ «sife^i) 4- «32(^3^2) + «33(^3^3) = 0*).

Diese Form lässt sich nun durch Aufstellung gewisser,
von ihr zu erfdUender Forderungen specialisiren.

1.

12. a) Damit die Bedingungsgleichung (1) sowohl für positive
als flu: negative Werthe der Einheiten gelte, muss sie un-
geändert bleiben, wenn man einer der Einheiten (0. JB. e^)
überall das entgegengesetzte Zeichen giebt. Gleichzeitig mit (1)
muss also gelten:

(2) «11(^1^1) — «12(^1^2) — «13(^1^3)
— «21(^2^1) + «22 (^2 ^2) + «23(^2^3)

— «31 (^3^1) + «32(^3^2) + «33(^3^3) = 0-

(1) + (2) giebt:

(3) a, 1 {e^ e, ) + «22 (^2 ^2) + «33 (^3 ^3) + «23 (^2 ^3)
• + «32 (^3^2) = .

*) üeber die genügende Allgemeinheit dieser linearen Gleichung
vgl. den in der Anmerkung zu diesem Abschnitt citirten Aufsatz.

- 19 --
I — (2) giebt:

[4) «iiCeiCj) + ct2i(ejei) + «,3(^163) + «3,(6361) — 0.
Ersetzt man in (3) und (4) e^ durch — e^ , so folgt :

[5) a„(e,ei) + K^^ie^e^) + «33(^^3) - «23(^1%)

- «3^(636,) = 0.

[6) - a,j(e,ei) — Ö2,(Cje,) + «,3(6163) + «3,(636,) = 0.
I + (5) giebt:

[1) «11 (6,61) + a,,(ejej) + «33(6363) = 0.

t - (6) giebt:

[8) «iä(e|e,) + aa(ei6i) = 0.

Aus (8) erhält man durch circuläre Vertauschung der
lices 1, 2, 3 zwei weitere Gleichungen derselben Form, die
in sonst auch durch die Bechnungeu (3) — (5) und (4) -j- (6)
den würde.

Ersetzt mau in (7) und (8) e^ durch — e^, so bleiben diese
eicbungen uu geändert.

Soll demnach eine Multiplicatiou der in a) aufgestellten
rderung geniigen, so müssen ihre Bedingungsgleichungen
; Form der Gleichungen (7) und (8) haben.

b) Damit alle Einheiten von gleicher Bedeutung seien,
ISS eine jede Bedingungsgleichong uu geändert bleiben,
nn man darin eviei beliebige Einheiten (2. B. e, und e.^) mit
■ander vertauscht.

Gleichzeitig mit (7) und (8) müssen also folgende Glei-
iingen gelten, die man durch Yertauschuug von e, und Cj
i jenen erhält:

(9) «„(e,e,) ■+ ..„(.,«,),+ «„(6,%) - 0.
;iO) «„(«,«.)+>„ C£,e,)-0.

- (9) giebt:

;il) (a„ — ßjj) {e,e, ~ e^e^) = 0,

iraus durch circuläre Vereetznng der Indices zwei weitere,
1 VertauscLungen von gj mit e^, und Ton a, mit Cj ent-
rechende Gleichungen folgen.

(7) + (9) giebt;

(«11 + «la) («1«! + «2«!) + 2ci„(e,«3) — 0,

— 20 —

woraus man durch dasselbe Verfahren wie bei (11) noch ab-
leitet:

(«22 + «33) (^2^2 + ^3^3) + 2«!! (CiC,) = 0.
(«33 + «11) (^3^3 + ^1^1) + 2^22(^2^2) = 0.

Die letzteren drei Gleichungen geben addirt, mit Be-
rücksichtigung von (7):

(12) (a,i + «22 + «33) (^1^1 + «2^2 + ^3^3) = 0-
(8) + (10) giebt:

(13) («12 + «21) (^1^2 + ^2^1) = 0.
(8) — (10) giebt:

(14) («j^ _ a^j) (^e^e^ — e^e^) = 0.

Aus (13) und (14) folgen je zwei weitere Gleichungen
ebenso, wie aus (11).

Soll demnach eine Multiplication den in a) und b) auf-
gestellten Forderungen genügen., so müssen ihre Bedingungs-
gleichungen die Form der Gleichungen (11), (12), (13), (14)
haben.

Da jede dieser vier Gleichungen durch zwei verschiedene
Annahmen (nämlich durch Null-Setzung des einen oder des
anderen Factors) befriedigt werden kann, so giebt es im
Ganzen 2^ = 16 Gruppen von Annahmen, durch welche alle
vier Gleichungen befriedigt werden. Es giebt demnach 16
verschiedene Multiplicationsgattungen , welche den in a) und
b) gestellten Forderungen genügen. Und da diejenigen Be-
dingungsgleichungen, durch welche der erste (kein e ent-
haltende) Factor einer Gleichung gleich Null gesetzt wird,
zur Gharacterisirung:der Multiplication nichts beitragen, so
kann man sagen, dass die Bedingungsgleichungen jener 16
Multiplicationsgattungen gefunden werden, wenn man von
den vier Gleichungen:

(^i^i) — (^2^2) = 0.

(«1^1) + («2^2) + (^3^3) = 0.

(^l«2) + («2«l) = 0.
(«1^2) — («2«l) =

auf alle Arten entweder keine, oder eine, oder zwei, oder
drei, oder vier herausnimmt. Es giebt demnach

1 Muttiplication mit Bediagungsgleichungen.
4

1 » »4 »

Mau kann alle diese Multiplicationen mit dem Namen
symmetrische M. bezeichnen.

Da die aus den Einheiten abgeleiteten Grössen mit den 13.
Einheiten selbst von einerlei Beschaffenheit sind (und zwar
sowohl in der Raum- wie in der Zahlenlehre), so kann man
zur weiteren Characterisiruug einer Multiplication die For-
derung stellen, dass die ztvischen den Einheits- Produden be-
stehenden Sedingwngsgkichungen auch zwischen den aus ihnen
abgeleiteten Grössen gelten.

Beschränken wir diese Forderung vorläufig auf 2 Ein-
heiten. Dann sollen die vier Gleichungen:

(2) CjCj + e^^i ^ [^ Cj^j + Cj^i = «3^1 + t^ißj]

(3) e,e| = «2^2 {.= ^3^3]

(4) e,e, + 656^ + 6363 =

noch gelten,' wenn man statt e, und e^ resp. setzt:

Es ist

1) ab = ba; oder:

a^i^iCeiej) + a:ii/2(e,e,) + a;jj/|(e^e,) + x^y^ie^e^)
= x,y^{e^e^) + x^y^ie^e^i -\- x.,yi(e^e;) ^r x^y^ie^e^).
Da nach (1) e^e-^^ e^ei, so ist diese Gleichung identisch.

2) a6 + io = 0; oder:

2», 1/1(^1^1) + a^jj/jCejC^) + (a;,j/j + x^y^) (c,ej + ßjei) =. 0,
oder, da nach (2) (e^e^) -f (e^e,) = ist:

Da die Gleichung (2) anch bei beliebiger Vertauschung der
Einheiten besteht, so ist auch

~ 22 —

^13/1(^3^3) + ^2^2(^2 ^2) == ;
oder durch Subtraction dieser Gleichung von der vorigen:

d. h.

Es ist also die Gleichung (3) eine Folge von (2).

3) aa = 63^3; oder:

^3^3 ^^^ *^i (^1^1) I "^2 (^2^2) I ^1 '^2(^1 ^2 I" ^2^1) 5
oder, da nach (3) (e^e^) = (e^e^ = (^363) ist:

= {e^e^) (o^i^ + Xc^^ — 1) + ^ia?2(^i ^2 + ^2^1) •
Setzen wir hierin — e^ statt e^y so folgt:

■ = (^1^1) (^1^ + ^2^ — 1) — ^1^2 (^1^2 + ^2^1);
und durch Subtraction dieser Gleichung von der vorigen:

*^\ «^2 C^l ^2 I ^2 ^J/ ^^^ ^ »

d. h.

(61^2) + («2 61) = 0.

Es ist also aucL die Gleichung (2) eine Folge von (3). Mit-
hin können beide Gleichungen nur zusammen bestehen, und
sind gleichbedeutend.

4) aa •\- hh ■\- CjC, := 0; oder:

+ (a'ia'j + ViVi) (et «2 + ^261) + («363) = 0.
Nun ist nach (4)

(e, e,) + (Cj Cj) + (C3 63) = .

Diese Gleichimg Ton der Torigen subtrahirt giebt:

(*i* + yi^ — 1) (e, e,) + (»j^ + yj« _ i) (g^g^)

+ (^i«2 + ^1^2) («1^2 + «2^1) = 0.

Nun wird (4) nicht geändert, wenn man — Cj statt -|- Cj setzt;
also erhält man auch aus der letzten Gleichung die gleich-
zeitig mit ihr geltende:

(«1* + ^1^ — 1) (eie,) + (3^2^ + ^2* — 1) (6262)
— {XiXj + yjyj) («162 + e^e,) = 0.

Durch Subtraction der letzten beiden Gleichungen folgt:

(5) (Xi Xi 4- «/i ^2) (ei 62 + ßj Ci) = •

_ 23 ~
Durch Addition:

(',' + !/,' - 1) («,«,) + («," + y,' - 1) feo,) - 0. ■

Setzt man hierin e^ statt e, und subtrahirt, so folgt:

(ö) {«,' + ?/,'-l)(e,Ci-eje3) = 0.

Setzt man dagegen e, statt e, und subtrabirt, so folgt:

(7) (V + %'-!) (fijCj - e,e,) = 0.

Da die Geltung der Gleichungen (2) und (3) hier nicht vor-
ausgesetzt wurde, so folgt aus den Gleichungen 5) 6) 7);

(8) V + y/ = i;

Betrachtet man in diesen Gleichungen tfi und y^ als Unbekannte,
so findet man leicht, dass allen Gleichungen durch die Werthe

y, =. + a;j ; yt = ±x,
genügt wird. Demnach muss sein

Ia ^ x,e, + x^e.j ;
^l' + ^2* ^ 1 ■

Dieselben Werthe für y, und y^ hätte auch das combinirte
System (2) (3) geliefert.

Es genügen hiernach der in diesem Abschnitt aufgestell-
ten Forderung (daes die Bedingungsgleichungen der Multi-
plication fortbestehen, wenn man statt der Einheiten e, und e^
resp. die durch die Gleichungen (9) bestimmten Grössen a
und b setzt) nur noch 8 von den 16 symmetrischen Multi-
plicationsgattungen. Man erhalt die Bedingungsgleichungen
derselben, wenn man von den drei Systemen:

e,ej + c^Cf =0; CiCi ^ ejCj ■= «363
e,«! + CjCj + «363 =
auf alle Arten entweder keins, oder eins, oder zwei, oder
drei herausnimmt. Es giebt demnach

*) Diese ßleichunfi^D falleo aber weg, sobald n
(2) uud (3) eine Folge von (4) seien, eine Annahme, die als specieller
Fall des nächaten Abschnittes erscheinen wird.

- 24 -
1 Multiplication mit BedinguDgsgleichuugen.

^ ;> 79 ^ 9>

3 )f ;> 2 „

Man kann alle diese Multiplicatiouen mit dem Namen
drculäre M. bezeichnen.

Der Grund dieser Benennung liegt darin ; dass die Be-
dingnngsgleichungen dieser Multiplicationen ungeändert blei-
ben, wenn man zwei ihrer Einheiten circulären Äenderungen
unterwirft. (Vgl. „Raumlehre" Nr. 153.)

3.

14. Nehmen wir schliesslich an, dass die zwischen den Ein-
heits-Producten bestehenden Bedingungsgleichungen noch gel-
ten, wenn man statt irgend einer Einheit (z. B. <?,) eine aus
allen Einheiten abgeleitete Grösse a setzte sodass

Es seien die Bedingungsgleichungen der symmetrischen Multi-
plicationen mit denselben Nummern bezeichnet, wie im vori-
gen Abschnitt. Dann soll sein

1) ae^ == ^2^5 oder:

^1 (^1 ^2) + ^2 fe ^2) + ^3 fe Ö2) .

= ^ife^i) I ^2(^2^2) "I" ^3(^2^3)*
Da nun nach (1) e^e^ = e^e^^ e^e^ = 6363, so ist diese Glei-
chung identisch.

2) ae^ + ^2^ = O5 oder:

^\iß\^2 + ^2^1) + 2a?2(e2C2) + x^ie^e^ + e^e^) = 0.

Da nun nach (2) e^e^ + e^e^ = 0; e^^e^ + ^263 = 0, so folgt:

2x2(e^e^) = 0',
oder:

(e^e^) = 0.

Ebenso erhält man, von ae^-\-e^a = 0, oder ae, + e,a =
ausgehend :

(6363) = 0; (ei^i) = 0.

Man hat daher:

(^1^1) = («2^2) = («3 «3);

(^1^1) + (^2^2) + (03^ = 0;

- 25 —

d, h, die GleichuQgea (3) und (4) sind eine Folge der Glei-
chimgeti (2).

3) aa = CjCj = e^e^; oder:

e.,e^ = 6363 = a;,»(e,e,) + x^ie^e^ + ^(«3^3)
+ x^x^{t^e^ + e,e,) + x^x^ie^e^ + «36^) + »ja:, (Cgei + ^,63).
Da diese Gleichung für jeden Werth von x^, x^, % bestehen
muss, so folgt:

e, Ci = CjCj ■= 6363 •= ; ßj Ci + ej e^ + 6363 =» 0.
6161 + ^2^1 ^ ^i ^1^3 "i" ^3^1 ^ *^i *^ö, -|- CiCj = 0;
d. h. die Gleichungen (4) und (3) sind eine Folge der Glei-
chungen (3).

4) aa, + ejßj + e^e^ = 0; oder:

■ ^.He.e.) + {x^ + 1) Ce,e,) + {x^^ + 1) (63^3)
■\-x^x^{€ye^-\-e^e^-\-x^x^{e^e^-\-e^e^-\-x^x^(e^e^Art^e^=^.
Aus demselben Gniude wie bei 3) schliesst man, dass die
Gleichungen (2) und (3) eine Folge der Gleichungen (4) sind.
Es genfigen hiemach der in diesem Abschnitt aufgestell-
ten Forderung (dass die Bedingungsgleichuugen der Multi-
plication fortbestehen, wenn man statt irgend einer Einheit
eine aus allen Einheiten abgeleitete Grösse a setzt) nur noch
4 voti den 16 symmetrischen, oder von den 8 circularen
Multiplicationsgattnngeu. Man erhält die Bedingung^lei-
chungeu derselben, wenn man von den zwei Systemen:

e, gj =■= Cj e, ;
eiCj + Cj6| "=0; e|Ci = ejGj = ejgj; eie, + ^i^j + ^3^3 =* *^
auf alle Arten entweder keins, oder eins, oder zwei heraus-
nimmt. Es giebt demnach

1 Multiplication mit Bedingungsgleichungen.

2 „ „1
1 „ »2

Man kann alle diese Multiplicationen mit dem Namen
litmaU M. bezeichnen.

Der Grund dieser Benennimg liegt darin, dass die Be-
dingangsgleicbungen dieser Multiplicationen ungeändert blei-
ben, wenn man irgend eine ihrer Einheiten einer Unealen
Aenderung unterwirft. (Vgl, „Raumlehre" Nr. 31.)

n

r

26 -

4.

15. Die Unedlen Multiplicationen. — Von den vier hierher ge-
hörigen Gattungen kann diejenige ohne Bedingungsgleichungen
ausgeschlossen werden, da sie in der Raumlehre keine An-
wendung findet. Dasselbe gilt von derjenigen mit zwei Sy-
stemen von Bedingungsgleichungen, weil in ihr alle Producte
gleich Null sind. Es bleiben daher übrig:

1. Die algebraische Miiltiplication mit der Bedingung:

2. Die äussere Multiplication mit den Bedingungen:

Die Bildung ihrer Producte, auf Raumgrössen übertragen,
geschieht mit Hilfe des Lineals, und die Bewegung, welche
diesen Productbildungen entspricht, ist die Schiebung.

Die circulären Multiplicationen, — Von den acht hierher
gehörigen Multiplicationen sind die vier linealen bereits be-
trachtet. Von den übrigbleibenden finden zwei (mit den Sy-
stemen (2) (3) resp. (4)) keine Verwendung in der Raumlehre.
Die anderen (mit den Systemen (1) (2) (3) resp. (1) (4)) sind
dagegen bekannt; nämlich:

3. Die innere, Multiplication mit den Bedingungen:

^1 ^2 ^^^^ ^2 ^1 ^^^ ^5 ^1 ^1 *^^^ ^2 ^2 ^^^ ^3 ^3 •

4. Die complexe Multiplication mit den Bedingungen:

^1 ^2 '^^ ^2 ^1 ) ^1 ^1 "T" ^2 ^2 ^^^^ ^ •

Die letztere bezieht sich auf die Werthe:

^j = 1 ; e2=^ ifj
welche den Bedingungsgleichungen ebenso genügen, wie zwei
complexe Zahlen a + &i und 6 — ai, die man statt e, und Cj
setzt.

Die Bildung der Producte dieser beiden Multiplicationen,
auf Raumgrössen übertragen, geschieht mit Hilfe des Girhels,
und die Bewegung, welche diesen Productbildungen entspricht,
ist die Drehung.

Der oben gefundene Zusammenhang zwischen den Be-
wegungen der Schiebung und Drehung, wonach die erstere
eine besondere Art der letzteren war, findet sich in der

— 27 -

irtigea üntersachung bestätigt., indem die lineale
bilduDg, welche der Schiebung entspricht, als be-
Art der circulären erscheint, welche der Drehung
hi

lerkuug. Dieser Abeohnitt ist im Wesentlichen eine Bepro-
let Ton H. Grasamann in Crelle's Journal Bd. 49. S. 123 ff. ver-
ten AbhaadluDg: Sur les diff^rents genres de multipUcation.
ündamentale Bedeatung für die Baumlelire liegt darin, dau
aa Evidenteste die yoükommene Gleichberechtigung der beiden
wie der beiden circulären MultiplicationEgattungen zeigt. Ea
ntlich daa äussere Product seinem Ursprünge nach durchaus
ien von den iu der modernen Algebra angewendeten tym-
. Ausdrücken. Und wenn die letztere Wissenschaft sich mit
asdrflcken behelfeu mues, bo liegt der Grund darinj dass ihr
:iff der ursprünglichen Einheiten fehlt, welcher erforderlich
diejenigen Hilfsmittel zu entwickeln, die zu einer ejatemati-
handlung der Raumlehre unentbehrlich sind.

Erste Abtheilung.

[egelschnitte als Resultate einer zasammengeBetzten

Bswegimg.

tsprechend den vier soeben betrachteten Muliiplications- 16.
en giebt es vier Wege, welche in die Theorie der

einführen. Jeder dieser Wege beruht auf einer be-
n Auffasaiing der Curve und lehrt besondere Eigeu-
1 derselben kennen, — In zwei Fällen erscheint die
als Resultat einer Bewegung, und als abhängig von
k bewegenden Elementen, in swei fallen dagegen als

Gebilde, und unabhängig von anderen Gebilden. —
i Fällen handelt es sich um die Beziehungen des

zwischen der üurve und anderen Gebilden, in zwei
dagegen um Beziehungen der Lage. — Wie diese Fälle
mbiniren lassen, und welche Multiplicationen diesen
ationen entsprechen, ist aus folgendem Schema zu

28 —

S) des Masses

9

o der Lage

»

Die Curve als:
Resultat der Bewegung

1. Complexe Mult.

3. Aeussere Mult.

fertiges Gebilde.

2. Innere Mult.

4. Algebraische Mult.

Hieraus erklärt es sich, dass dieselbe Curve im System
der Raumlehre an verschiedenen Stellen auftritt (z. B. a. a. 0.
der Kreis in Nr. 89—105 mit complexerj in Nr. 150 mit ämse-
rer, in Nr. 161 — 163 mit innerer, in Nr. 165 mit algebraischer
Multiplications-Methode; die Kegelschnitte in Nr. 147 ff. und
176 mit äusserer y in Nr. 172 mit algebraischer Multiplication).

Es sollen nun in dieser Abtheilung die wichtigsten, unter
Anwendung der complexen (und der inneren) Multiplication
ableitbaren Eigenschaften der Curven 2. Grades entwickelt
werden. *)

Zur Erzeugung des Kreises dient eine sich drehende Ge-
rade, auf welcher ein fester Punkt angenommen ist, der die
Kreislinie beschreibt. Indem wir die Gerade als erzeugendes
Gebilde betrachten, ist die Kreislinie das Resultat einer ein-
fachen Bewegung, nämlich der Drehung jener Geraden, wäh-
rend allerdings di% Bewegung des erzeugenden Punktes eine
zusammengesetzte ist. — Der nächste Fortschritt der Betrach-
tung wird in der Annahme bestehen, dass während der
Drehung der Geraden der erzeugende Punkt auf der Geraden
selbst seine Lage nach irgend einem Gesetze ändere. Die
Gesammtbewegung des Punktes besteht dann aus der Be-
wegung der Geraden und derjenigen des Punktes auf der Ge-
raden. Das Verhältniss dieser beiden Bewegungen zu ein-
ander ist durch ein Gesetz zu regeln, und dieses Gesetz wird
das unterscheidende Merkmal der verschiedenen, durch den
Punkt erzeugbaren Curven sein. (Vgl. „Raumlehre" Nr. 4.)

Um den Fortschritt vom Speciellen zum Allgemeinen fest-

*) Dieser Abschnitt würde also im „System der Raumlehre** nach
S. 69 einzuschalten sein. Nachdem dort S. 23—69 diejenigen aus einer
beweglichen Geraden abgeleiteten Grössen betrachtet sind, welche
durch einfache Bewegung entstanden sind, beschäftigt sich der hier
folgende Abschnitt mit der zusammengesetzten Bewegung.

- 29 —

betrachten wir zuerst das Gesetz, welches der Ent-
!i Ereislinie zu (jrutide liegt. Da die Strecke (r,),
m Punkt (X) dieser Linie mit dem Drehungsponkte
raden verbindet, stets denselben numerischen Werth
I ist das Gesetz fQr die Entstehung der Kreislinie
ilengleichung

r, = c
hen.

in P ein zweiter fester Punkt der Ebene, und der
t Werth der Strecke (P — X) gleich rj, so ist die

zwischen r,, r^ und einer unveränderlichen Grösse c

Beziehung :

r, + rj = c .
ihung enthält die vorige als speciellen Fall. Wenn
und P zusammenfallen, so ist für jeden Punkt (X)
r, = n, ;

das obere Zeichen

wir die Lage des Punktes X statt von und P
igig machen von dem

A des durch und
en Radius r in dem
= c. Die Lage des
' ist dann durch das
itimmt, dass er von
inie und dem festen
eäerzeit gleickweit ent- ^'' *■

Jenachdem in der Gleichung r^^r^^r das obere
ntere Zeichen gilt, wird P innerhalb oder ausser-
von mit r beschriebenen Kreises liegen. (Der
sfall, wobei P auf der Kreislinie liegt, giebt eine
id P gehende Gerade als Weg des Punktes X.)

lewegungsgesetz r, + r, — r. — Die miipse.
eine Gerade um einen ihrer Punkte eine ganze 17.
5 macht, und ein auf ihr befindlicher Punkt X sich

-- 30 -

Fig, 5.

inzwischen so auf ihr bewegt, dass er von einer aus be-
schriebenen Kreislinie und einem innerhalb derselben liegen-
den festen Punkte P stets gleichweit entfernt ist, so heisst
die von X beschriebene Linie Ellipse, — Die durch und P

bestimmte Gerade heisst
grosse Axe der Ellipse.
Jeder Richtung der
sich drehenden Geraden
entspricht ein Punkt X
der Ellipse, aber auch
ein Punkt A der Kreis-
linie. Zu jedem Punkt
der Kreislinie gehört
also ein Punkt der El-
lipse. Daher nennen wir
die Kreislinie die Leit-
curve der JlUipse, und den
Punkte. Leitpunkt zu X.
Da X von P und A gleich weit entfernt .ist, so ist das
Dreieck der drei Punkte gleichschenklig; und da eine in der
Mitte B seiner Basis errichtete Senkrechte durch die Spitze
geht, welche gleichzeitig auf der durch (0 — A) bestimmten
Geraden liegen muss, so kann man zu jedem Punkt A der
Leitcurve den zugehörigen Punkt X der Ellipse construiren,
indem man A mit und P verbindet, und in der Mitte von
{A — P) eine Senkrechte errichtet. Ihr Durchschnitt mit der
durch (0 — Ä) bestimmten Geraden ist X,

Da die Entfernung des Punktes X von der Kreislinie
nichts anderes bedeutet, als seine Entfernung von einem der
Endpunkte des durch X gezogenen Durchmessers, so wird es
auf der Geraden in jeder ihrer Richtungen zwei Punkte, X
und X', geben, die so beschaffen sind, dass numerisch für
den einen (Z — ^) = (Z — P), für den andern (Z'— Ä) =
{X! — P) ist. Daher wird die Ellipse von jeder durch ge-
zogenen Geraden in zwei Funkten geschnitten. Es genügt aber,
sich bei Erzeugung der Curve auf den einen Durchschnitts-
punkt (Z) zu beschränken, weil der andere entsteht, sobald
die sich drehende Gerade in die entgegengesetzte Richtung
gelangt ist.

■

- 31 -

Da r^ und r^ numerisch kleiner sein müssen als r, so
folgt, dass die Ellipse ganz innerhalb der Kreislinie liegt.
Sie ist also eine in sich zurückkehrende Curve.

Da die Strecken (X — A) und (X — P) numerisch gleich
sind, so hat auch die numerische Summe der Strecken (X — 0)
wnd (X — P) für alle Punkte der Ellipse denselben Werth.
(Ist nur die Interpretation der Gleichung r, + ^2 = ^0

Ist X ein beliebiger Punkt der Curve, so ist

(0 — X) + (X — P) = (0 >- P).

Ist ferner ein Punkt X' so bestimmt, dass

(0— X) = (X — P),
so folgt aus dieser Gleichung:

(0-X) = (Z-P);

daher, wenn man diese Werthe oben einsetzt:

(X— P) + (0- X) = (0-P),

Und da auch numerisch:

(0 - X) + (X ~ P)=:{0-- X) + (X — P)

ist, so ist auch X' ein Punkt der Curve.
Ferner ist

2 ~ 2 ""■^'

d. h. der Punkt M ist die Mitte zwischen einem beliebigen
Punkte der Curve X und einem anderen, entsprechenden
Punkte derselben, X'. Daher heisst M der Mittelpunkt der
Ellipse. — Jede durch M gehende Strecke zwischen zwei
Punkten der Curve heisst Durchmesser.

Alle bisher aufgestellten Gleichungen bleiben unverändert,
wenn man die Punkte O und P vertauscht. Es kann daher
als Leitcurve der Ellipse auch ein aus P mit r beschriebener
Kreis genommen werden. — Die Punkte und P heissen
nun zusammen Brennpunl^te der Ellipse, und die von X nach
diesen Punkten gezogenen Strecken {r^ und ^2) Leitstralen
(Radien Vectoren).

Die aus den Endpunkten eines Durchmessers der EUipse
gezogenen Leitstralen bilden also ein Parallelogramm.

Sei S einer der beiden Durchschnittspunkte der JlUipse
mit ihrer grossen Axe, und T sein Leitpunkt, so ist numerisch :

•- 32 —

(O — S) + (F—S) = (0 — T).

Da aber diese drei Strecken auf derselben Geraden liegen und
dieselbe Richtung haben ^ so drückt diese Gleichung auch eine
Beziehung zwischen den Punkten OS FT aus, und man erhält:

d. h. : Jeder Durchschniüspunkt der Ellipse mit ihrer grossen
Axe liegt in der Mitte stoischen seinem Leitpunkt und demjeni-
gen Brennpunkte, welcher nicht Mittelpunkt der Leitcurve ist.
Ist /S' der zweite jener Durchschnittspunkte, und T sein
Leitpunkt, so ist

demnach :

d. h. die grosse Axe der EUipse (als Durchmesser betrachtet)
ist numerisch gleich dem Radiums des Leitkreises (r), oder det-
Summe (r^ -{- r^) der beiden Leitstralen eines Funktes der
Ellipse.

Wenn r^ = r<^ (= y | ist, so sind die Strecken (0 — X),

(F — X); (X — A) numerisch gleich, das Dreieck der Punkte
0, F, A ist bei F rechtwinklig (vgl. „Raumlehre" Nr. 97),
und dasjenige der Punkte XOP gleichschenklig. Daher steht
der durch X gezogene Durchmesser auf der grossen Axe
senkrecht. Dieser Durchmesser, resp. die durch ihn bestimmte
Gerade heisst die Meine Axe der Ellipse.
18. Aus der oben angegebenen Construction eines beliebigen
Punktes der Ellipse folgt, dass diese Curve der Weg, des
Durchschnittspunktes der durch die Strecken (0 — A) und
{B — X) bestimmten Geraden ist. Aus jeder Strecke (0 — A)
geht durch Construction nur eine Strecke {B — X) hervor,
und umgekehrt. Daher gehört zu der Strecke (B — X) eben-
sowohl wie zu (0 — A) nur ein Punkt der Curve. Nun fällt
im Laufe einer ganzen Umdrehung die Strecke (Ö — J.),
welche durch den Drehungspunkt geht, zweimal in dieselbe
Gerade (nämlich das erstemal in der Richtung (0 — A), das
zweitemal in der entgegengesetzten (0 — A)). Es liegen
also auch auf dieser Geraden (wie oben schon gefunden) zwei

— 33 —

Punkte der Curve. Dagegen kehrt die durch die Strecke
{B — X) bestimmte Gerade (gleich dem Punkte -4, von dem
sie abhängt), weil sie nicht durch den Drehungspunkt geht,
erst nach einer ganzen Umdrehung in ihre ursprüngliche Lage
und Richtung zurück; mithin hat diese Gerade nur einen
Punkt mit der Curve gemeinsam. — Eine solche Gerade heisst '
Tangente der Ellipse.

Da während der Umdrehung der Strecke (0 — Ä) die
Gerade {B — X) beständig Tangente der Ellipse ist, so hat
diese Tangente während einer ganzen Umdrehung die ganze
Ebene beschrieben, mit Ausnahme der von der Ellipse ein-
geschlossenen Fläche. — Die Tangente, in ihren verschiede-
nen Richtungen, umhüllt also die Ellipse, und kann ebenso
wie der Punkt X als das die Ellipse erzeugende Gebilde an-
gesehen werden, — Man sagt von einem Punkte, er liege
auf der convexen oder der concaven Seite der Ellipse, jenach-
dem er von irgend einer Tangente getroffen wird oder nicht.
Man kann also nur von einem Punkte, welcher auf der con-
vexen Seite der Ellipse liegt, eine Tangente an diese Curve
ziehen.

Da die Tangente den Winkel der Strecken (X — Ä) und
(X — P) halbirt („Rauml." Nr. 94), so steht sie auf der
Halbirungslinie des Nebenwinkels senkrecht (a. a. 0. Nr. 84);
d. h. die Tangente im Funkte X steht senkrecht auf der Linie,
welche den Winkel der zugehörigen Leitstralen halbirt j und
letztere selbst bilden gleiche Winkel mit ihr.

Hieraus folgt: Die Tangente in einem Endpunkte der klei-
nen Axe ist der grossen Axe parallel, und umgekehrt.

Da Jf = ?4^ , und JB = ^^^ , so ist für jeden Punkt
der Curve

d. h. : die Fusspunkte {B) der von einem Brennpunkte (P) auf
beliebige Tangenten gefällten Senkrechten liegen auf einem aus
dem Mittelpunkte der EUipse mit der ha]^en grossen Aooe be-
schriebenen Kreise.

Dieser Kreis geht durch die Endpunkte der grossen Axe,
und hat dort mit der Ellipse gemeinsame Tangenten; diese

Schlegelf Elemente. 3

— 34 —

Punkte sind aber auch die einzigen ^ in denen X und B (die
Endpunkte der stets parallelen Strecken (0 — X) und {M-—By)
zusammenfallen. Alle übrigen Punkte (B) des Kreises liegen
ausserhalb (auf der convexen Seite) der Ellipse. — Vermöge
der ersten Eigenschaft sagt man, der Kreis berühre die Ellipse
in den Punkten S und 5'; vermöge heider: der Kreis sei der
Ellipse umschrieben.

Wenn L ein beliebiger Punkt der Tangente ist, so ist
das Dreieck der Punkte LBP stets rechtwinklig; also liegt
B auf der über (L — P) als Durchmesser beschriebenen Kreis-
linie; mithin da, wo diese Kreislinie den die Ellipse in S und
/S' berührenden Kreis schneidet. Im Allgemeinen also liefert
ein Punkt zwei Tangenten an die Ellipse, ebenso wie eine
Gerade zwei Durchschnittspunkte mit derselben.

Aumerkung. Hieraus folgt die GonBtraction der Tangenten von
einem beliebigen Punkte X an die Ellipse, indem die Tangente durch
L und B bestimmt ist.

Bückt L in unendliche Ferne, so wird (P — L) der Tan-
gente parallel, und der über (P — L) beschriebene Kreis geht
über in eine durch P senkrecht auf (P — L) gezogene Ge-
rade. In diesem Falle ist also der Punkt L durch eine Ge-
rade (Strecke) mit gegebener Richtung ersetzt. (Vgl. Nr. 3.)

Anmerkung. Mit dieser Modification geht die vorige Aufgabe
in folgende über: An eine £llipse die Tangenten zu ziehen, welche
einer gegebenen Geraden parallel sind. — Da P innerhalb des Be-
rührungskreises liegt, so wird die in P auf (P — L) errichtete Senk-
rechte den Kreis stets schneiden; die Aufgabe ist also stets lösbar.

Wenn X' der Endpunkt des durch X gezogenen Durch-
messers ist, so sind die beiden Linien, welche die Winkel
der von X und von X ausgehenden Leitstralen halbiren,
parallel y mithin auch die auf diesen Linien senkrecht stehen-
den Tangenten, d. h.: die beiden in den Endpunkten eines
Durchmessers gezogenen Tangenten sind parallel.

Die aus den Brennpunkten auf diese Tangenten geföUten
Senkrechten haben, wie schon gezeigt, die Eigenschaf t , dass
ihre Pusspunkte B, C, P', O auf der Peripherie des die Ellipse
in S und S' berührenden Kreises liegen; also ist für jeden
Punkt der Ellipse (B — (7) eine durch P gehende Sehne die-
ses Kreises; und das Product der numerischen Werthe von

— 35 —

(P—B) und (P—C) ist (nach „Raumlehre" Nr. 99) con-
stant. Da nun, wie leicht zu sehen, (P — C') = {C — 0),
so kann man sagen: dass das Produd der numerischen Werthe
der von den Brennpunkten auf eine beliebige Tangente gefällten
Senkrechten constant ist.

Jeder Punkt einer Tangente ist gleichweit entfernt von 19.
dem Brennpunkte (P) und dem Leitpunkte (Ä) des Berührungs-
punktes. Wenn daher X und X| zwei beliebige Punkte der
Curve sind, A und A^ ihre Leitpunkte, und L der Durch-
schnittspunkt ihrer Tangenten, so ist

{L-A,)ir^iL--P);

(L — P)ifi = {L — Ay,
also:

(L — A^)il'+r = (L~A).
Ferner:

(0 — A)i« = (0 - ^i).

(0-L)-\-{L-A)

+ (^-0) = 0;
(0_Z) + (i_Jj)

+ (^,-O) = 0,

oder, wenn man {L-^A^)
und (-4| — 0) durch die eben
gefundenen Werthe ersetzt:

(0 - i) + (L — A) i-(ß+Y) + (^_ 0) i«= 0.

Folglich ist das Dreieck der Punkte OLA^ symmetrisch mit
dem der, Punkte OLA, und (0 — L) bildet gleiche Winkel
mit (Ö — A) und (0 — A^). (Vgl. „Raumlehre" Nr, 92.) Man
kann also sagen : Verbindet man die Leitpunkte der Berühnrngs-
punkte zweier Tangenten mit deren Schnittpunkte, so wird der
Winkel dieser Verbindungslinien durch denjenigen Badius des
Leiäcreises halbirt, welcher durch den Schnittpunkt der Tan-
genten geht.

Aus {L-A) + {A-O) + {O-L) = folgt:

{L-A)i-fi+{A--O)i-P+{O — L)i-^=0.

Nun ist

{L — A)i-ß={L'-P).

Fig. 6.

«(*

Sei ferner
so folgt:

(A~ 0)i-P={F~C),

{0~L)i-?=(C—L).
Also ist der Winkel der Strecken (X — A) und (L — P) gleich
dem der Strecken {L — 0) und (L — G). Femer ist C der
Leitpnnkt von X, in dem aus P beschriebenen Leitkreise.
Man kann also sagen : Construirt man Eu jedem von ewei
Funkten der Ellipse den Leitptmkt in einem anderen Leifkrme,
und verbindet den Schnittpunkt der heiden in jenen FunMen
gezogenen Tangenten mit den Brennpunkten imd den beiden
Leitpunkten, so sind die Winkel ewischen einer Verbindungs-
linie der ersten und äner der zwdten Art einander gleich. —
Der Winkel der Tangenten ist ^^— , der Winkel der nach
den Leitpunkten A und C gezogenen Geraden ist "7"^ ■ Man
sieht ferner, dass die Winkel X^LX und OLF dieselbe
Salbirmgslinie haben.

SpedeUe FiOie. 1) j3 + y = 2. — Dann ist {L — A)
= — (X — ^i); d.h. die Punkte .^jX^ liegen in einer Ge-
raden, und der Winkel der Taugenten ist ein Rechter.

2) K=2. — Dann ist (0 — vlj {0 — A); d. h. die

Punkte A^OA liegen in gerader Linie, mithin auoli X, OX;

d. h. die Verbindungslinie der Berührungspunkte geht durch

den Brennpunkt 0.

>. Anwendung der inneren Multiplication*). — Wenn aßy

die numerischen Werthe der Seiten eines

Dreiecks sind, und a, derjenige der Pro*

jection von a auf ß, so ist nach dem

verallgemeinerten pythagoräischen Satze:

y' = a' + ß' + 2a,ß;
oder:

y^~~a'^ = ß^-i-2a,ß.
Sind ferner a' und y' zwei Ton einem
anderen Punkte der Höhe des Dreiecks
nach den Endpunkten seiner Grundlinie
/- gezogene Strecken, so ist

!^' y^ - «'' = ^' + 2«,^;

*) Diese Nummer, deren ereter Theil 2 elementare Sitt^e, deren

— 37 —

I

d. h. die Grösse y^ — c? ist für alle Punkte der Höhe gleich.
Und die Spitzen aUer über derselben Grundlinie liegenden Drei-
ecke, für welche die Differenz der Quadra;le der beiden ande-
ren Seiten eine constante Grösse ist, liegen in einer auf der
Grundlinie senkrechten Geraden.

Ist ferner ft der numerische .Werth der die Seite ß hal-
birenden Transyersale, und (i^ derjenige ihrer Projection auf ß,
so ist

«^ = p2 + (ly + 2 1>, ;

also:

a-^ + f =^ 2(^^ + 2 (ff ;

d. h. die Summe der Quadrate zweier Seiten eines Dreiecks ist
gleich der doppelten Summe aus dem Quadrat der halbere dritten
Seite und dem der Transversale nach dieser Seite. — Sind
ferner a und y' zwei, von einem anderen Punkte der mit ft
um die Mitte von ß beschriebenen Kreislinie, nach den End-
punkten von ß gezogene Strecken , so ist:

a'i + /2 = 2^^ + 2(|y;

d. h. die Grösse «^ + ?^ ist für alle Punkte der Kreislinie
gleich. Und die Spitzen aller über derselben Grundlinie liegen-
den Dreiecke, für welche die Summe der Qtmdrate der beiden
anderen Seiten eine constante Grösse ist, liegen in einer , die
Grundlinie als Sehne enthaltenden Kreislinie.

Gehen wir jetzt auf die beiden speciellen Fälle am Schluss
von Nr. 19 zurück.

Im ersten Fall ist der Winkel der Strecken (L — 0) und
(L — Ä) ein Rechter, mithin:

(L - 0)^ + (L -^ Ä)^ = (0 - Ä)^,

oder , da numerisch {L — Ä) = {L — P), und femer (0 — Ä)
= r ist:

zweiter die Anwendung derselben auf die Ellipse enthält, schliesst sich
an den Abschnitt Nr. 162—163 der Baumlehre an, nimmt also in der-
selben eine andere Stelle ein als der sonstige Inhalt dieses Abschnittes.

r«

- 38 —

Also liegen (nach dem zweiten der eben gefundenen Sätze)

aUe diejenigen Punkte , in denen zwei Tangenten der EUipse

sich unter rechtem Winkel schneiden, auf einer Kreislinie mit

dem Mittelpunkt M.

Anmerkung. Bezeichnet man numerisch die grosse Axe mit a,
die kleine mit 5, die Entfernung der Brennpunkte mit c, so ist

Und wenn /» der Radius der eben erwähnten Kreislinie ist, so ist
= 2|!t2 + 2 (^y ; folglich a« = 2ft« + 1* ; 2ft« = a« - y = a«

Im zweiten Fall ist der Winkel der Strecken (0 — L) und
(0 — A) ein Rechter, mithin:

{L — Af- - (i — 0)- = (0 — A)-,

oder, da numerisch {L— A) = (L — P), und ferner (0 — -4)
= r ist:

(i-P)' - (L — 0)-' =r^.

Also liegen (nach dem ersten der eben gefundenen Sätze) aUe
diejenigen Punkte, in denen zwei Tangenten sich schneiden,
deren Berührungspunkte mit einem Brennpunkte in gerader
Linie liegen, in einer auf der grossen Axe senkrecht stehenden
Geraden, — Diese Gerade heisst die Directrix der Ellipse.
Eine zweite Directrix entspricht dem Brennpunkte P. — Die-
jenige, durch einen Brennpunkt gehende. Sehne, welche der
Directrix parallel ist, heisst* Parameter der Ellipse.
21. Wenn die in X gezogene Tangente die beiden Directrix-
Linien resp. in L und L, trifft, so ist das Dreieck XLO
ähnlich dem Dreieck XL^P, da die Winkel bei X gleich sind
(Nr. 18), und die Winkel bei und P Rechte sind. (Vgl.
„Raumlehre^' Nr. 137.) Folglich ist numerisch

0--_X _ L — X _ Hj-- X
P-X'" Li- X~ Hi — X^

da auch die Dreiecke HL X und H^ L^ X ähnlich sind. Weiter
folgt: p^Erx^ H"^' ^^^^' P*--^"" O ~ i > ^' ^'' ^^^

— 39

jeden Punkt der JEUipse ist das VerhäUniss seiner Entfernungen
von einer Diredrix und dem zugehörigen Brennpunkt eine
constante Grösse, nämlich gleich dem VerhäUniss zwischen der
Entfernung der beiden Directrix-Linien und der grossen Äxe.

— Sei K der Schnittpunkt
der Directrix (zu 0) mit der
grossen Axe, so ist nume-

ri8ck(ir— P)2— (i:-.o)2

= r^, oder, wenn — P= c
gesetzt wird:

{K-^0y + 2c(K'^0)+c'
— {K—Oy = r'^]

d. h. :

femer

(^-^■0 = ^ + 2(^-^0)

_ r«
"" c '
folglich :

O — A c'

— Aus den obigen Gleichungen folgt:

R-X _ H, — X _ H—Hl _ Ji.
— X."~ P — X^'O — ^~c'

oder, wenn (X — SJ = (J?— JT) gemacht wird:
K-8 fr^-c^

Mg. 8.

(:-^ + 0-s):iO-X)=^.

0— X \ 2c

Wenn endlich (0 — X) = q, und der Winkel zwischen q und
(0 — X) gleich q> gesetzt wird , so geht die letzte Gleichung
über in:

r^ — €^

2CQ

cos qp = — ; oder: q

2 (r + c . cos qp)

1 Rechter annimmt, so ist
^ "^ . Setzt man diesen Werth in die Gleichung für q

Sei ^ der Werth , den q füx (p

JP =

ein, so folgt, wenn man noch y = e setzt: p = ^IT+I.cobv)'
Diese Gleichung heisst die Polargleichung der Ellipse; e die

— 40 —

EoccentriciiM; und p ist, wie leicht zu sehen, der Parameter.
— Die Polargleichung lässt sich in eine auf rechtwinklige
Coordinatenaxen bezogene Gleichung umwandeln durch die
Substitutionen x =^ q . cos 9; y = (> . sin g).
22. Es seien (X— X) und (F— F') zwei beliebige Durch-
messer der Ellipse; dann sind ihre Endpunkte die Ecken eines
Parallelogramms, weil {Y — X) ^ {T - M) + {M—X)
= {M - r) + (X' ~ Jf) = (X — F) ist. Aber auch die
in diesen Endpunkten gezogenen Tangenten bilden ein Pa-
rallelogramm (vgl. Nr. 18 am Ende).
Nun ist:

(X— F) = (F-X)-,

(X — E) + (E- F) = (F - ^) + (ir ~ X) ;

(K — E) - {E—X\= {T — JET) - (JS- F).

E

Die Strecken auf der linken Seite der Gleichung haben gleiche
Richtung, mithin auch ihre Differenz; dasselbe findet auf der
rechten Seite statt. Die Richtungen auf der rechten Seite
sind aber verschieden von denen auf der linken. Und da
zwei Strecken nur dann gleich sein können, wenn sie gleiche
Richtung haben, so müssen beide Seiten der Gleichung ein-
zeln Null sein. Man hat also:

(X — E) — {E—X) = {T — E') - {E— F) = 0;

d. h.

2 ~ 2 ~ 2 ~-^'

d. h. : Liegen die Echen eines Parallelogramms auf den Seiten
eines jsweiten, so haben beide denselben Mittelpu/nJct.*)

*) Dieser elementare Satz gehört in den Absclin. 42—44 d. ,»Baamlehre**.

— 41 —

Auf die Ellipse angewendet heisst dieser Satz: Die
Diagonalen eines der Eüipse umschriebenen Parallelogramms
schneiden sich im Mittelpunkte der Curve^ sind also Durch-
messer, — Zwei solche Durelimesser heissen conjugirte Durch-
messer.

Anmjerkung. Die weiteren Eigenschaften dieser Durchmesser
werden hier übergangen, da unsere Methode keine charakteristische
Ableitung für dieselben bietet. Dies hängt damit zusammen, dass in
der Natur, dieser Durchmesser Beziehungen des Masses und der Lage
combinirt erscheinen, und dass in Folge dessen die bisher schon be-
nutzten Methoden (vgl. Steiners Yorlesg. üb. synth. Geom. Theil 1. § 12),
welche mit der inneren Multiplication zusammenhängen, nicht weiter
vereinfacht werden können. — Ihre natürliche Stelle findet die Theorie
der conjugirten Durchmesser, wenn der Kegelschnitt als zusammen-
gesetzte Grösse betrachtet wird , weil sich dann Gelegenheit bietet, die
Massbeziehxmgen dieser Durchmesser als speciellen Fall von Lagen-
beziehungen darzustellen (nach der in Nr. 6—7 entwickelten Theorie). —
Dagegen liefert die euclidische sowohl wie die gewöhnliche analytische
Methode jene Eigenschaften conjugirter Durchmesser nur auf sehr
künstlichem und weitem, mit der Einfachheit der Resultate in gar
keinem Yerhältniss stehendem Wege.

2. Bewegungsgesetz r^ — r^ == r. — Die Hyperbel.

Wenn eine Gerade um einen ihrer Punkte eine ganze 23»
Umdrehung macht ^ und ein auf ihr befindlicher Punkt X sich
inzwischen so auf ihr bewegt, dass er von einer aus be-
schriebenen Kreislinie ; und einem ausserhaÜ) derselben liegen-
den festen Punkte P stetd gleichweit entfernt ist, so heisst
die von X beschriebene Linie. Hyperbel. — Die durch und
P bestimmte Gerade heisst Hauptaxe der Hyperbel.

Jeder Richtung der sich drehenden Geraden entspricht
eiü Punkt X der Hyperbel , aber auch ein Punkt Ä der Kreis-
linie. Zu jedem Punkt der Kreislinie gehört also ein Punkt
der Hyperbel. Daher nennen wir die Kreislinie die Leitcurve
d^r Hyperbel, und den Punkt Ä Leitpunkt zu X.

Da .X von P und A gieichweit entfernt ist, so ist das
Dreieck der drei Punkte gleichschenklig; und da eine in der
Mitte B seiner Basis errichtete Senkrechte durch die Spitze
geht, welche gleichzeitig auf der durch (0 — A) bestimmten
Geraden liegen muss, so kann man zu jedem Punkt A der
Leitcurve den zugehörigen Punkt X der Hyperbel construiren,

^ 42 -

indem man Ä mit und P verbindet, und in der Mitte von
(A — P) eine Senkrechte errichtet. Ihr Durchschnitt mit der
durch (0 — Ä) bestimmten Geraden ist X.

Fig. 10.

Da die Entfernung des Punktes X von der Kreislinie
nichts weiter bedeutet, als seine Entfernung von einem der
Endpunkte des durch X gezogenen Durchmessers, so wird
es auf der Geraden in jeder ihrer Richtungen zwei Punkte X
und X geben, die so beschaffen sind, dass numerisch für
den einen (X — Ä) = (X — P), für den andern {X — Ä')
= {X — P) ist. Daher wird die Hyperbel von jeder durch
gezogenen Geraden in zwei Punkten geschnitten. Es genügt
aber, sich bei Erzeugung der Curve auf den einen Durch-
schnittspunkt (X) zu beschränken, weil der andere entsteht,
sobald die sich drehende Gerade in die entgegengesetzte Rich-
tung gelangtest.

Da r^ und r^ in's Unendliche wachsen können , ohne dass
ihre numerische Differenz sich ändert, so folgt, dass die Curve
sich in 's Unendliche erstreckt. — Nehmen wir an, die Rich-
tung (0 — P) sei die ursprüngliche Richtung der sich drehen-
den Geraden. Damit X sich in's Unendliche entferne (nach
der in der Figur mit 1 bezeichneten Seite hin), müssen die

- 43 —

durch {X — P) und (X — 0) bestimmten Geraden parallel
werden; d. h. in dem Dreieck der Punkte XPÄ müssen die
Winkel bei P und Ä, die stets gleich sind, Rechte werden;
folglich muss dann (P — Ä) auf (0 — Ä) senkrecht stehen,
und Tangente am Leitkreise sein. Der Leitpunkt eines un-
endlich entfernten Punktes der Hyperbel ist also der Berührungs-
punkt einer von P an den Leitkreis gezogenen Tangente. Und
da iuan zwei solche Tangenten construiren kann, so folgt,
dass die Hyperbel zwei unendlich entfernte Punkte hat. —
Jeder dieser Punkte kann aber auch als Durchschnitt der
entgegengesetzten Richtungen der beiden parallelen Geraden
betrachtet werden. Und in der That tritt X, indem die er-
zeugende Gerade sich weiter dreht, auf der entgegengesetzten
Seite derselben wieder auf (von der in der Fig. 10 mit 2 be-
zeichneten Seite her), und beschreibt nun einen von dem
ersten vpllig getrennten Zweig der Curve. Bei weiterer Um-
drehung der erzeugenden Geraden werden die durch (X — 0)
und (P — 0) bestimmten Geraden {wie oben bemerkt) noch
einmal parallel, nämlich wenn A in den Berührungspunkt
der zweiten von P an den Kreis gezogenen 'Tangente tritt.
Hierbei entfernt sich X (nach der durch 3 bezeichneten Seite
hin) zum zweitenmal in's Unendliche, und kommt (von der
durch 4 bezeichneten Seite her) zurück, um, wenn die er-
zeugende Gerade ihre Umdrehung vollendet hat, in seine
Anfangsstellung zurückzukehren. — Die Hyperbel ist also
eine zweimal durch einen unendlich entfernten Punkt gehende
und auf diesem Wege in sich zurückkehrende Curve. (Ebenso
kann man von der Geraden sagen, sie sei eine Curve, welche
einmal durch einen unendlich entfernten Punkt gehe und auf
diesem Wege in sich zurückkehre. Auch bei dieser Auffassung
erscheint die Gerade als specieller Fall der Kreislinie.) Die
Hyperbel besteht also aus zwei Zweigen, welche resp. den
Gleichungen r, — rj == + ^> ^^^ **! — ^2 == — r entsprechen,
während für die unendlich entfernten Punkte gleichzeitig

Da die Strecken (X — Ä) und (X — P) numerisch gleich
sind, so hat auch die numerische Differenz der Strecken (X — 0)
u/nd (X — P) für alle Punkte der Hyperbel denselben Werth.
(Ist nur die Interpretation der Gleichung r^ — r2 = r.)

— 44 —

24. Ist X ein beliebiger Punkt der Curve, so ist

(0 - X) - (P - X) = (0 - P).

Ist femer ein Punkt X' so bestimmt, dass

(0-X) = (X-P),
so folgt aus dieser Gleichung:

(0-X') = (X-P);
daher ^ wenn man diese Werthe oben einsetzt:

(X ^ P) - (X ~ 0) = (0 - P) .
Und da auch numerisch

(0 — X) — (P - Z) = (X' — P) — (Z' — 0)

ist, so ist auch X' ein Punkt der Curve.

Femer ist

X+X_0+P_^

d. h. der Punkt M ist die Mitte zwischen einem beliebigen
Punkte der Curve X, und einem anderen, entsprechenden
Punkte derselben, X. Daher heisst M der MiUelpunTct der
Hyperbel. — Jede durch M gehende Strecke zwi^hen zwei
Punkten der Curve heisst Durchmesser.

Alle bisher aufgestellten Gleichungen bleiben unverändert,
wenn man die Punkte und P vertauscht. Es kann daher
als Leitcurve der Hyperbel auch ein aus P mit r beschriebe-
ner Kreis genommen werden. — Die Punkte und P heissen
nun zusammen Brennpunkte der Hyperbel, und die von X
nach diesen Punkten gezogenen Strecken (r^ und r^ LeiU
Straten (Radien Vectoren). — Da die Gleichung r^ — rj = r
durch Vertauschung von r^ mit r^ die Form rj — r^ = r, oder
rj — ^2 = — ^ annimmt, und beide Gleichungen die ver-
schiedenen Hyperbelzweige darstellen, so folgt, dass die End-
punkte jedes Durchmessers auf zwei verschiedenen Zweigen der
Curve liegen.

Die aus den Endpunkten eines Durchmessers 'der Hyperbel
gezogenen Leitstralen bilden ein Parallelogramm.

Sei S einer der beiden Durchschnittspunkte der Hyperbel
mit ihrer grossen Axe, und T sein Leitpunkt, so ist numerisch :

(0-fi)-(S~P) = (0~T).
Da aber diese drei Strecken auf derselben Geraden liegen

— 45 —

und dieselbe Richtung haben ^ so drückt diese Gleichung auch
eine Beziehung zwischen den Punkten 08 FT aus, und man
erhält:

d. h. : Jeder DurehschniUspunkt der Hyperbel mit ihrer grossen
Axe liegt in der Mitte sswischen seinem Leitpunkt wnd dem-
jenigen Brennpunkte y welcher nicht Mittelpunkt des Leit-
kreises ist.

Ist S' der zweite jener Durchachnittspunkte, und T sein
Leitpunkt, so ist

'^ 2 '

demnach :

(S_S') = ^';

d. h. : Die grosse Axe der Hyperbel (als Durchmesser betrach-
tet) ist numerisch gleich dem Radius des Leitkreises (r) oder
der Differenz (r^ — rj) der beiden Leitstralen eines Punktes
der Hyperbel.

Die in M auf der Hauptaxe errichtete Senkrechte heisst
Nebenaxe der Hyperbel. Da für jeden Punkt dieser Geraden
numerisch r^ = rj ist, so hat sie mit der Hyperbel keinen
Punkt gemeinsam; denn auch ihr unendlich entfernter Punkt
liegt in einer anderen Richtung, als diejenigen der Hyperbel.
(Mit anderen Worten: sie ist keinem der beiden Leitstralen-
paare parallel, welche nach den unendlich entfernten Punkten
der Hyperbel führen.)

Aus der oben angegebenen Construction eines beliebigen 25.
Punktes der Hyperbel folgt, dass diese Curve der Weg des
Durchschnittspunktes der durch die Strecken (0 — Ä) und
{B — X) bestimmten Geraden ist. — Man gelaugt nun durch
eine wörtliche Wiederholung der im Anfang von Nr. 18 an-
gestellten Betrachtungen zu dem Resultat, dass die durch
(B — X) bestimmte Gerade stets nur den einen Punkt X mit
der Curve gemeinsam hat. — Diese Gerade ist (faher eine
Tangente der Hyperbel.

Da während der Umdrehung der Strecke (0 — A) die
Gerade (B — X) beständig Tangente der Hvperbel ist, so hat
diese Tangente während einer ganzen Umdrehung die ganze

- 46 —

Ebene beschrieben , mit Ausnahme derjenigen beiden Bäume^
in welchen die Brennpunkte liegen. — Die Tangente, in ihren
verschiedenen Richtungen, umhülU also die Hyperbel, und
kann ebenso wie der Punkt X als das die Hyperbel erzeugende
Gebilde angesehen werden. — Man sagt von einem Punkte,
er liege auf der eonvexen oder der eonca/ven Seite der Hyperbel,
jenachdem er von irgend einer Tangente getroffen wird oder
nicht. Man kann also nur von einem Punkte, welcher auf
der eonvexen Seite der Hyperbel liegt, eine Tangente an
diese Curve ziehen.

Da die Tangente den Winkel der Strecken (X — A) (oder
(X — 0)) und (X — P) halbirt, so kann man sagen: Die
Tangente, im Punkte X halbirt den WinJcel der zugehörigen
Leitstralen.

Hieraus folgt: Die Tangente in einem Endpunkte der
Hauptaxe ist der Nebenaxe parallel.

Da Jf = ^4^ und B = --i^ , so ist für jeden Punkt
der Curve

d. h. : die Fusspunkte (B) der von einem Brennpunkte (P) auf
beliebige Tangenten gefällten SenJcreehten liegen auf einem aus
dem Mittelpunkte der Hyperbel mit der halben Hauptaxe be-
schriebenen Kreise.

Dieser Kreis geht durch die Endpunkte der grossen Axe,
und hat dort mit der Hyperbel gemeinsame Tangenten; diese
Punkte sind aber auch die einzigen, in denen X und P (die
Endpunkte der stets parallelen Strecken (0 — X) und {M—B))
zusammenfallen. Alle übrigen Punkte (P) des Kreises liegen
ausserhalb (auf der eonvexen Seite) der Hyperbel. — Ver-
möge der ßr^^ew Eigenschaft sagt man, der Kreis berühre die
Hyperbel in den Punkten S und S, vermöge beider: der Kreis
sei der Hyperbel umsehrieben.

Wenn L ein beliebiger Punkt der Tangente ist, so ist
das Dreieck der Punkte PPP stets rechtwinklig; also liegt P
auf der über {L — P) als Durchmesser beschriebenen Kreis-
linie, mithin da, wo diese Kreislinie den die Hyperbel in S
und S berührenden Kreis schneidet. Im Allgemein^i also

~ 47 -

liefert ein Punkt zwei Tangenten an die Hyperbel, ebenso

wie eine Gerade zwei Durchschnittspunkte mit derselben.

Anmerkang. Hieraus folgt die Coustruction der Tangenten von
einem beliebigen Punkte L an die Hyperbel, indem die Tangente durch
L und B bestimmt ist.

Bückt L in unendliche Ferne, so wird (P — L) der Tan-
gente parallel y und* der über (P — L) beschriebene Kreis geht
über in eine durch P senkrecht auf (P — L) gezogene Ge-
rade. In diesem Falle ist also der Punkt L durch eine Ge-
rade (Strecke) mit gegebener Richtung ersetzt.

Anmerkung. Mit dieser Modification geht die vorige Aufgabe
in folgende über: An eine Hyperbel die Tangenten zu ziehen, welche
einer gegebenen Geraden parallel sind. — Da P ausserhalb des Be-
rührungskreises liegt, so wird die in P auf P — L errichtete Senkrechte
den Kreis nicht immer schneiden; die Aufgabe hat demnach, wie leicht
zu sehen, zwei, eine, oder keine Lösung, jenachdem der spitze Winkel,
welchen die gegebene Gerade mit der Hauptaxe bildet , grösser , gleich
oder kleiner ist als der spitze Winkel , den die Tangente eines unend-
lich entfernten Punktes mit der Hauptaxe bildet.

Die zu den beiden unendlich
entfernten Punkten der Hyper-
bel gehörigen Tangenten heissen
Asymptoten, Da die Asymptote
diejenige durch B gezogene Linie
ist, welche mit (0 — -4)' parallel
ist (denn beide Linien stehen auf
{A — P) senkrecht), so geht sie
auch durch -3f, weil, wie oben
bemerkt, {M — B) stets parallel
(0 — A) ist. Beide Asymptoten
schneiden sich also im Mittelpunkte
der Curve.

Anmerkung. Aus der Definition
der unendlich entfernten Punkte und
der Tangenten der Hyperbel folgt die Coustruction der Asymptoten.
Man lege aus dem Brennpunkte P die Tangenten (P — Ä) an den Leit-
kreis, und errichte in der Mitte derselben {B) senkrechte Linien.

Wenn X' der Endpunkt des durch X gezogenen Durch-
messers ist, so sind die beiden Linien, welche die Winkel
der von X und X' ausgehenden Leitstralen halbiren, parallel;

Fig. 11.

— 48 —

dies sind aber die Tangenten; man hat also den Satz: Die
beiden in den Endpunkten eines Durchmessers gezogenen Tan-
genten sind parallel.

Die aus den Brennpunkten auf diese Tangenten gefällten
Senkrechten haben, wie schon gezeigt, die Eigenschaft , dass
ihre Fusspunkte (B, C, JB^y C) auf der Peripherie des die Hy-
perbel in S und S berührenden KreisßS liegen; also ist für
jeden Punkt der Hyperbel {B — C) eine durch P gehende Se-
cante dieses Ereises; und das Product der numerischen Werthe
von \P — B) und [P—C) ist (nach „Raumlehre" Nr. 99)
constant. Da nun, wie leicht zu sehen, (P — C) = ((7 — 0),
so kann man sagen, dass das Produd der numerischen Werthe
der von den Brennpunkten auf eine beliebige Tangente gefällten
Senkrechten constant ist,
26. Jeder Punkt einer Tangente ist gleichweit entfernt von
dem Brennpunkte (P) und dem Leitpunkte (Ä) des Berührungs-
punktes. Wenn daher X und Xj zwei beliebige Punkte der
Curve sind, A und A^ ihre Leitpunkte, und L der Durch-
schnittspunkt ihrer Tangenten, so ist:

{L^A,)iy^{L-F)',

{L — P)i-ß = {L — A)]

also:
{L--A^)ir-P={L — A).

Ferner :

(0 — ^)i« = (0 — ^,).

{O^L) + (L-^A) + (A^O)
= 0;

{0-L) + iL-A,)
+ (^,-0) = 0,

oder, wenn man (L — A^)
und {Ai — 0) durch die eben
Fig. 12. gefundenen Werthe ersetzt:

(0 _ i) + (L - ^) Ä» - y + (^ - 0)i« = .

Polglich ist das Dreieck der Punkte OLA^ symmetrisch mit
dem der Punkte OLA, und (0 — L) bildet gleiche Winkel
mit (0 — A) und (0 — 4i). (Vgl. „Raumlehre" Nr. 92.) ^an
kann also sagen : Verbindet man die Leitpunkte der Berührungs-

— 49 -

punkte zweier Tangenten mit deren Schnittpunkte ^ so wird der
Winkel dieser Verbindungslinien durch denjenigen Radius des
Leitkreises halbirt, welcher durch den Schnittpunkt der Tan-
genten geht.

Aus (L - ^) + (^ - 0) + (0 — i) = folgt:

{L - Ä)ifi + {Ä—0)ii^ + (0 — L)i^ = 0.

Nun ist

(L — A)i^ = {L — P).
Sei femer:

so folgt:

{O^L)i^= iC — L).

Also ist der Winkel der Strecken {L — Ä) und {L — P)
gleich dem der Strecken (i — 0) und {L — (7). Ferner ist G
der Leitpunkt von Xj in dem aus P beschriebenen Leitkreise.
Man kann also sagen: Construirt man zu jedem von zwei
Punkten der Hyperbel den Leitpunkt in einem anderen Leit-
kreise , und verbindet den Schmttpu/nkt der beiden in jenen
Punkten gezogenen Tangenten mit den Brennpunkten und den
beiden Leitpunkten, so sind die Winkel zwischen einer Ter-
bindungslinie der ersten und einer der zweiten Art einander

gleich. — Der Winkel der Tangenten ist ^-^^ , der Winkel

der nach den Leitpunkten gezogenen Geraden ist <^ *

Man sieht femer, da^s die Winkel X^LXund OLP dieselbe
Halbirimgslinie haben.

Derjenige Winkel der Asymptoten, zwischen dessen
Schenkeln die beiden Zweige der Hyperbel liegen , heisst der
Äsymptotenwinkel. — Von den durch M gezogenen Geraden
schneiden nur diejenigen, welche die Asymptotenwinkel thei-
len, die Curve in 2 Punkten, die Asymptoten selbst (als
Tangenten)' treffen die Curve in je einem Punkte, alle übrigen
durch M gezogenen Geraden treffen sie gar nicht. — Aus
dem Begriff der Asymptoten folgt ferner: Zwei Tangenten,
die an denselben Hyperbelzweig gezogen sind, schneiden sich
in einem Punkte, der mit diesem Zweige zwischen den Schen-
keln desselben Asymptotenwinkels liegt; zwei Tangenten, die an
verschiedene Hyperbelzweige gezogen sind, schneiden sich in
einem Punkte, der ausserhalb der Schenkel der Asymptoten-

Sohlegel, Elemente. 4

- 50 —

Winkel liegt Umgekehrt: Die Tangenten, welche von einem
PunJde innerhalb der Schenkel des Asymptotenwinkels ausgehen,
i/reffen beide den in demselben Baume liegenden Hyperbdzweig ;
die Tangenten, welche von einem Funkte ausserhalb der Schen-
kel des Asymptotenwinkels ausgehen, treffen jede einen anderen
Zweig der Hyperbel,

Unsere letzte Betrachtung setzte, . wie die Figur zeigt,
den zweiten dieser beiden Fälle voraus. Wenn die beiden
Tangenten aus i an denselben Hyperbelzweig gehen, so hat
man nur ß überall mit entgegengesetztem Vorzeichen zu ver-
sehen, wodurch alle Formeln mit den analogen für die Ellipse
geltenden identisch werden.

Spedelle Fälle. 1) y — /S = 2. — Dann ist {L — A)
= — (L — A^\ d. h.: die Punkte A^LA liegen in einer Ge-
raden, und der Winkel der Tangenten ist ein Rechter. —
Da der Asymptotenwinkel stets kleiner ist als der Winkel
zweier an denselben Hyperbelzweig gezogener Tangenten , so
kaiin der letztere nur dann ein Rechter sein, wenn der erstere
spitz ist. Und da der Nebenwinkel des Asymptotenwinkels
stets grösser ist, als der Winkel zweier an verschiedene
Hyperbelzweige gezogener Tangenten, so kann der letztere
nur dann ein Rechter sein, wenn der erstere stumpf ist. —
Ueberhaupt also kann der Winkel zweier Tangenten nur dann
ein Rechter sein, wenn der Asymptotenwinkel spitz ist. —
Ist dieser Winkel ein Rechter, so sind die Asymptoten selbst
die zugehörigen Tangenten. — Je nach der Beschaffenheit
des Asymptotenwinkels kann man die Hyperbel selbst spitz-
winklig, rechtwinklig oder stumpfwinklig nennen.

2) a = 2. — Dann ist (0 — A^) = — {0— A)-, d. h. die
Punkte A^OA liegen iii gerader Linie, mithin auch X, OX;
d. h. die Verbindungslinie der Berührungspunkte geht durch
den Brennpunkt 0.

27. Anwendung der inneren MuUiplication. — (Vgl. Nr. 20.)
Im ersten der soeben erwähnten speciellen Fälle ist der Win-
kel der Strecken {L — 0) und (L — A) ein Rechter, mithin:

(i _ of + {L- Ä)^ c= (0 - ^)-^,

oder, da numerisch {L — JL) = (i — P), und ferner (O — A)
= r ist:

- 51 -

(i _ 0)- + (i — P)- = r^ .

Also liegen alle diejenigen Punkte, in denen 0wei Tangenten
der Hyperbel sich unter rechtem Winkel ^ schneiden y auf einer
Kreislinie mit dem Mittelpunkt M.

Anmerkung. Bezeichnet man numerisch die Hauptaxe mit a, die
Entfernung der Brennpunkte mit c, und setzt c' — r* = 5*, so ist

( — J — l'^) "^(vJ^It)' ^^^ wenn pk der Badias der eben
erwähnten Kreislinie ist, so ist r* «=« 2 ft* + 2 ( — ) '; folglich

a* = 2fA« + — ; 2|*« = a« — — = a« ~ ( ~2~ ) "" '~~2~ ' ^^^^^^

|ii = -1 Ya^ — &*. — Der Badius fi ist also reell, imaginär, oder Null,
jenachdem a >>,<[, = & ist. Im letzten Falle ist ilf der einzige Punkt,
in welchem sich zwei Tangenten unter rechtem Winkel schneiden; und
da die aus M gezogenen Tangenten die Asymptoten sind, so stehen
diese senkrecht auf einander; d. h. die Hyperbel ist rechtwinklig. (Die
rechtwinklige Hyperbel entspricht als specieller Fall der allgemeinen
Hyperbel ebenso wie der Kreis der Ellipse.) Ist a > 5, so ist die Hy-
perbel Bpitzwinküg, und wenn a << &, stumpfwinklig.

Im zweiten Fall ist der Winkel der Strecken (0 — L)
und (0 — A) ein Rechter, mithin:

öder, da numerisch (L — J.) = (L — P), und ferner (0 — A)
= r ist:

(L~P)--(I>— 0)- = r^.

Also liegen alle diejenigen Funkte, in denen zwei Tangenten
sich schneiden, deren Berührungspunkte mit einem Brennpunkte
in gerader Linie liegen, in einer auf der Hauptaxe senkrecht
stehenden Geraden, — Diese Gerade heisst die Directrix der
Hyperbel. Eine zweite Directrix entspricht dem Brenn-
punkte P. — Diejenige durch einen Brennpunkt gehende
Sehne, welche der Directrix parallel ist, heisst Parameter
der Hyperbel.

Wenn die in X gezogene Tangente die beiden Directrix- 28.
Linien resp. in L und L^ trifil, so ist das Dreieck XLO
ähnlich dem Dreieck XL^P, da die Winkel bei X gleich
sind (Nr. 25), und die Winkel bei und P Rechte sind.

4*

— 52 —

(Vgl. „Raumlehre" Nr. 137.) Polglich ist numerisch

Q — X X — X-g-X
P - X ~ ii — X ~ Äj - X '

da auch die Dreiecke ^ZX undlT^L^X ähnlich sind. Wei-

ter folst- Q~^_ g-g| .
ter loigt. p_x— J5r,-X'

oder:

if, — X gr-Jff,

d.h.

P — X — ^'
Jwr ye(?ew Punkt der Hyperbel ist das VerhäUniss seiner Efd-
fernwngen von einer Diredrix und dem zugehörigen Brenn-
punkt eine constante Grösse, nämlich gleich dem VerhäUniss
zwischen der Entfernung der beiden Birectrix-Linien und der

Fig. 1».

Hauptaxe. — Sei K der Schnittpunkt der Directrix (zu 0)
mit der Hauptaxe, so ist numerisch {K— Py — {K — Oy = r^,
oder, wenn {O—- P) = c gesetzt wird:

(K— Of — 2c{K— 0) + c2 - {K— Oy = r^;

d.h.:(JS:-0) = ?^'; ferner (ir—J?i) = c-2(^—0) = ^;

ff ff „

folglich: ^ __ J = -_ . — Aus den obigen Gleichungen folgt:

If-X _ Hj — X _ H — H^ _ r_
—X~ P — X~ - A" c '

oder, wenn (X — S) = {H — K) gemacht wird:

fcl= ((ö-Ä)

2c

):(0~X)==

r
c

— 53

Wenn endlich (0 — X) = p, und der Winkel zwischen q und
(0 — E) gleich 9 gesetzt wird, so geht die letzte Gleichung

über in: cos q) ^— - = - ; oder p = ^ r . Sei

|- der Werth , den p für ^ = 1 Rechter annimmt , so ist
p = Setzt man diesen Werth in die Gleichung für q

ein, so folgt, wenn man noch — ==e setzt: o = -7^ ? r-.

' ® ' r ^ 2 (1 — e . cos 9)

Diese Gleichung heisst die PolargUichu/ng der Hyperbel; e die
Eoccentridtät, und p ist, wie leicht zu sehen, der Parameter.
— Die Polargleichung lässt sich in eine auf rechtwinklige
Coordinatenaxen bezogene Gleichung umwandeln durch die
Substitutionen x =^ q . cos 9?; y = p . sin 9?.

Es seien (X — X) und (7- .F') zwei beliebige Durch- 29.
messer der Hyperbel; dann sind ihre
Endpunkte die Ecken eines Parallelo-
gramms, weil {T —X) ^ {Y—M)
+ {M- X) = {M— Y') + (X— M)
= (X' — Y') ist. Aber auch die in
diesen Endpunkten gezogenen Tangen- x;l
ten bilden ein Parallelogramm (vgl.
Nr. 25 am Ende). Und der in Nr. 22
aufgestellte elementare Satz lehrt fol-
gendes: Die Diagonalen eines der Hy-
perbel umschriebenen Parallelogramms
schneiden sich im Mittelpunkt der Curve^
sind also Durchmesser (sofern man den
Begriff des Durchmessers auch auf die-
jenigen durch M gehenden Geraden

erweitert, welche die Curve nicht schneiden). Zwei solche
Durchmesser heissen conjugirte Durchmesser,

Fig. 14.

3. Bewegungsgesetz r^ 4: r^ = 00. — Die Parabel.

Die Erzeugung der Ellipse und der Hyperbel beruhte 30.
auf der gemeinsamen Voraussetzung, dass der Badius des
Leitkreises eine endliche Grösse habe. Halten wir den Durch-
schnittspunkt dieses Kreises mit der durch und P bestimm-
ten Geraden fest, lassen aber den Punkt sich von diesem

- 54 —

Durchsclinittspunkte auf der Geraden in's Unendliche ent-
fernen, so geht der Leitkreis in eine auf der Geraden senk-
recht stehende gerade Linie über, r wächst in's Unendliche,
und die Lage eines Punktes X der zu erzeugenden Curve
wird jetzt durch das Gesetz bestimmt, dass X von P und von
der Leitlinie jederzeit gleichweit entfernt sei. Da in der Lage
des Punktes P dieser Geraden gegenüber kein Gegensatz
zwischen „innerhalb*^ und „ausserhalb^' mehr stattfindet, so
bildet die von X beschriebene Curve einen speciellen Fall
sowohl der Ellipse als der Hyperbel. (Wenn P auf der Leit-
linie liegt, so erhält man wie früher die in P auf letzterer
senkrecht stehende Gerade als Weg des Punktes X.) End-
lich ist klar, dass die durch und X gehende Gerade, welche
firüher um den Punkt sich drehte, jetzt parallel mit der
Geraden vorwärts rücken wird. (Vgl. Nr. 3.) — Im All-
gemeinen ergeben sich die Eigenschaften der Parabel aus
denen der Ellipse oder Hyperbel durch die eben erwähnte
Specialisirung.

Wenn eine Gerade parallel mit einer festen Geraden
sich vorwärts schiebt, und ein auf ihr befindlicher Punkt X
sich inzwischen so auf ihr bewegt, dass er von einer auf
senkrecht stehenden festen Geraden und einem auf liegen-
den Punkte P stets gleichweit ent-
fernt ist, so heisst die von X
beschriebene Linie Parahd, Die
Gerade heisst Axe der Parabel.
Jeder Lage der sich schieben-
den Geraden entspricht ein Punkt
O X der Parabel, aber auch ein
Punkt Ä der Leitlinie. Zu jedem
Punkte der letzteren gehört also
ein Punkt der Parabel. Daher
heisst Ä der LeitpunM zu X.

Man findet X, indem man
durch Ä die Parallele zu zieht,
^«- ^' und in der Mitte der Verbindungs-

linie von A und P die Senkrechte errichtet. Der Durchschnitts-
punkt der beiden Geraden ist X.

Da die Entfernung des Punktes X von der Leitlinie eine

— 55 —

eindeutige Grösse ist, so hat die durch X (d, h. jede) mit
gezogene Parallele auch nur eirhen Punkt mit der Parabel
gemeinsam. Man kann jedoch die Richtung dieser Parallelen
selbst den unendlich entfernten Punkt der Parabel nennen^
und dann sagen, der zweite gemeinsame Punkt sei dieser un-
endlich entfeftmte Punkt,

Aus der Entstehung der Curve folgt ferner, dass bei der
unbegrenzten Vorwärtsbewegung der erzeugenden Geraden
auch X sich mit derselben in's Unendliche von entfernt,
ebenso ^ber auch von der Leitlinie. Die Parabel ist also eine,
wie die Ellipse, aus einem Zuge bestehende, aber, wie die
Hyperbel, unbegrenzte Curve.

Da zu jedem Punkte X der Parabel der entsprechende
Punkt X' mit dem unendlich entfernten Punkte zusammen-
fällt, so vertreten die durch Punkte der Parabel mit der Ge-
raden gezogenen Parallelen die Stelle der Durchmesser, und
der Mittelpunkt liegt im Unendlichen.

Der Punkt P heisst Brennpunkt der Parabel, und die
von X nach P, und parallel mit (nach dem unÄidlich ent-
fernten Brennpunkt 0) gezogenen Linien (rj und r^) Leitstrahn,

Sei S der Durchschnittspunkt der Parabel mit ihrer Axe,
und T sein Leitpunkt, so ist

^ 2 \

d. h. : Der Durchschnittspunkt der Parabel mit ihrer Axe liegt
in der Mitte zwischen seinem Leitpunkt u/nd dem Brennpunkte.

Während die erzeugende Gerade sammt dem Punkte A 81.
in fortwährender Lagenänderung begriffen ist, dreht sich die
Strecke (B— X) um den Punkt P, ohne jemals in eine vorige
Richtung zurückzukehren. Denn in dem Masse, als A nach
der einen oder anderen Seite sich von T entfernt, nähert sich
(B — X) der zu (0) parallelen, resp. entgegengesetzten Rich-
tung, und macht also überhaupt nur eine halbe Umdrehung.
— Demnach kann, die durch {B — X) bestimmte Gerade in
jeder Richtung nur einen Punkt mit der Curve gemeinsam
haben, und heisst daher Tangente der Parabel.

Die Tangente beschreibt im Verlauf ihrer Drehung den-
jenigen Theil der Ebene, welcher den Brennpunkt der Pa-
rabel nicht enthält. Sie umhüllt die Parabel und kann als

^

— 56 —

erzeugendes Gebilde derselben angesehen werden. Ein Punkt
der Ebene liegt auf der convexen oder der concavm Seite der
Parabel, jenachdem er von irgend einer Tangente getroffen
wird oder nicht. Man kann also nur von einem auf der
convexen Seite der Parabel liegenden Punkte eine Tangente
an diese Curve ziehen.

Die Tangente im Punkte X steht senkrecht auf der Linie,
welche den Winkel der zugehörigen Leitstralen halbirt, wnd
letztere bilden gleiche Winkel mit ihr.

Die Tangente im Endpunkte der Äxe (Scheitel) steht auf
dieser senkrecht.

Da der Kreis, welcher die Ellipse, resp. Hyperbel in den
Endpunkten ihrer Hauptaxe berührte, für die Parabel in ihre
Scheiteltangente übergeht, so folgt weiter der Satz: Die
Fusspunkte der vom Brennpunkte auf beliebige Tangenten ge-
fällten Senkrechten liegen auf der Scheiteltangente»

Wenn L ein beliebiger Punkt der Tangente ist, so ist
das Dreieck der Punkte LBP stets rechtwinklig, also liegt B
auf der über {L — P) beschriebenen Kreislinie, mithin da wo
dies6 Kreislinie von der Scheiteltangente getroffen wird. Im
Allgemeinen also liefert ein Punkt zwei Tangenten an die
Parabel.

Anmerkung. Hieraus folgt die Constructiou der Tangenten von
einem beliebigen Punkte L an die Parabel.

Rückt L in unendliche Ferne, so geht die erwähnte
Kreislinie über in eine durch P auf (P — L) senkrecht ge-
zogene Gerade. Da diese Gerade mit der Scheiteltangente
nur einen Punkt gemeinsam hat, so kann man nur eine Tan-
gente parallel zu einer gegebenen Richtung an die Parabel
ziehen.

Anmerkung. Die Construction dieser Tangente geht aus dem eben
Gesagten hervor.

32, Jeder Punkt einer Tangente ist gleichweit entfernt von
dem Brennpunkt und dem Leitpunkt des Berührungspunktes.
Wenn daher X und X, zwei beliebige Punkte der Curve sind,
Ä und A^ ihre Leitpunkte, und L der Schnittpunkt ihrer
Tangenten, so ist das Dreieck der Punkte LÄÄ^ gleich-
schenklig, und der Winkel an der Spitze desselben wird durch

- 57 -

die aus L auf die Leitlinie gefällte Senkrechte halbirt. Oder:
Verbindet man die Leitpunkte der Berührungspunkte zweier
Tangenten mit deren Schnittpunkte y so wird der Winkel dieser
Verbindungslinien durch den-
jenigen der Axe parallelen
Leitstral halbirt, welcher
durch den Schnittpunkt der
Tangenten geht.

Sei die Richtung der
Axe, und C diejenige einer
Geraden, die so bestimmt
ist, dass, wenn

(L~-^)i-/* = (L — P),
dann auch

{Ä—0)i-C=^{F-C)
ist. Dann folgt:

(L — 0)i-/* = (i-(7).

Und nach Analogie mit den
entsprechenden Sätzen der
Ellipse und der Hyperbel wird
man schliessen, dass C der
Leitpunkt von X, auf einer unendlich entfernten, auf (P — X^)
senkrechten Geraden ist, die man als Leitlinie mit dem Centrum
P betrachten kann. Dann gestattet die letzte Formel folgende
Fassung: Verbindet man den Durchschnittspunkt L zweier
Tangenten an die Parabel einerseits mit dem Brennpunkt P
und dem unendlich fernen Punkt 0, andrerseits mit dem Leit-
punkt des einen Berührungspunktes (X) und dem unendlich
fernen Punkte der Geraden (P— X,), so sind die Winkel
zwischen einer Verbindungslinie der ersten und einer der zweig-
ten Art einander gleich, — Der Winkel der Tangenten ist

5-i^ ^ der Winkel der nach den Punkten A und C gezogenen

Geraden ist ^7^^ • Man sieht ferner, da^ die Winkel X, i X

wnd OLP dieselbe Hälbirungslinie haben..

Der Winkel der von L nach (7 und P gezogenen Geraden

ist also ^ , ^ — iJ == 2-^ : mithin der Winkel der von P

Fig. 16.

— 58 -

83. L

nach X, und L gezogenen Geraden 2i2 — 2"^* "" ^^d^®^'
seits ist der Winkel der Geraden {L — A) und {L — 0) gleich
-^Y^ ; mithin der von {A — L) und {A — 0), oder von (P — L)

und (P~ X) gleich 2R — ^ .

Speäelle Fälle. 1) /J + y = 2. — Dann ist {L — ^)
= — {L — A^)\ d. h. die" drei Punkte LAA^ liegen auf einer
Geraden; und da A und A^ stets auf der Leitlinie liegen ^ so
ist diese selbst die erwähnte Gerade. Da jetzt der Winkel
der Tangenten ein Rechter ist; so hat man den Satz: Die
von irgend einem Funkte der Leitlinie an die Farabd gezoge-
nen Tangenten bilden einen rechten Winkel.

Da nun die Winkel, welche {F — L) mit (P — X) und
(P — Xj) bildet, beide Rechte sind, so liegen die drei Punkte
PXXj in gerader Linie; mithin haben wir den Satz: Die
Berührungssehne der von einem Funkte der Leitlinie an die
Farahel gezogenen Tangenten geht durch den Brennpunkt.

Hiernach gehen die beiden , an entsprechender Stelle bei
der Ellipse und Hyperbel angenommenen speciellen Fälle bei
der Parabel in einen einzigen über; und wenn wieder die
aus dem zweiten dieser Fälle hervorgehende Gerade Directrix
genannt wird, so kann man sagen, dass für die Parabel die

Directrix mit der Leitlinie zusam-
menfällt. — Diejenige durch den
Brennpunkt gehende Sehne, welche
der Directrix parallel ist, heisst
Farameter der Parabel.

Für jeden Funkt der Farahel
ist das Verhältniss seiner Entfer-
nungen von der Directrix und dem
Brennpunkte gleich 1 . — Sei K der
Schnittpunkt der Axe mit der Di-
rectrix, ferner q der numerische
Werth der Strecken (-4 — X),
(P — X), <p der Winkel zwischen
(P-X) und (P— X), so ist
(P — S)= p — (X— P); andrerseits: (P— iS) = — q . cosg?;
folglich Q — (X — P) = — p . cos 9)y oder (> (1 + cos 9)

Fig. 17.

— 59 -
= (K—F). Sei 1^ der Werth, den p für 9) = 1 Rechter

annimmt, so ist ^ = {K— P) 5 also q = g (^ ^^^^ ^^ • Diese

Gleichung heisst die Polargleichung der Parabel 5 p ist der
Parameter. Sie geht aus derjenigen der Ellipse oder Hyperbel
hervor, wenn man dort e = + 1 setzt. Daher stellt die

Gleichung p = ^ ,, , ^ , wenn man darin e von + 1

bis — 1 variiren lässt, folgende Curven dar:

i?-(+i), <(+l)u.>0, =0, <Ou.>(-l), -Hl)
Parabel, Ellipse, Kreis, Hyperbel, Parabel.

Zweite Abtheilung.
Die Projectivität von Punkten und Linien.

Der BegriflF der Involution von Punkten und Linien, nebst 34,
den Gleichungen, welche zwischen involutorischen Gebilden
bestehen, wurde in der ,, Raumlehre" Nr. 171 aufgestellt, und
es wurde in Nr. 185 und 186 gezeigt 9 dass mittelst des Be-
griffes der reciproken Verwandtschaft jeder durch eine Glei-
chung zwischen Punkten darstellbare Satz einen reciproken
Satz nach sich zieht, welcher durch eine Gleichung zwischen
Linientheilen dargestellt wird. — Im Folgenden sollen nun die
verschiedenen projectivischen Beziehungen zwischen Punkten
und Linien abgeleitet werden, und es wird der Begriff der
Reciprocitat in der Weise verwendet werden , dass jedem Satze
sein reciproker gegenüber gestellt wird.*)

* —

*) um dem Gegenstände dieser, wie dem der folgenden Abtheilung
seine Stelle im „Systetn der Baumlehre**^ anzuweisen, erscheint es zweck-
mässig, die dort gegebene Beihenfolge der Gegenstände in folgender
Weise zu ändern:

II. Grössen im Gebiete der Ebene.

A. Abgeleitet aus einer beweglichen Geraden,
a. Einfache Bewegung (S. 23—69).

ß. Zusammengesetzte Bewegung (Äbth. 1. des vorliegenden Buclies).

B. Abgeleitet aus mehreren festen Strecken oder Punkten.
1. Einfache Grössen.

a) Einzelne Grössen (S. 70—129).

60 -

1. Halbirungspunkte und Halbirung:slinien.

35, Betrachten wir zuerst den speciellen Fall, dass von vier
harmonischen Punkten auf einer Geraden der eine, Dy in
unendliche Ferne gerückt sei, dann halbirt der ihm zugeord-
nete Punkt B die Strecke zwischen den beiden anderen, A
und Cy und man hat:

B

A+C

D =

A^ C

wobei D ein Punkt mit dem Coefficienten 0, d. h. eine Strecke
oder ein unendlich feruer Punkt ist.

Sind nun ab cd vier durch die Punkte AB CD resp.
gehende harmonische Linien, von der Art, dass 6 auf der
Geraden der vier Punkte senkrecht steht, so halbirt b den
Winkel der Geraden -}" ^ ^^^ + ^j ^^^ d denjenigen der
Geraden + a und — c. (Vgl. „Rauml." S. 80 unten.)

Nun ist aber vermöge
der reciproken Verwandt-
schaft:

a + c

& =

rf =

a — c

man kann also sagen, dass
^jy die Halbirungslinie des Win-
kels zweier Geraden -|- a und
+ c dargestellt werde durch

Fig. 18.

a±c ^

)

Ist die Richtung von b eine andere, so sind b und c? nicht
mehr die Halbirungslinien der Winkel (+ a, + ^') und
(+ dy — c)^ sondern es besteht nur die allgemeine Gleichung:

b) Vereine von Grössen (S. 133 — 137, 141 — 163. AUheilung 2. des
vorliegenden Buches),

2. Zusammengesetzte Grössen (S. 129—133, 137—141. Ahthlg. 3
des vorliegenden Btiches'),
*) Wenn sonst die Halbirungslinie h des Winkels zweier Geraden

o, ^ (ihre Mittelrichtuug) durch b = Vac bezfnchnet wird (vgl. „Raum-
lehre** Nr. 83), so stellen die Buchstaben abc in dieser Formel die Ge-
raden rntr ihrer Bichtting, nicht ihrer Lage nach dar. Jene Bezeichnung
ist also in den gegenwärtigen Untersuchungen, wo es wesentlich mit
auf die Lage der Geraden ankommt, nicht mehr ausreichend.

— 61 —

sin (bä)

sin (da)

sin (jbc) sin (de)

Es gelten daher die Sätze 7011 Halbirangslinieii der
Winkel ebensowohl von allen Linien, welche die Winkel so
theilen, dass das Yethältniss der Sinus der beiden Theile für
alle Winkel dasselbe ist. Des bequemeren Wortausdruckes
wegen soll jedoch im Folgenden der Ausdruck „Halbirungs-
linie" (fiir welchen jenes Verhältniss den Werth 1 hat) bei-
behalten werden.

Wenn ABC drei Punkte der Ebene sind, und abc die
durch die Linientheile BCj CA, AB resp. bestimmten Ge-

a — b , h — c , c — a ^^

Fig. 19.

raden, so lassen sich a, 6, c mit A, B, C reciprok verwandt
setzen, imd man erhält folgende identische Gleichungen und
Lehrsätze (s. zuerst die Anmerkung am Schluss dieser Sätze):

Die unendlich entfernten PunJcte
auf den Seitenlinien eines Drei-
ecks liegen auf einer (unend-
lich fernen) Geraden. (Vgl.
Nr. 120.)-

- (^") + {^)

Die Verbindungslinie der Mitten
zweier Seiten eines Dreiecks ist

2 ' 2 ' 2
Die Halbirungslinien der inne-
ren Winkel eines Dreiecks
schneiden sich in einem Punkte.

- C4-') + M

+ (:-¥) - »•

Die Halbirungslinien zweier
äusseren und des dritten inne-

- 62 —

der dritten Seite parallel (liegt
auf derselben Geraden mit dem
unendlich fernen Punkte der
dritten Seite).

3Jlf=(^+JB) + G=(-B+C)

Die drei Transversalen eines
Dreiecks schneiden sich in
einem Punkte (M).

+ Ä = {A^C) + B.

Eine Transversale und die aus
den zwei anderen Ecken mit
den Gegenseiten gezogenen Pa-
rallelen schneiden sich in einem
Punkte (N).

ren Winkels eines Dreiecks
Schneidensich in einem PuMe.

3m = (Ä + 6) + c = (6 + c)

-|- a = (c + öt) + ^•

Die Punkte, in welchen die
Hdünrungslinien der Aussen-
winket eines Dreiecks die Gegen-
seiten schneiden, liegen in einer
Geraden (m).

n = {a-\'h) — c = (6 — c)
-\- a = {a — c) + 6.

Die Punkte, in welchen die
Halhirungslinien zweier inne-
ren und des dritten äusseren
Winkels eines Dreiecks die
Gegenseiten schneiden, liegen in
einer Geraden (n).

Anmerkung. Was die Uebertragung der Formeln in Worte be-
trifft, 80 sagen die beiden ersten Formeln aus, dass drei Punkte,
zwischen denen eine Zahlbeziehung besteht, in einer Geraden liegen,
resp. dass drei Geraden mit gleicher Eigenschaft durch einen Punkt
gehen. — Die beiden letzten Formeln sagen erstens aus, dass ein Punkt
(Mf N) aus drei Punktepaaren gleichzeitig ableitbar ist, woraus folgt,
dass die jene Punktepaare verbindenden Geraden durch denselben Punkt
gehen; zweitens sagen die Formeln aus, dass eine Gerade (fn^n) aus
drei Linienpaaren gleichzeitig ableitbar ist, woraus folgt, dass die
Schnittpunkte jener Linienpaare auf derselben Geraden liegen.

2. Harmonisohe Funktreihen und Stralenbüschel.

36, Wenn A, B, C drei Punkte der Ebene sind, und X ein
beliebiger vierter Punkt, welcher durch die Zahlen mnp aus
den vorigen abgeleitet ist, sodass

X = mA-{-nB-\'pC,

so sind die Schnittpunkte X^XjXg der Geraden (^X), (BX)^
(CX) mit resp. (JBC), (CA), (AB), bestimmt durch die
Formeln :

— 63 —

Z,=

n

-B +

2 JP + w

m

•* m-f-n

A +

P

m
jp + w

n

5.

(Vgl. „Raumlehre" Nr.ll4flF.) Sind femer ^jJSiC, die Punkte,
in denen {BC), (CA),
(AB) resp. von (Xj Xj),
(X3 XO , (Z, X,) ge-
schnitten werden, so ist

(jp — n)Ä^ =pC — n£]

(n — m)Ci = nB'—mA]
folglich durch Addition :

+ (w— m)C, = 0;

d. h. : j4, , B^ und C^
liegen in derselben Ge-
raden.

Hieraus folgt reci-
prok, dass, wenn die
Seiten eines Dreiecks
von einer beliebigen Ge-
raden geschnitten werden, durch eine mit der vorigen reci-
proke Construction drei Geraden gefunden werden, die sich
in einem Punkte schneiden. — Ist die beliebige Gerade die-
jenige, welche in der letzten Figur durch A^B^C^ geht, so
ist der Schnittpunkt jener drei Geraden wieder X. Denn sei

{AB) = c, {BG) = a, {CÄ) = b,

(A,B,) = {B,G,) = (C,Ä,) = x,
so ist

(ax) = A^y (hx)=B^, {cx) = Ci]

(&c) = ^, {ca) = B, ah = C,
und wenn folgerecht gesetzt wird:

(A,A) = x,, {B,B)^x,, {C,C) = x,,

Fig. 20:

- 64 —

so gehen die Linien (X J.), (XJS), (XC) resp. durch die Punkte
(^2^3); (j^z^i)) (^1 ^2) *) 5 d' t. : die Verbindungslinien der Punkte
(ab) und (aj^a^j), (6c) und (x2X^), (ca) und {x^x^) gehen durch
denselben Punkt X.

Neben dieser allgemeinen Beziehung zwischen den Ge-
bilden X und X ergeben sich für unsere Figur noch weitere
Sätze.

1) Da die Linien (XA), (XB), {XC) nicht nur durch
die Punkte {x^x^^ (^3^1)? (^1^2); sondern auch durch X^,
X2, X3 gehen; und diese letzteren Punkte die vierten har-
monischen Punkte resp. zvlÄijBC, B^CA, C^AB sind (nach
;;Baumlehre^^ S. 80)^ so lässt sich das in der legten Anmerkung
erhaltene Resultat in folgenden Sätzen aussprechen:

Werden die Seiten eines Drei-
ecks von einer Geraden geschnit-
ten, und construirt man 0u
einem Schnittpunkt auf der
zugehörigen Seite den vierten
harmonischen Punkt, so geht
die Verbindungslinie dieses
Punktes mit der gegenüberliegen-
den Ecke, und die Verbindungs-
linien der beiden anderen Schnitt-
punkte mit den gegenüberliegen-
den Ecken durch denselben
Punkt. '

2) Äddirt man die Formeln:

— {n -j- p) X^ = — nB — pC ,

(P'j-m)X2=pC -^ mÄ,

( n — m) Ci = nB — mA ,
so folgt:

(n — w) Ci + (p + m) Zj — - (w + p) Xj

Verbindet m^n einen Punkt
mit den Ecken eines Dreiecks,
und construirt zu einer Ver-
bindungslinie durch die entspre-
chende Ecke die vierte harmo-
nische Linie, so liegt der
Schnittpunkt dieser Linie mit
der gegenüberliegenden Seite,
und die Schnittpunkte der bei-
den anderen Verbindungslinien
mit den gegenüberliegenden Sei-
ten in derselben Geraden.

= 0,

*) Aus der Formel für -4, folgt: nB =pG — {p — n)Ax\ femer
aus der für X: nB = X — mA — pC\ hieraus: mA — (p — n)A^
=^ X^2pCf und da auch mA — (p — n)-4i » (m — jp) J5i + nB ist,
so gehen die Geraden (^^1)^ (BBi), (CX) durch denselben Punkt;
desgl.: (BJ50, (CC,), (AX)-, {CG,), {A^,), (BX).

— 65

in Worten:

Werden die Seiten eines Drei-
ecks von einer Geraden ge-
schnitten, so liegen die zu
zweien der Durchschnitts-
punJcte auf den entsprechenden
Seiten construirten vierten har-
monischen Funkte mit dem
dritten Schnittpunkt in gerader
Linie,

Verbindet man einen Funkt
mit den Ecken eines Dreiecks,
so gehen die zu zweien der
Verbindungslinien durch die
entsprechenden Ecken gelegten
vierten harmonischen Linien
mit der dritten Verbindungs-
linie durch denselben Punkt

3) Aus den Formeln für X, X^, X^, X3 folgt:
X=^mA + (w+jp) ^1 = nB-^- (j)+ m) X^^=pC'\- {m '\-n)X^,
in Worten:

Werden die Seiten eines Drei-
ecks von einer Geraden geschnit-
ten, und construirt man zu
jedem Schnittpunkt auf der
zugehöriger^ Seite den vierten
harmonischen Punkt, so gehen
die Verbindungslinien dieser
Punkte mit den gegenüberliegen-
denEckendurch denselben Punkt.

Verbindet man einen Punkt
mit den Ecken eines Dreiecks,
und construirt zu jeder Ver-
bindungslinie durch die ent-
sprechende Ecke die vierte har-
monische Linie, so liegen die
Schnittpunkte dieser Linien mit
den gegenüberliegenden Seiten
auf derselben Geraden.

S. Involutorisohe Funktreihen und StralenbÜsohel.

Drei Punktepaare auf einer Geraden (resp. drei durch 37.
einen Punkt gehende Linienpaare) AC, EF, GH sind in-
Yolutorisch^ wenn sie ein gemeinsames harmonisches Paar BD
haben („Raumlehre" Nr. 171). Es bestehen dann die Be-
ziehungen:

1 — a

1 — y '

j. ^ A'\-IC __ E+j^ ^ G+vH
1 + a ~ 1 + ft ■"" 1 + v '

woraus man unter Anwendung der Substitutionen

1— ^x . 1 — fi l — v

1 + i — '^i 5 1 + |[t — ^» '

leicht findet:

Sohlegel, Elemente. 5

r+-v = ^«

— 66 -

^—l + Xi ' ^— 1 + 11, ' ^— l + v, '

C

Sei nun ilf die Mitte zwischen B und D, sodass

2

SO findet sich:

^^ ^^ 2(1 + Zi) ' ^^ ^'^— 2(1 -X,) '

also :

2(M — A) __ (B - D)
(B^ D) ~ 2(M-C) '

oder numeriscli:

(M^Ä) . {M—G) = ^^=^*-
Ebenso erhält man:

{M—E) . {M — F) = {M-G) . (M—H) = (äi^.

Der Punkt M hat also die Eigenschaft, d(iss das numerische
Product seiner Entfernungen von zwei zugeordneten Ttmkten
der involutorischen Reihe constant ist, und gleich dem Quadrat
der halben Entfernung des gemeinsamen harmonischen Paares.
Vermöge dieser Eigenschaft heisst M das Centrum der In-
volution.

Nehmen wir nun an, dass unter den drei Paaren der
involutorischen Reihe das eine, z. B. GH sich auf einen Punkt
reducirC; sodass

Q = H=P.

Dann erhält die Bedingungsgleichung der Involution
(s. „Raumlehre'' Nr. 171):

folgende Form:

d. h.:

oder:

22 _ (Q^-^) U-S)
^ ~'(C^H) ' (G-C)

12-iAziI]!..

~ 67 -

Bezeichnen wir die beiden Werthe von P mit P^ und Pj;

so ist

p A-XC p _ A+'IC

^1 ~ 1 - ;i ' ^2 — 1 4. i ;
oder:

Pi = 5; P2 = D'

Jeder der beiden Punkte £ und D bat also die Eigen-
schaft ^ dass er, als Doppelpunkt betrachtet, mit AG und EF
involutorisch ist.*) — Man nennt dieses Verhältniss die In-
volution von 5 Punkten, «und die Punkte B und D die Doppel-
punkte oder Brennpunkte der Involution.

Haben also zwei Punktepaare ÄC und EF das gemein-
same harmonische Paar BD, so sind B und D die Doppel-
punkte der Involution, und sie sind mit jedem Paare GH
harmonisch, welches mit den beiden gegebenen Paaren in-
volutorisch ist.

Reducirt sich gleichzeitig das Paar OHslwS den Punkt P,
und das Paar EF auf den Punkt P^, so geht die Bedingungs-
gleichung

(J57-H) (G^C ) jA-F) _ ,
(J5;— O) ' {G—F) ' {A^H)~

(„Raumlehre" Nr. 171 am Ende) über in

(P2 - Pj) (Pj - C) U - Pt) ^ I
(P, - C) • {P,-P^) ' (A-P,) ^>
oder :

(Pj-C) _ _ (Pi - A) ,

(Pt-C) — (Pt-A)^

d.h. in die Bedingungsgleichung der Harmonie. — Die Har-
monie ist hiernach ein spedeUer Fall der Involution.

Vertauscht man in den bisherigen Formeln dieser Nr. die
Differenzen der Punkte mit den Sinus der Winkel, die von
den entsprechend benannten Geraden gebildet werden, so
erhält man reciproke Resultate für involutorische Stralen-
büschel.

Drei Punkte auf einer Geraden, J., , A2, Ä^ bilden die88,
drei Gruppen: *

-^1-^2; -^2-^3? -^3-^1'

*) Dies Eesoltat folgt auch daraus , dass man sowohl B wie D als
ein Punktepaar betrachten kann, welches mit dem Paare {BD) har-
monisch ist.

6*

- 68 —

Seien drei Punkte X, F, Z so bestimmt, dass

ZA^ mit A^A^

X-4i mit -42-^3

Y A^ mit A^A^
harmonisch ist. Dann ist

(uäi - A^ _ __ (Z- A^ . {A^-A^ _ __ {Y- A, ) .
(^3 - A,) — (^8 - X) ' (^j - ^2) (^1 - T) '

(^, - ^,) ^ (Z - A)
(^, - ^3) (A^ - Z) *

Diese Gleichungen geben multiplicirt:

{X -^ A^) (Y-A) (^ - -^i) _ 1

Da dies die Bedingungsgleichung der Involution ist, so hat
man die Sätze:

Construirt man zu jedem von \ Construirt man m jeder von

drei Punkten auf einer Geraden
den zugeordneten harmonischen
Punkt, so Mlden die 6 Punkte
eine involutorische Reihe.

drei Geraden durch einen Punkt
die zugeordnete harmonische
Linie, so bilden die 6 Linien
einen involutorischen Büschel.

Vier Punkte auf einer Geraden, J., , A^, A^j A^ bilden
die drei Doppelgruppen:

-^1-^3; -^2-^4 5 -^1-^2; -^3-^4 5 -^l-^4> -^2-^3'

Ist nun Xj Fj harmonisch mit den Paaren der ersten Gruppe,
so ist:

f^Tt ~ A,) _ _ {Y,-A,) . (X, - ^) (r^-J>)

(X, - A) (Y, - ^3) ' (X, - ^4) "^ kY,- A,) '

Durch Multiplication und Division dieser beiden Formeln er-
hält man:

•

(X, -~ A,) (X,-A^) ^ {Y,^A{) jY, - A^)
(X, - -43) • {X, - A,) (Y,-A,) ' (Y,- A,) '

(Xt - A,) (X. - ^4) _ (Y, - A^) iY,-~A,)
(Xi - AO * (X| - uä^) (Y, - ^3) • (Y, - A^) '

Die erste dieser Gleichungen sagt, dass die Paare X, Y,,
^,^2, A^A^y die zweite, dass die Paare X^ Y, , ^j^^, ^2^3
involutorisch sind. Man hat demnach die Sätze:

Ordnet man 4 Ptmkte auP Ordnet man vier Geraden
eine^' Geraden auf dreifache I durch einen Punkt auf drei-

- 69 -

Weise in Gruppen von je zwei
Fdaren, so ffiebt es zu jeder
Gruppe ein Funktepaar, welches
mit den beiden Paaren dieser
Gruppe harmonisch und mit
denen der beiden anderen Grup-
pen involutorisch ist.

fache Weise in Gruppen von je
zwei Fahren, so giebt es zu
jeder Gruppe ein Linienpaar,
welches mit den beiden Faaren
dieser Gruppe harmonisch und
mit denen der beiden anderen
Gruppen involutorisch ist.

Ist Zj Y^ harmonisch mit den Paaren der zweiten Gruppe,
so ist es auch mit X^ F, harmonisch, weil X^ Fj, Ä^ A^, A^Ä^
involutorisch sind, und folglich das den letzten beiden Paaren
gemeinsame harmonische Paar auch harmonisch zum ersten
Paare sein muss. — D. h. :

Construirt man zu jeder der
drei Funktgruppen des vorigen
Satzes das gemeinsame har-
monische Faar, so sind diese

Construirt man zu jeder der
drei Liniengruppen des vorigen
Satzes dOfS gemeinsame har-
monische Faar, so sind diese

Faare auch unter einander Faare auch unter einander

harmonisch.

harmonisch.

4. Involutorische Funkt- und G-eraden -Vereine.

Vier beliebige Geraden ab ex schneiden sich im All- 39.
gemeinen in 6 Punkten ABCA^B^C^ (Fig. 20). — Nun folgt
aus den in Nr. 36 angegebenen Ausdrücken für A^ jB, C\ :

(^,-5)-^-^((7-JB)i (^._(7)=^(0-S);

mithin :

Ai-B p

Ebenso :

Multiplicirt:

A^-C

B,- C
Bi A "

C\ A
Ci B "

^.

-B B,- C

,— ..,■■ ■ ■ ■■ • ■ ~— ■ — —

n
m

n

— — — •

m

C^- A

Ai-C B^ — A Ci- B

= 1.

Da diese Gleichung, wenn die 6 Punkte in einer Geraden
lägen, die Bedingungsgleichung ihrer Involution sein würde
(nach „Raumlehre" Nr. 171 am Ende), so können wir auch

- 70 —

den Verein dieser 6 Punkte einen involutorischen nennen^ und
sagen: Die 6 Funkte, in denen 4 Geraden in der Ebene sich
schneiden, bilden einen involutorischen Verein. — Reciprok:
Die 6 Geraden (abca^biC^), welche man zwischen 4 Punkten
in der Ebene (ÄBCX) ziehen kann, bilden einen involuto-
rischen Verein.

Es seien A^, Bq, Cq die Punkte, in welchen drei Ge-
raden (a, 6; c) eines beliebigen involutorischen Vereins von
einer beliebigen Geraden Xq geschnitten werden , sodass

(a-ß)CQ = aA—ßB.

Der Schnittpunkt X der drei anderen Geraden des Vereins
(«1, 6,, c,) sei wie früher durch die Formel bestimmt:

X = mÄ + nB+pC,

und es seien A^, B^, C^ die resp, Schnittpunkte dieser drei
Geraden mit x^. — Um einen dieser Punkte, z. B. B^^ zu
bestimmen, ist auszudrücken, dass er gleichzeitig aus G^ und A^y
sowie aus X und B ableitbar ist. Nun ist

my{a — ß)CQ '—pa{ß—y)AQ =m'yaA — (mßy -{- paß)B '
-\-payC==^ya(mA-\-nB'j-pC) — (mßy'\-nya-\-paß)B ]

oder, durch ya dividirt, und — -^ ^ + ^ = r gesetzt:
Ebenso:

A, = ^(Y-a)B,-f{a-ß)C\ = X-raÄ.

Aus diesen Formeln folgt durch äussere Multiplication, •
und nachherige Division:

(^j6^ = p(Y-ß)ct(A,Co ) ^ pcc(ß-Y) ^

(JÖg^o) w C« - jSj y (CoA) myia-ß) ^

(C^Aq) ^ m (a — y) ß (BpA p) ^ mß (y ~ «)

(C,Bo) n ((3 - y) a {A^B^) n« (j3 - y) '

(^2^o) ^ n(P-tt)y(Co^o) ^ n y (« - ß)

^ U«CW i> (y - «) (J (-BoCo) pß (y - a) *

- 71 -

Durch Multiplication dieser drei Gleichungen folgt:

jB^Go) (C7,A) (^,Bo) _ . ,

d. h.: Ein involutorischer Ge-
radenverein wird von jeder
Geraden in einer invölutorischen
Punktreihe geschnitten.

Ein involutorischer Punkt-
verein giebt, mit einem beliebigen
Punkte verbunden, einen in-
volutorischen Stralenbüschel.

Ist a = m, ß = n, y=Py so fallen AqJBqCq der Reihe
nach mit Ä^JB^Cx zusammen.

Wenn die beliebige Gerade durch einen Schnittpunkt
zweier Geraden des Vereins geht; so enthält die involutorische
Punktreihe einen Doppelpunkt. Ist die Gerade mit einer der
Geraden des Vereins parallel^ so fallt ein Punkt der in-
völutorischen Reihe ins unendliche. Reciprok: Wenn der
beliebige Punkt mit zwei Punkten des Vereins auf derselben
Geraden h'egt^ so enthält der inyolutorische Stralenbüschel
einen Doppelstral. Fällt der Punkt mit einem der Punkte
des Vereins zusammen, so wird ein Stral des invölutorischen
Büschels unbestimmt.

Bestimmt man auf c{A — S) zu Cq den vierten har-
monischen Punkt (7q, und auf c^ (C — X) zu Oj ^®^ vierten
harmonischen Punkt (/j) ^^ ^^^

(vgl. den oben gegebenen Ausdruck für (7g u. „Baumlehre"
Nr. 169). Weiter ist:

Z + yrC=Cj(l+yr).

Addirt man diese Formel zu der vorigen , nachdem die letztere
mit r multiplicirt ist, so folgt:

X + r(aÄ + ßB-\-rC) = r(a-\-ß)C; + (l + rr)C^.

Macht man dieselbe Construction auf a und a^ resp. b und b^,
so folgt:

X + r(aÄ + ßB+yG) = r(ß + y)A, + (il + ar)Ä\',
X+r(iaÄ-\-ßB + yC) = r(y + a)R, + (l + ßr)B',.

Folglich schneiden sich die Geraden (^'q^'j)» (^0^2);
(CqCj) in dem Punkte, welchen die linke Seite der Glei-
chungen ausdrückt; und man hat die Sätze: -

- 72 —

Wird ein involutoriscJier Ge-
radenverein von einer heliebigen
Geraden geschnitten, und con-
struirt man auf jeder Geraden
den vierten harmonischen Punkt
^um Schnittpunkte 3 so gehen die
drei Geraden, welche die vierten
harmonischen Punkte auf je
zwei gleichnamigen Geraden
verbinden, durch denselben
Punkt.

Wird ein involutorischer
Punktverein mit einem belie-
bigen Punkte verbunden, und
construirt man durch jeden
Punkt den vierten harmonischen
Stral zur Verbindungslinie, so
liegen die drei Punkte, in denen
die vierten harmonischen Stralen
durch je zwei gleichnamige
Punkte sich schneiden, auf der-
selben Geraden.

40, Wenn in der Ebene 6 beliebige Punkte A^, A^y A^, A^,

A^, Aq gegeben sind, so giebt es ein einziges Punktepaar X, Y,
welches sowohl mit -^^J-j und A^A^ als mit -^2^3 und A^A^
zusammen einen involutorischen Verein bildet. Denn aus
den Gleichungen

(1)
(2)

(X -^ A^)

(^2 - A)

(•^4 - -^2)

iA-Y)

{X - Ä,) (A^ - Y) {Ä, - ^3)

welche diese Eigenschaft von X und Y ausdrücken, sind diese
beiden Punkte in eindeutiger Weise bestimmbar. (Zu beach-
ten ist, dass die zweite Gleichung durch blosse Vermehrung
jedes Index um eine Einheit aus der ersten hervorgeht.)

Durch Ausführung der äusseren Multiplication (unter
Beachtung der Regel, dass ab = — ba) erhält man aus der
Gleichung (1):

+ Zr^i - XA,A^ — X lA, — A^A^A, + YA^A^
-\-A^A^A^ = ^ XA,A^^ XYA, + XYA^ - A,A^ A^

oder, wenn zur Abkürzung

«1 = (^1 — A) + (-^4 - -^o) ;

dl =A^A,(Ai — A^) + ^5 ^, (^4 - A^)
= A,A,(A, - A,) + A,A,{A, --A,)

gesetzt wird:

(3) XYai + (X- 7)6, + d, =0.

6,«!

— 73 —

Durch Vergrösserung der Indices um 1 ürhäli mau hieraus
folgende, mit der Gleiehnng (2) äquivalente Form:

(4) XYa, + {X-T)b, + d, = 0,
worin

»2 = -^3-^5(^2 — -^e) "f" -^6-^2(^5 — -^3)

Durch Addition von (3) und (4) folgt:

(5) X Y{a, + a,) + (X- Y) (6, + i,) + (rf, + e?,) = 0.

Und es werden die Gleichungen (3) (4) (5) durch dieselben
Werthe von X und Y gleichzeitig befriedigt.

Wenn wir nun durch a^b^d^ diejenigen Grössen bezeich-
nen , welche aus a^bi^z ^^^^^ Vorwärtsschiebung der Indices
um eine Einheit (aus 6 wird 1) entstehen^ so ist:

Erstens:

«i + «2 = — ^3 + ^1 — A + A ;
d. h.:

(6) aj + 0^2 = — 0^3 •
Zweitens:

fe, + 62 = ^1 A + ^2^3 + AA + AA'

Nun bedeutet aber das Product zweier Punkte den dazwischen
liegenden lAnientheil, und es ist im Sechseck der 6 Punkte
(nach „Raumlehre" Nr. 130):

-^1^2 "f" ^2^3 4" ^3^4 "f" -^4^5 4" ^5^6 "f" -^6^1 "== ^5

folglich:

oder:

(7) ' h, + h^=-h,.

Drittens: .
dx -\- d^ = A^A^iSi — -^2-^4-^5 T" -^5-^1-^4 -^5-^1-^2

Nun bedeutet aber das Product dreier Punkte den dazwischen
liegenden Flächentheil, und es ist im Sechseck der 6 Punkte

~ 74

offenbar (wenn man zur Abkürzung nur die Indices statt der
Buchstaben mit Indices hinschreibt)*):

(124) + (235) + (346)
J + (451) + (562) + (613)

> = (125) -h (236) + (341)

+ (452) + (563) + (614);

d. h. :

(124) — (125) + (235)
— (236) + (451) - (452)
+ (562) — (563) =—(346)'
+ (341) — (613) +(614),

oder:

(8) 0^1+0^2 = dg.

Setzt man nun die Werthe

(6) (7) (8) in (5) ein, so folgt:

(9) Zr. «3 + (Z—r)&3 + df3 = 0.

Und da diese Gleichung ausdrückt, dass das Punktepaar X Y
auch mit -43-44 und Ä^Ä^ zusammen einen involutorischen
Verein bildet, so hat man die Sätze:

Fig. 21.

Bildet ein PunMepaar einßn
involutorischen Verein mit den
Ecken zweier Gegenseiten- Paare
eines Sechsecks y so bildet es einen
solchen auch mit den Ecken des
dritten Gegenseiten - Paares,

Bildet ein Linienpaar einen
involutorischen Verein mit den
Seiten, welche in zwei Gegen-
ecken- Paaren eines Sechsseits
zusammenstossen , so bildet es
einen solchen auch mit den vom
dritten Gegenecken- Paar aus-
gehenden Seiten.

Liegen insbesondere die 6 Punkte in einer Geraden (resp.
gehen die 6 Linien durch einen Punkt), so verwandeln sich
die involutorischen Punktvereine in Punktreihen (resp. die
Geradenvereine in Stralenbüschel).**)

In diesem speciellen Falle haben die drei involutorischen

*) S. die Fig. 21, wo die jedem Flächeutheil eingeschriebene Zahl
angiebt, wie oft er auf jeder Seite der folgenden Gleichung vorkommt.

**) Vgl. die analytische Ableitung dieses speciellen Falles bei Hesse,
„Vorlesg. a. d. anal. Geom. d. geraden Linie etc. 186Ö". S. 68—74.

— 75 —

Punktreihen je ein gemeinsames harmonisches Paar. Es
sei nun

X^T^ harmonisch mit Ä^Ä2j Ä^A^^ XY ,

A2I2 )) ,} ^2^3 9 ^b^Q} XY ,

-^3^3 fJ )> ^3^4; -^6^1? XY.

Dann haben die drei Paare X^Y^, X^Y^, X^Y^ das gemein-
same harmonische Paar XYy bilden also eine involutorische
Reihe, und da die Punkte dieser Reihe durch die 6' beliebigen
Punkte A^ . , . Af. vollständig bestimmt sind („Raumlehre"
Nr. 170^ ohne dass man nöthig hat, das Paar XF zu Hilfe
zu nehmen^ so hat man die Sätze:

Liegen 6 Funkte, 1 ... 6 auf
einer Geraden, so bilden die
drei Punkt&paare, welche der
Beihe nach mit 12, 45, mit
23, 56; und mit 34, 61 harmo-
nisch sind, eine involutorische
Meihe,

Gehen 6 Geraden, 1 ... 6
durch einen Punkt, so bilden
die drei Linienpaare, welche
der Beihe nach mit 12, 45, mit
23, 56, und mit 34, 61 harmo-
nisch sind, einen involutorischen
Büschel,

5. Frojectivische Funktreihen und Stralenbüsohel.

Darstellung der Verwandtschafts-Beziehungen durch denil.
Begriff des Quotienten*), — Gebiet der Geraden,

Ein Punkt ändert seinen Ort nicht durch Multiplication
mit einer reellen Zahl. Wir können aber eine Grösse A an-
nehmen, mit der Eigenschaft, dass sie als Factor einen
Punkt e^ in einen anderen e^ überführt, sodass

(Ja) Ae^ = e^

ist. Wenn nun auf der Geraden alle Punkte aus zwei Punkten
Bx und ^2 abgeleitet werden, so ist

(2a) «1 =«11^1 + «12^2**)

(3a). Ab^ =5 a^^Ae^ + ^12 ^^2 •

*) Der Inhalt dieser und der folgenden beiden Nrn., die dem in
der Ueberschrift bezeichneten Gegenstände nur zur Einleitung dienen,
ist eine tiefer begründete Darstellung der Nr. 181 — 184 (incl.) der
,,Baumlehre*^ — Ueber den Zusammenhang des Quotienten mit dem
in Nr. 8 aufgestellten „Lückenausdruck** s. Grassmann, Ausdehnungs-
lehre II. Nr. 382.

**) Setzt man e^ = c^n l^i -f- ori^l e^, so wird, da die Ergänzung eines

— 76 —

um A unabbängig von e^ und e^ ausdrücken zu können (was
durch Elimination dieser Grössen zu bewerkstelligen ist);
müssen wir noch den Punkt ^2 einführen ^ welcher aus e^
durch Multiplication mit A entsteht. Dann ist

(Ib) Aer^ = ^2

(2b) £2 = «21^1 + «2-2^2

(3b) Ab^ = «21 ^^i + 0:22^^2 •

Nach den Formeln (1) ist also A eine Grösse, welche
mit ß| multiplicirt das Resultat ^j, dagegen mit e^ das Re-
sultat «2 giebt. — Nach Analogie der algebraischen Operation
kann man hiernach A als Quotienten der Punktepaare fj, Cx
und ^2; ^2 bezeichnen, und schreiben:

(4) A =

«0^2

Anmerkung. Der gewöhnliche Begriff des Quotienten ist in dem
hier aufgestellten als specieller Fall enthalten. Gehen wir vom Ge-
biete der Geraden auf das des Punktes zurück. In jenem kann ein
Punkt in einen andern, in diesem nur in sich selbst übergeführt werden.

Im Gebiet des Punktes nun ist ^ = — ^ • Und da die zusammenfallen -

den Punkte ej und €| nur durch einen reellen Zahlcoefficienten sich
unterscheiden können, so ist A eben dieser Zahlcoefiicient , und als
solcher der Quotient der beiden gleichnamigen Grössen c^ und Ci, die
hier ganz in der Rolle der sogen, benannten Zahlen erscheinen. —
Vgl. Grassmann, Ausdehnungslehre II. S. 241 ff.

Durch äussere Multiplication der Gleichungen (1) erhält
man, wenn A . A durch (A^) bezeichnet wird:

(A^) . (^1 62) == («1 £2) y

oder, da (Cj e,) = 1 ist, und indem man die Formeln (2) an-
wendet:

(5) {A'^) = aija22 — «12 «21 •

Die Grosse (A^) , welche dem äusseren Producte der Zähler
des Quotienten (4) gleich ist, heisst der Potenzwerfh dieses
Quotienten. *)

Punktes auf einer Geraden wieder ein Punkt ist, weder an der Rech-
nung noch an ihrer geometrischen Bedeutung etwas geändert.

*) Da A eine Grösse 0. Stufe ist, so ist auch A . A oder (A^) eine
solche , wir können daher {A^) als algebraisches Product von A und Ay

— 77 —

Die Grosse A ist hiernach im Gebiete der Geraden voll-
standig bestimmt, wenn zwei beliebige Punkte {e^^ e^) gegeben
sind, und zwei beliebige andere {b^, S2), in welche jene über-
geführt werden. — Das Punktepaar 6^62 heisst nun verwandt
mit dem Punktepaare s^ e^* Man kann also auf einer Ge-
raden zwei beliebige Punktepaare einander verwandt setzen.

Sei X ein neuer beliebiger Punkt der Geraden, bestimmt
durch die Formel:

Dieser Punkt wird durch Multiplication mit A in einen ande-
ren Punkt S übergeführt werden. Und man hat:

AX = x^Ae^ -[- x^Ae^f
oder:

Sf = ^1 «1 + 0C2B2 .

Folglich besteht zwischen den Punkten ^S, f^, ^2 dieselbe Zahl-
beziehung wie zwischen den Punkten X, e^, 62« ~" ^^^ Verein
sämmtlicher aus e^ und e^ abgeleiteten Punkte heisst nun ver-
wandt mit demjenigen der aus e, und £2 abgeleiteten Punkte.
Und jedem Punkte des ersten Vereins entspricht einer des
zweiten, welcher aus e^ und e^ mittelst derselben Zahlen ab-
geleitet ist, wie jener aus e^ und e^»

Zwei PunJctreihen auf derselben Geraden sind also ver-
wandt, wenn die zwischen den Punkten der ersten Reihe gel-
tenden Zahlbeziehungen, auch zunschen denen der zweiten Reihe
stattfinden.

Suchen wir nun einen Punkt X zu ermitteln, welcher
durch Multiplication mit .^ in sich selbst übergeführt wird.
Dann soll sein:

AX=IX,

wo A eine reelle Zahl bedeutet. Man zieht aus dieser Gleichung:

d. h. als algebraische Potenz von A betrachten, und wie mit einer sol-
chen damit rechnen. Daraus ist aber nicht zu schlies&en, däss nun

A^s ± Vcciicc2i — «12(^21 sei; denn die Einheiten 6| und e^, welche bei
der Potenzirung Terschwanden , müssten. folgerichtig, als zum Begriff
von A gehörig, bei der Radicirung wieder erscheinen. Dies ist aber
, nicht möglich, weil die Radicirung einen mehrdeutigen Ausdruck liefert,
während A durch die Gleichungen (1) eindeutig bestimmt ist. — Vgl.
auch Grassmann , Ausdehnungslehre II. S. 246 u. 247.

^

oder:
oder:

- 78 —

{X — A) a?i e^ + (^ ■" -^) ^2^2 '== 0-

Da hiernach zwischen den beiden Grössen {X — A)e^ und
(A — A)e2 eine Zahlbeziehung existirt, so ist ihr äusseres
Product Null. Oder: durch Multiplication dieser Gleichung
mit (A — A)€2 erhält man:

l(X-J)e,-][ß-A)e,-] = 0',
oder :

oder:

(6) k^{ei e^j — k{Ae^ . Cj + e^ . Ae^ + Ae^ . Ae^ = 0.

Wenn wir nun, wie 'gewohnlich, annehmen, dass {e^e^ = 1
ist, so können wir diese Gleichung abgekürzt schreiben:

(7) A2 — A(2^) + (^2) = o.

Andrerseits kann man die Gleichung (6) mit Rücksicht
auf (1) auch schreiben:

A^ -^ A (fj ^2 + e, £2) + ^1 ^2 = ö •

Setzt man hierin für s^ und s^ ihre durch (2) gegebenen
Werthe, so erhält man:

(8) A2 - A («,1 + «22) + («11^22 — «fl2«2l) = 0.

Durch Vergleichung von (7) und (8) wird die Bedeutung
der abgekürzten Bezeichnungen sogleich klar. Es ist nämlich

(9) {2A) ^ a,, + «22 ;

(5) (^^) =«1 1^22 —«^12 «21-

Da die Gleichung (8) für A zwei Werthe, A, und Aj liefert,
50 existiren in der aus e, und e^ dbgeleiMen Funktreihe zwei
Punkte, welche durch Multiplication mit A in sich selbst über-
geführt werden.

Um die Ableitungszahlen dieser Punkte zu finden, be-
trachten wir die oben gegebene Gleichung:

(A — A)x^e^ + (A — A)x2e2 = 0,
oder:

(A^i — «1) x^ + {^62 — 8^X2 = , .

oder, wenn wir e^ und «2 durch die Werthe (2) ersetzen:

- 79 —

C(^ — «ll)^l — «12^2] ^1 + [(^ — «22)^2 — «21^l]^2 = 0.

Da diese Gleichung zwischen den Punkten e^ und 62 ^^^^ Zahl-
beziehung begründet; welche in Wirklichkeit nicht existirt,
so müssen die CoefGcienten von e^ und. 62 einzeln Null sein.
Die letzte Gleichung zerfallt also in die beiden folgenden:

(A — «ii)^t — «21 ^2 *== ^ 5
(A — «22)% — «12^1 = ^-

Jede davon liefert, mit a?j + ^2 = ^ verbunden, die ver-
langten Ableitzahlen, wenn man darin für l einen der aus
(8) genommenen Werthe setzt. — Dass beide Gleichungen
gleichbedeutend sind, erhellt, wenn man sie in der Form
schreibt:

Die beiden Ausdrücke nämlich, welche kein x enthalten,
geben, einander gleich gesetzt, wieder die Gleichung (8).

Die beiden Wurzeln der Gleichung (8) heissen die Haupt-
zahlen des Quotienten A.

Gebiet der Ebene. — Es sei wieder A ein Factor mit der 42,
Eigenschaft, einen Punkt e^ der Ebene in einen anderen f^
überzuführen. Dann ist

(la) Je^ = s^.

Wenn nun alle Punkte der Ebene aus den drei Punkten
^i^2^3 ahgeleitet werden, so ist

'(2a) £j = «11^1.+ «12^2 + «13%*) ;

(3a) jis^ = tt^^Ae^ + a^^^^i + «13-^^3 •

Um e^e^e^ zu eliminiren und dadurch A unabhängig von
diesen Punkten ausdrücken zu können, müssen wir noch die
beiden Punkte b^ und «3 einführen, welche resp. aus ^2 und e.^
durch Multiplication mit A entstehen. Dann ist:

(Ib) Ae^ = «2 ; (Ic) Ae^ = «3 .

(2b) ^2 = «21^1 + «22% (2c) «3 = «31^1 4- «32^2

"T «23^3 5 "T «33%'

(3b) As^ = «21 ^^1 + «22 ^^2 (3c) Ae^ = «3^ Ae^^ + a32^^2
+ «23^^3 5 , +^zz^e^.

*) Führt man in dieser Formel statt ^i, e,, e^ ihre Ergänzungen ein,

- 80 -

Der Quotient^; auf die Ebene bezogen^ ist also analog mit
der vorigen Nr. durch folgenden Ausdruck zu bezeichnen:

wodurch gesagt ist; dass ji, mit e^ multiplicirt^ das Resultat €^,
mit ^2 ^^ Resultat ^29 ^^^ ^3 ^^^ Resultat £3 giebt.

Durch äussere Multiplication der Gleichungen (1) erhält
man, wenn A . A . A durch {A^) bezeichnet wird:

(^3). (e, 62^3) = («1^2 ^3) >
oder, da {6^626^ = \ ist, und indem man die Formeln (2)
anwendet, als Potenzwerth des Quotienten:

(5) (^3) = «11 («22^33 -- «23 «3?) + «12 («23 «31 " «21 «33)

+ «13 («21 «32 — «22 «31) •

Die Grösse A ist hiernach im Gebiete der Ebene toU-
siändig bestimmt, wenn drei beliebige Punkte (c^, e^^ 63) ge-
geben sind, und drei beliebige andere («,, ^2? ^3); i^ welche
jene übergeführt werden. Das Punktetripel e^e^e.^ heisst colli-
near (verwandt) mit SyS^B-^y und man kann in der Ebene zwei
beliebige Punktetripel mit einander coUinear verwandt setzen.

Sei X ein neuer beliebiger Punkt der Ebene, bestimmt
durch die Formel:

2L = X^e^ -f- Ä*2ß2 ~T" •^3^3*

Wenn nun X durch Multiplication mit A in S übergeführt
wird, so hat man

AX = x^Ae^ 4" x^Aß^ + x^Ae^y
oder :

!S=XyS^ +a?2«2 + ^3^3-

Folglich besteht zwischen S und e^ e^ £3 dieselbe Zahl-
beziehung wie zwischen X und e^ec^e^. Jedem Punkte, wel-
cher aus e^e^e^ abgeleitet ist, entspricht in dem verwandten
Verein ein andrer, welcher mittelst derselben Zahlen aus
£j£2^3 abgeleitet ist.

Zwei Punktvereine in derselben Ebene sind verwandt,
wenn die zwischen den Punkten des ersten Vereins geltenden

80 wird au der Bechnung nichte geändert ; man erhält aber statt eines
verwandten Punktvereins einen verwandten Geradenverein.

— 81 -

ZaMbeziehungen auch eimschen den Punkten des eweiten Ver-

eins bestehen.

Suchen wir nun einen. Punkt X zu ermitteln, welcher

durch Multiplication mit A in sich selbst übergeführt wird.

Dann soll sein:

AX = kX,

wo A eine reelle Zahl bedeutet. Es folgt weiter:

{X — A)X = 0,
(A — A) (x^ e^ + ^2^2 + ^^3) = ,
(l^ Ä)x^e^ +('1 — -^)^2^2 + i}' — ^)HH = ^y
oder, mit (A — Ä)e^ ,(X — AL)e^ multiplicirt:

[(X - Ä) e,] [(A - Ä) e,] [(A - Ä) 63] = ;
(Ae, — Ae^ (Aßj — Ae.^ (A63 — Ae^ = ,

(6) A^(e, ^2^3) — A^ (e^ ^2 . Ae^ '\r e^, Ae^,e^-\- Ae^ . ^2^3)

+ A(e, . -//^j • -^^3 4" ^^1 • ^2 • ^H + ^^1 • -^^2 • ^3)
— Ae^ . Ae.^ . ^^^63 «= 0.

Wir nehmen nun an, dass (^162^3) = 1 sei, und können dann
abfifekürzt schreiben:

(7) A3 - A2(3^) + A(3^2) _ (^3) = 0.

Andrerseits kann man die Gleichung (6) mit Bücksicht' auf (1)
auch schreiben:

A A (öj 62 ^3 "T ^1 ^2 ^3 "T *1 ^2 ^3)

+ ^(«1*2^3 + «l^2«3 + «1*2^3) — («1^2*3) = 0,

oder mit Rücksicht auf (2) und (5)

(8) A3 — (a,^ + «22 + «33)^^ + («22«33 — «23«32 + «33«11
— «31^13 + «11 «22— «12 «21)^ — iA^) = 0.

Während die Bedeutung von (A^) schon aus (5) deutlich
wurde, ersehen wir durch Vergleichung von (7) und (8) noch,
dass

(9) (3A) = a^^ + «22 + «33 5

(10) (3 ^2) = «22 «33 — «23 «32 + «33 «1 1 " «31 «1 3

+ «11«22 — «12«21-

Da die Gleichung (8) für A drei Werthe, A, A2A3 liefert,
50 existiren in dem am e^e^e^ abgeleiteten Funktverein drei
Punkte, tvelehe durch MuUiplication mit A in sich selbst über-
geführt werden.

Sohle gel, Elemente. 6

- 82 —

Die Ableitungszahlen dieser Punkte werden in ganz ana-
loger Weise bestimmt wie in der vorigen Nr. Und es sind
^i^2^3 iiQ S^duptmhlen des Quotienten yl.
48. Durch besondere Annahmen lassen sich nun specielle

Fälle von collinearer Verwandtschaft aufstellen. Insbesondere
kann man annehmen, dass den unendlich fernen Punkten
(Strecken) des einen Vereins ebensolche des andern Vereins ent-
sprechen. Die Verwandtschaft solcher Vereine heisst Affinität.
Seien X1X2X3 die drei in sich selbst übergehenden Ele-
mente des einen von zwei affinen Vereinen, und zwar X^ ein
Punkt, dagegen Xj und X3 Strecken; dann ist

(11) JX^ = X^X^] AX2 = X,^^,^] ^^3 = ^3^3-

Und es sind XjXg die einzigen Strecken des Vereins, denen
gleichgerichtete Strecken des affinen Vereins entsprechen.

Sind Xj X2X3 Strecken, und ist A^ = Aj == A3 (= A), so
ist ^ = A , und es verhalten sich überhaupt die Strecken des
einen Vereins numerisch ebenso zu einander, wie die ent-
sprechenden Strecken des anderen Vereins. Diese specielle
Art der affinen Verwandtschaft heisst Äehnlichkeit,

Ist {A^) == 1 , so geben die Gleichungen (2) miteinander

multiplicirt:

{s^6^€^) = {A^) .(6,6263),
oder

(^1 ^2 ^3) = (^1 ^2 ^3) •

Da das Product dreier Punkte den doppelten Flächen-
inhalt des durch ^ie bestimmten Dreiecks angiebt („Baum-
lehre" Nr. 139), so findet in diesem speciellen Falle noch
Gleichheit des Inhalts der entsprechenden Dreiecke statt. Der
specielle Fall heisst, jenachdem er auf die Affinität oder die
Äehnlichkeit angewendet wird, Inhaltsgleichheit oder Congruenz.

Das Verhältniss der vier Verwandtschaften lässt sich
daher durch folgende Zusammenstellung veranschaulichen:

1. Affinität. 2. Äehnlichkeit.

2. Inhaltsgleichheit. 3. Congruenz.

Hierin bezeichnet jede höhere Nummer einen speciellen
Fall der nächst niederen.

Ist {A^) negativ, (also im Falle 3. gleich — 1) so höisst
Äehnlichkeit sowohl wie Congruenz symmetrisch.

- 83 —

Anmerkung. Hat die Gleichung in X imaginäre Wurzeln, z. B.
Xi und /lg, so setzt man Aj = a -|- ßi , X^^^ a — ßi\ Xj = X + * Y;
X3 = X — iY, Dann nehmen die beiden letzten Gleichungen (11) die
Form an:

AX+ iA r = (a + ßi) (X + * Y) ; AX - iA Y = (a-ßi) (X — i Y).

Aus jeder von ihnen folgt: AX=^cxX—ßY; AY^aY+ßX.

Nimmt man dann X und Y senkrecht aufeinander an, so ist A = i^

{vgl. „Raumlehre" S.119 die Formeln a.i"' = rca +2/ &? b.i*^'=xb — yä),
worin 9 den Winkel bezeichnet, welchen die Strecken X, Y des einen
Vereins mit den entsprechenden des andern bilden. — Es existiren
dann also zwei aufeinander senkrechte Strecken, die, statt ia sich selbst
überzugehen, sich um einen gleichen Winkel drehen. — Alle vier
Strecken gehen von einem gemeinsamen Punkte Xj aus, welcher, als
Drehungspunkt, in sich selbst übergeführt wird. Die aus X,, X, Y
abgeleiteten Gebilde sind mit den durch die gleichen Zahlen aus Xi,

Xi^, Yi^ abgeleiteten ähnlich oder affin y jenachdem das Verhältniss

der Strecken X und Y dasselbe ist wie das von Xi^ und Yi^^ oder
nicht.

Es seien auf einer Geraden drei Punkte A, B, C aus 44.
gj und 62, und drei coUineare Punkte A^, JBj, Cj aus £, und £3
abgeleitet. Sei zuerst

(la) ^ = «1^1 + «2^2; ^1 =«1^1 + «2^2 5 («t+«2=^)-
Dann kann man aus diesen Gleichungen a^ und 0^2 eliminiren :

(2a) {A — 62) = «1 {e^ — e^) ; {A^ — £2) = «1 (f 1 - « 2)
oder:

^ ^ Ai f2 «1 — f 2

Es existirt also zwischen den drei Punkten der ersten
und denen der collinearen Reihe eine von den Zahlgrössen
unabhängige Beziehung. Diese Betrachtung lasst sich so-
gleich erweitern. Sei

(Ib) B^ß,e, + ß^e,', B,=ß,8, + ß,6,^, (^1+^2 = 1);

(Ic) C=y^e^ + r^e^:, C^ = rxh + Y2h''i (71 + ^2 = 1)-

Dann kann man zwischen den Gleichungen (la), (Ib), (Ic)
die Grössen a, /J, y, e, s eliminiren. Wie oben (2a) aus (la),
so folgt jetzt aus (Ib) und (Ic):

(2b) (B-c,) = ^i(e,-c,); (-B, - «2) = /J, («, - *2) ;

(2c) (C - Cj) = yi (Ci — Cj) ; (C, - £,) = y, (f, - «j) ,

c*

84 —

und aus (2a), (2b),

(2c)

m
m

oder:

A -
A,-

A-B

Bi

B-

C-

C-
B

C,-

•

B-^e,

B,-

■ f 2

>

B-

- e*

B, -

daher

endlich :

A-

B

A,-

--B,

C-

B

C,-

-■Bi

Durch'

Subtraction

von

1

auf beiden

Seiten

erhält

diese

Gleichung die Form

i:

A^

• G

A,-

-C,

C

B

Ci-

B. '

oder,

beide Formen

vereini

gt geschrieben :

(3b)

A-

B
C

JB,-

■Bi

■ (7, .

-

C-A C^-Ai

Es existirt also zwischen den beiden collinearen Punkt-
reihen eine von den zu Grunde gelegten Punkten unt^bhängige
Beziehung. Vermöge dieser Beziehung heissen die beiden
Punktreihen projectivisch zu einander, und die Gleichungen (3b)
heissen die Gleichungen der FrojectivitäL

Durch das am Schluss von Nr. 37 angegebene Verfahren
erhält man den Begriff zweier projectivischen Stralenbüschel
nebst den dazu gehörigen Gleichungen der FrojectivitäL
45. Die Gleichungen der Projectivität von Punkten bleiben
ungeändert, wenn die Paare ^162^^^^! ^2' demnach auch die
Punktreihen ABC und A^B^C^ auf verschiedenen Geraden
liegen. — Dasselbe gilt von den Gleichungen der Projectivität
von Geraden, wenn die Stralen des einen Büschels sich in
einem anderen Punkte schneiden als die des anderen.

Wie Punktreihen unter einander, und Stralenbüschel
unter einander, so können auch eine Punktreihe und ein
Stralenbüschel projectivisch sein, sobald nämlich dieselbe
Zahlbeziehung zwischen den Elementen der einen und denen
des anderen stattfindet. — Wenn nun von einem Punkte
der Ebene nach den Punkten einer Reihe, ABC die Stralen
ahc gezogen werden, so besteht zwischen ahc dieselbe Zahl-
beziehung wie zwischen ABC („Raumlehre" Nr. 186); mithin
ist der Stralenbüschel projectivisch mit der Punktreihe ABC.

— 85 -

Die Projectivität geht in den speciellen Fall der Fer-
spectivität über, sobald die gemeinsamen Punkte (Schnittpunkte
von Stralen) zweier projectivischen Gebilde auf derselben Ge-
raden liegen, oder die gemeinsamen Geraden (Verbindungs-
linien von Punkten) durch denselben Punkt gehen. Hienach
sind perspectivisch:

1) Zwei Punktreihen, sobald die Verbindungslinien je
zweier entsprechender Punkte durch einen Punkt gehen.

2) Eine Funktreihe und ein Stralenbüschel, sobald jeder
Stral des Büschels durch den entsprechenden Punkt der
Reihe geht.

3) Zwei Stralenbüschel, sobald die Schnittpunkte je zweier
entsprechender Geraden auf einer Geraden liegen.

AnmerkuDg. Es ist leicht zu sehen, dass die hier gegebenen
Definitionen der Projectivität und Perspectivität mit den in der „Baum-
lehre" Nr. 176 stehenden
vollständig übereinstimmen.
Zwischen den Stralen des
Büschels A bestehen die-
selben Zahlbeziehungen wie
zwischen ihren Schnitt-
punkten mit der Geraden h.
Also sind Ä und h perspecti-
visch. — Zwischen den
Punkten auf b und dem
Büschel C bestehen diesel-
ben Beziehungen ; also sind
auch 6 und C perspectivisch.
— Und da die Schnittpunkte
je zweier entsprechenden Stralen von Ä und C auf derselben Geraden b
liegen, so sind auch J..uud C perspectivisch. — Ferner bestehen die-
selben Zahlbeziehungen zwischen den Stralen von C und den ent-
sprechenden Punkten auf der Geraden d. Also sind C und d per-
spectivisch. — Desgleichen b und d^ da die Verbindungslinien ihrer
entsprechenden Punkte sich in demselben Punkte C schneiden. — Da-
gegen sind A und d nur projectivisch. — Desgleichen b und JE, A und E,

6. Projectivische Punkt- und Geraden- Vereine.

Es seien in der Ebene vier Punkte Ä, B, C, D aus ^,, 46.
^2, ^3, und vier collineare Punkte J.j, B^, (7„ Dj aus £,, €2, «3
abgeleitet. Sei zuerst:

- 86 -

(la) Ä = a^e^ +«2^2 + «3^3 5 A = «1 «1 + «2^2 + «s^aJ

.(«1 + «2 + «3=*1)-
Dann ist, wenn man die Grössen a eliminiren will; zunächst:

(2a) {Ä — e^) = «1 (e^— e.^) + a^ {e^ — e^) ;

(Ä^ — £3) = «1 (^1 — £3) + «2 (^2 - ^3) •

Um nun «, und a.^ zu eliminiren, und so eine von den
Grössen a unabhängige Beziehung zwischen den 8 Punkten
, herzustellen, muss man m jeder der Gleichungen (2a) die
Factoren von a^ und «2 einander gleich machen. Dies ist,
ohne fremde Punkte einzuführen, nur möglich, indem man

die erste Gleichung mit (e^ — 62)? ^^®

^ zweite mit (f ^ — fj) multiplicirt. Denn,

.^^ \ / \ wie aus Fig. 23 erhellt, sind die Flächen-

e^" V" "" ^'^^^^^ ^^i "" ^3) (^1 — ^2) uiid (^2 — ^3)

^ ^ (^1 — 62) (die beiden Parallelogramme)

^* einander gleich. Man erhält also weiter:

( J. — 63) [e^ - 62) = «1 {ey — ^3) (^1 - e^ + «j («2 — ^3) («1 — ^2)

= «j ( ßj ^2 — ^3 ^1 1 ^3 ^2) ~r ^2 (^2 ^1 % ^1 "r ^3 ^2)

oder:

(j. — 63) (^1 - ^2) = («1 + «2) (^2^1 + «1 ^3 + «3^2) ;

{A - e^ (^2— ^3) = (^2 + «3) (^3 ^2 + ^2 ^1 + «1 ^3) ;

{A—e,^ fe— ^1) = («3 + «1) K^3 + ^3^2 + ^2^1) •
Die letzten beiden Gleichungen folgen aus der ersten durch
circuläre Vertauschung. Durch Division dieser drei Gleichungen
folgt weiter:

{A — fg) {ty -— 62) __ «1 + Vt

^ - -■ ■ . ■■■-—1,1.1 _ S^S^S "

iA — e,) (^8 — €1) ofj + ofj
Ganz ebenso findet sich, offenbar:

»

(A| — gg) (f 1 — ^2) ^ «i + g»

( J., — f t) (f, — fg) ^ Of, -f tt3 .

CJ.J — fj) (fg - a,) öTg + of,

Aus der Vergleichung beider Ausdrücke folgt:

i {A — e,) (et — eg) ^ (^1 — f 3) (g^ — f^)
(3a) I {A - e|) (e, — gg) ^ (ui, — fi) (g, - fg) .

{A — e^) (gg - c,) (Ai — f,) (fg — f,)

Es existirt also zwischen den vier Punkten des erstep

•— 87 —

und denen des coUinearen Vereins eine von den Zahlgrössen
unabhängige Beziehung.

Jede der in (3a) enthaltenen drei Gleichungen stellt eine
Beziehung zwischen vier Streckenproducten (Flächenräumen)
dar. Liegen aber alle Punkte in derselben Geraden, so ist
es eine Beziehung zwischen "vier Streckenquotienten (Zahlen).

So ist z. B. im Allgemeinen der Ausdruck - . ~" ^', , "~ ^

der Quotient der durch Zähler und Nenner bezeichneten
Flächentheile, jede Fläche gemessen durch (e^e^e^. Dagegen
ist derselbe Ausdruck in dem besonderen Falle, geschrieben

in der Form )-. -. • r^- -. das Product der durch die beiden

Factoren bezeichneten Zahlen. (Denn der Quotient zweier
gleichgerichteten Strecken ist eine Zahl.)

Im Gebiet der Ebene erhält man auch dann eine Be-
ziehung zwischen den acht Punkten, wenn man die Gleichungen
(2a) mit (e^ — e^ resp. (^2 — ^3) multiplicirt. Dann ist:

{A — 63) (^2 — 63) = «1 (^1 — 63) (^2 — 63) ;

(^1 — ^3) (^2 — ^3) = «1 (^1 — ^3) (^2 - h) 5
also durch Division:

{A — eQ (gg — 63) ^^ (^1 — C3) (f^ — Ca)
(^ — e») («2 — «j) ~ («I — «3) (^2 — ^s) '

Liegen aber die acht Punkte in derselben Geraden, so
geht diese Gleichung nach der vorhin gemachten Bemerkung
über in:

{A — e.) ^ (e g -- gg) ^_ {Aj — e.Q ^ (Sj — s^)

(«I — «3) ' («2 — «3) («1 — «3) " (f2 — *3)'

oder:

(A — 63) ^^ (Aj — fs)

(«i — es) («1 — «s) '

welches wieder die Gleichung (3a) der Nr. 44 ist.

Die Beziehung (3a) lässt sich nun auch allgemein für
die collinearen Vereine AB CD und A^B^ C^D^ herstellen. Sei

(Ib) B=ß,e,+ß^e^ + ß,e,', B,==ß,8, + ß,e^ + ß,e,',

(1^1 + 182 + ^3 = 1).

(Ic) C= 2/161 + ^2^2 + ^3^3; C'i = yi€t + r2h + yzh'i

(^1+^2 + ^3= 1).

88

(Id) D = d,c, + djej + *3C3; i), = d,e, + d2ej + djfj ;

(*, + *, + d3=l).

Dann ist:

(2a) {A — C;,) = «i (ej — 63) + a, (e^ — C3) ;

(2b) {B - e,) = ft (e, - ^3) + ß, {e, - 63) ;
mithin:

(^ — jB) = («1 — /J,) (e, — 63) + («j - ßi) (e, - 63) .

Ebenso :

(C - D) = (y^ - S,) {e, - e^) + {y, - ^3) («3 - e.) ;
also multiplicirt :

(^ - i?) (C- D) = M(e,e^ + ^2^3 + e^^O ;
Ebenso :

(B - C) {Ä - 2)) = N{e, e, + e,e, + e,e,) ;
und:

{C-A)(B-L) = P (e, e, + 6^63 + e,e,) ,
worin

Jf = («j - ^0 {y, - d,) + («, - ß,) (y, - d^)

+ («2 — ß2) (^3 - *3) J

während JN" und P aus diesem Ausdruck hervorgehen, indem
man darin die Buchstaben aßy zweimal nachei^jander circulär
vertauscht. Da man offenbar ebenso erhält:

(^, — B,) (Ci - Dl) = Jf (f, «2 + £2h + h^i)y
(-^1 - eil) {Ä^ — B^) = N (£1 «2 + £2 ^3 + h ^1) >

(Ci - Ä^) (£, — D,) == -P («1 h + «2«3 + ^3«l) .

so folgt aus den letzten beiden Gleichungsgruppen:

V (Ä ^B){C-- B) {A, - B,) (Ci- A)
(3b) -

iE —C)(A — D) {Bt — C7,) (^1 ~ A ) •

(1)
(2)

(3)

1(0- A) {B - JDj (C, -^i)(A - A)

Es existirt also zwischen den beiden coUinearen Punkt-
vereinen eine von den zu Grunde gelegten Punkten unab-
hängige Beziehung. Vermöge dieser Beziehung heissen die
beiden Punktvereine projedivisch zu einander, und die Glei-
chungen (3b) heissen die Gleichungen der Projectivität. —
Frojedivische Oeradenvereine, Vgl. Nr. 44 am Schluss. —
Ist EEy^ ein fünftes projectivisches Punktepaar, so hat man

- 89 ^

nur in (3b) jeden Buchstaben mit dem folgenden des Alpha-
bets zu vertauschen, um diesgs Paar in die Gleichung ein-
zuführen".

Nach Nr. 42 besitzen zwei coUineare Punktvereine drei 47.
gemeinsame Punkte. Es seien in den Vereinen AB CD und
Äi B^ C, Dl die beiden Punkte A und C zwei dieser gemein-
samen Elemente, sodass

(4) A, = A, c^ = a

Dann geht die aus den Reihen (1) und (2) von (3b) bestehende
Gleichung über in:

U-B) (G—D) (Ä-Bt) (G-Di)

(1.2)

(B - C) (Ä-JD)— (B, - G) {A - A) '

d. h. in die Gleichung der Involution. Man hat also den Satz:

jLB G D
Wenn die beiden Punktvereine -j-g-^^ projectivisch sind,

so bilden die Punktepaare q

» eine Involution.

B C

Dy A

Die Involution ist hiernach ein spedeller Fall der Pro-
jectivität.

Ohne Anwendung von Buchstaben-Bezeichnung lässt sich
der vorige Satz auch so aussprechen: Zwei von den Doppel-
elementen zweier projectivischer Funktvereine bilden eine Invo-
lution mit zwei aus je zwei zugeordneten Funkten gebildeten
Paaren.

Die beiden anderen in (3b) enthaltenen Gleichungen gehen
durch die Substitutionen (4) über in

(9 9^ (B-G) (A-I)) {B, - D«) _ .

\^}^) {B — D)'{A — D,)'[B^-G)~^^

welche Gleichungen die zweite Form der Bedingungs-
gleichungen der Involution darstellen.

Die Gleichung (1, 2) bleibt ungeändert, und die Glei-
chungen (2, 3) und (3, 1) gehen in einander über, wenn man
^ mit C vertauscht. Ebenso bleibt (1, 2) ungeändert, wenn
man B mit 2), , oder D mit Bi vertauscht Daraus folgt der
Satz: Man Tcann in jeder Involution die FunJcte eines beliebigen
Paare^ mit einander vertauschen.

Die linke Seite der Gleichung (3b) ist ein Doppelverhält-

- 90 —

niss, welches man auf sechsfache Weise in einfache Verhält-
nisse zerlegen kann. Diese ß^Verhältnisse sind:

1) 2) 3)

. (A — B){C-- D ) ( A -B )(C - B) {B —G)(A'- D)
^^ {B — C) {A-JD)'^ {G — A){B-^ D) ' (G — A) {B - B) '

^^ [A -B)(G-.B)'' (A- B) (C ~B) ' [B - G) {A-B)'

Durch Gleichsetzung von je zweien dieser Verhältnisse wird
man Beziehungen zwischen den vier Punkten erhalten. Es
sind aber dabei nur drei wesentlich verschiedene Fälle vor-

>

banden.

1) Jeder Zähler des einen Verhältnisses ist dem Nenner
des anderen gleich, (la = Ib; 2a = 2b; 3a = 3b). Bezeich-
nen wir das eine Verhältniss mit A, so ist das andre y\ ^^'

hin A = Y 5 oder A^ = 1 ; A = + 1. Für A = -f- 1 sind die

vier FunJcte harmonisch, für A «= — 1 fallen zwei derselben
zusammen.

2) Die Zähler oder die Nenner der beiden VerhäUnisse
sind gleich. (la=2a; 3a = lb; 2b = 3b-, la = 3b; 2a = 3a;
Ib c= 2b). Dann fallen 3 Punkte zusammen,

3) Der Zähler des einen Verhältnisses ist dem Nenner des
andern gleich, (la === 2b; la = 3a; 2a == Ib; 2a = 3b;
3a = 2b; Ib = 3b). Dann heissen die 4 Punkte äquianhar-
monisch. Die Bedingungsgleichung dieser Beziehung ist also :

(A - B) (C -. B) (C '-A){B- B)

(5)

(5 ^G}[A--B)~ {A — B) {G — B)

7. Das Fa^cal'sclie Seohsseit und das Brianchon'sclie Sechseck.

48. Wir betrachten im Folgenden drei Punktepaare, deren

Verbindungslinien durch einen Punkt gehen, und reciprok
drei Linienpaare, deren Schnittpunkte auf einer Geraden liegen.
Im ersten Falle bilden die drei Punktepaare ein Brianchon'^
sches Sechseck, und der Schnittpunkt ihrer Verbindungslinien
heisst Brianchon' scher Funkt, Im zweiten Falle bilden die
drei Linienpaare ein Fascal' sches Sechsseit, und die Gerade,
auf der ihre Schnittpunkte liegen, heisst FascaVscJie Linie.
Da wir die drei Geraden des ersten Falles, welche durch

- 91 —

einen Funkt gehen , reciprok verwandt setzen können mit den
drei Punkten des zweiten Falles, welche auf einer Geraden
liegen („Raumlehre" Nr. 186), so genügt es, die Formeln
für das Brian chon'sehe Sechseck aufzustellen, indem aus jedem
Satze über diese Figur ein andrer über das PascaFsche Sechs-
seit folgt.

Es seien AA^y BJB^, CC^ drei Punktepaare, deren Ver-
bindungslinien sich in X3 schneiden. Dann ist:

(I) X3 = A^ + (l-A)^, = ^B+(l -;*)!?,

= v(7+(l-v)C,.
Es sei ferner:

1(1) -4j = «1 J.-J- «2^ + «3C; ("^1 + «2 + "'s = 1) 5
(2) By = ß,A-^ß^B-^ß,C; (^i + /S, + ^3 = 1);
(3) C.-y.^+yjB+y^CJ. (y, + ^2 + ?3= !)•

Eliminirt man (7 aus (1) und (2), A aus (2) und (3), B aus
(3) und (l), so folgt:

{yxß2 - y2/5i)-B - n^x = {rzßx - y^ß,) c - ß,c,',

(«2^3 — «3 2^2) C—a^C^ = («1 Y2 — «2^1)^ — ^2^1 •

Da aber X3 der Schnittpunkt der Geraden AA^j ^J5, , CC^^
ist, so ist X3 der gemeinsame Werth der in diesen drei
Gleichungen enthaltenen 6 Ausdrücke, und man erhält durch
Vergleichung der Coefficienfen von J., , jBj, C^ etc. die Be-
dingungen:

ßz = yi\ yi = «3; «2 = ^1-

Durch diese Substitutionen gehen die letzten drei Gleichungen
über in

(III) X3 = A^ — y^A^ = iiB — a^Bi = vC—ß^C^,
worin nun X^v folgende Bedeutung haben:

^ = ^2«! — /5i«3^

(l==CC^ß2 — y2ß\7
V = /^iy3 — «3^2-

Bestimmt man nun mittelst der Gleichungen (III) die Punkte
P3P1P2, in denen sich resp. die Geraden A^B^ und ABy
B^Ci und BCy C^A^ und CA schneiden, so folgt:

92

(IV)

P, = «jB, —ßiCi = [iB- vC]

Pj == |3, C, — ^2 ^, = V — XA.

Daraus folgt:

P, + Pj + P3 = 0;

d. h. Verbindet man in einem
Brianchon' sehen Sechseck
die drei geraden und die drei
ungeraden Ecken zu je einem
Dreieck, so liegen die 3 Punkte,
in denen sich je zwei entspre-
chende Seiten dieser Dreiecke
schneiden, auf einer Geraden. *)

Vervollständigt man in einem
Pascal' sehen Sechsseit die
drei geraden und die drei un-
geraden Seiten zu je einem
Dreiseit, so gehen die 3 Ge-
raden, ufelche je zwei entspre-
chende Ecken dieser Dreiseite
verbinden, durch einen Punkt,

Da in dem ersten dieser Sätze die Ecken der beiden
Dreiecke auf drei Geraden (den Diagonalen des Sechsecks)
liegen, welche sich iü> einem Punkte schneiden, so kann
man die beiden Sätze auch so ausdrücken:

Liegen die Ecken zweier Drei-
ecke auf drei Geraden, die sich
in einem Punkte schneiden,
so schneiden sich die entspre-
chenden Seiten der beiden Drei-
ecke in drei Punkten, welche
auf einer Geraden liegen.

Schneiden sich die Seiten
zweier Dreiecke paarweise in
drei Punkten, die auf einer
Geraden liegen, so gehen die
Verbindungslinien der entspre-
chenden Ecken der beiden Drei-
ecke durch einen Punkt.

Es ist demnach der reciproke Satz nur die ümkehrung
des ersten.

Da ferner die Seiten der beiden im Brianchon'schen
Sechseck gezeichneten Dreiecke ein Sechseck bilden, in wel-
chem die Schnittpunkte je zweier Gegenseiten auf einer Ge-
raden liegen, so hat man die weiteren Sätze:

Die Linien, welche die ge-
raden und diejenigen, welche
die ungeraden Ecken eines
Brianchon' sehen Sechs-

Die Punkte, in welchen die
geraden, und diejenigen, in
welchen die ungeraden Seiten
eines PascaVschen Sechs-

*) Identisch mit Nr. 124 der „Raumlehre*', wo ÄBCXiXiX^ die
Ecken des Sechsecks sind.

- 93 —

eclcs mit einander verbinden,
bilden ein FascaVsches
Sechsseit

seits sich untereinandtr schnei-
den, bilden ein Brianchon'-
sches Sechseck.

Es sind also die eine Gerade und der eine Punkt, von
welchen in den vorigen beiden Sätzen die Rede war, nichts
weiter als die Pascal'sche Linie, resp. der Brianchon'sche
Punkt.

^G A^

Bestimmt man endlich mittelst der Gleichungen (III) die 49.
Punkte QsQiQ2f iii denen sich resp. die Geraden ABi und
BA^, BCx und CB^, CA^ und AC^ schneiden, so folgt:

— Q^ = XA + a^B^ = fi JB + yjA 5

(V) -«i = f*5+/5,C, =vC+a,B,',
^Q^ = vC+y,A,=XA + ß,C,.

Eliminirt man aus diesem System zuerst die Grössen ABC,
dann A^B^C^y und setzt die erhaltenen gleichen Ausdrücke
resp. gleich X, und Xj, so folgt, wenn wir (III) vorausgehen
lassen, folgendes System:

X^ = kA-^y^A^ =^B — a^B^ =vC—ß^C^]

(VI) X, = y,A, - Q, = a,B, - (^^ = ß,C, - Q, ;
X2 = ^, — lA = Q,^-^B^Q.^-vC. '

Daraus folgt:

X, + Xj + X3 = 0;

— 94 —

d. h.: Dte drei Punkte, in wel-
chen je 0wei Gegenseiten eines
Brianchon' sehen Sechsecks sich
schneiden, bilden mit den ge-
raden sowohl wie mit den un-
geraden Ecken ein neues Brian-
chon'sches Sechseck, und die
Brianchon' sehen Punkte dieser
drei Sechsecke liegen auf einer
Geraden,

Die drei Geraden, welche je
zwei Gegenecken eines PascaV-
schenSechsseits verbinden, bilden
mit den geraden sowohl wie mit
den ungeraden Seiten ein neues
PascaVsches Sechsseit, und die
PascaVschen Linien dieser drei
Sechsseite gehen durch einen
Punkt.

Aus den Gleichungen (V) lassen sich femer die Schnitt-
punkte der Geraden AB und Ä^B^] BC und B^C^ ; CA und
CiAi, die bereits durch die Gleichungen (IV) bestimmt waren, •
aufs Neue ableiten. Man erhält nämlich:

P, =- öl - «2 = ^^ - /** = y-i^i - «3^1 5

(VII) P, = (?, - ©3 = iiB-vC=a,B, ^ß,C, ;

A = ^3- <2i = vC-lA = ß,C,-y,A, .
Und die Formel

P, + P, + Pj = .
liefert jetzt folgende Sätze:

Von den drei Geraden, wel-

Von den drei Punkten, in
welchen je zwei Gegenseiten eines
Brianchon' sehen Sechsecks sich
schneiden, bilden je zwei mit
den Endpunkten der beiden nicht
verlängerten Seiten des Sechsecks
ein neues Brianchon'sches Sechs-
eck, und die Brianchon' sehen
Punkte dieser drei Sechsecke
liegen auf einer Geraden.

che je zwei Gegenecken eines
PascaVschen Sechsseits verbin-
den, bilden je zwei mit den in
den nicht verbundenen Ecken
des Sechsseits sich schneiden-
den Seiten ein neues PascaV-
sches Sechsseit, und die PascaV-
schen Linien dieser drei Sechs-
seite gehen durch einen Punkt

Diese Sätze lassen sich mit den vorigen beiden zu einem
Paare vereinigen, welches eine Erweiterung der Sätze (IV) ist:

Verbindet man in einem
Brianchon' sehen Sechseck die
drei geraden, die drei unge-
raden Ecken, und die drei

Vervollständigt man in einem
PascaVschen Sechsseit die drei
geraden, die drei ungeraden
Seiten und die drei Geraden,

Punkte, in denen je zwei Gegen- j welche je zwei Gegenecken ver-

— 95 —

Seiten sich schneiden, zu je einem
DreiecJc, so schneiden sich erstens
je drei entsprechende Seiten der
drei Dreiecke in einem Funkte,
und diese drei Funkte liegen
auf einer Geraden. Zweitens
schneiden sich die drei Verbin-
dungslinien der entsprechenden
Ecken je zweier Dreiecke in
einem Funkte, und diese drei
Funkte liegen wieder auf einer
Geraden,

binden, zu je einem Dreiseit,
so liegen erstens je drei ent-
sprechende Ecken der drei Drei-
seite auf einer Geraden, und
diese drei Geraden schneiden
sich in einem Funkte. Zwei-
tens liegen die drei Schnittpunkte
der entsprechenden Seiten je
zweier Dreiseite auf einer Ge-
raden, und diese drei Geraden
gehen wieder di^rch einen
Funkt.

Die beiden Geraden, auf welchen je drei Brianchon'sche
Punkte der vorigen Sätze liegen, mögen hier Hesse' sehe Ge-
raden genannt werden*); die beiden Punkte, in welchen je
drei Pascarsche Linien sich schneiden, heissen Steiner^ sehe
Funkte.

Man kann die 9 Punkte ABC, A^B^C^, QxQiQzy ^nd
die 6 Punkte X, XjXj, P, F,^F^ in folgender Weise gruppiren:

ABC\^

Diese Figur drückt in Uebereinstimmung mit dem 3. Satze
auf S. 94 aus, dass durch jeden der 6 äusseren Punkte die
drei Verbindungslinien derjenigen Punktepaare gehen , welche
durch die zugehörige Klammer verbunden werden. Wir
kehren die erste Hälfte jenes Satzes nur um , wenn wir sagen :

Wenn die entsprechenden Sei-
ten von drei Dreiecken durch
drei Funkte [F^F^F^ gehen,
welche auf einer Geraden lie-

Wenn die entsprechenden
Ecken von drei Dreiecken auf
drei Geraden liegen, welche
durch einen Funkt gehen, so

*) Diese Geraden scheinen bisher nicht benannt zu sein, wohl
darum, weil die Untersuchungen stets in erster Linie das Pascarsche
Sechsseit berücksichtigten. Der hier befolgte Gang nöthigte mich zur
Aufstellung eines besonderen Namens.

96

gen, so schneiden sich die Ter- liegen die Schnittpunläe der ent-
hindungslinien der entsprechen- sprechenden Seiten je zweier
den Ecken je zweier Dreiecke Dreiecke auf einer Gerculen,
in einem Punkte, und diese und diese drei Geraden gehen
drei Funkte (XjXjXg) liegen durch einen Punkt,
auf einer Geraden.

Dieser Satz lässt sich auch ohne Weiteres aus der soeben
betrachteten Figur ablesen.

Aus den Gleichungen : X^ + ^2 + ^3 = ^ ^^^ ^1 + A
+ P3 = folgt:

X, == — X2 — X3; X2 = — X3 — X^; X3=— X^ — Xjj

Pj = P2 ^3 *7 ^2^^ ~^ ^Z -^1 5 -^3 = M ^2 •

Dann sind die mit den 6 Punkten auf der linken Seite dieser
Gleichungen conjugirten vierteil harmonischen Punkte:

X/ = --X2+^3; ^2'= ~ ^3+^1 5 ^3'= ^l + -^2J

Pj = -Tj + -^3 5 "1 = ig + -t 1 5 -^3 ^^ -^1 "T -^2 •

Nun ist:

X|'4-^/= ^3 — ^2 + ^3 — ^2

= 3A^ — (i/C+öi+a3-Bi) = 3A^.

Durch dasselbe Verfahren erhält man im Ganzen folgendes
System :

X,'+P,'=3y,^,; X3'+P,'=3(2,;

X/ + P/=3a3£,; X3' + P,-'=3(?,5

X;+ P3'=3^i C, ; X3' + P3'=3^3,

X,'+Pj'=3Ay(
X,'+P2'=3/tP;
X,' + P3'=3t;C;

und daraus die Sätze:

Construirt man auf den bei-
den Hesse' sehen Geraden zu
jedem der drei Brianchon* sehen
Punkte in Bezug auf die andern
beiden Punkte den vierten har-
monischen Punkt, und verbindet
diese Punkte der einen Geraden
mit denjenigen der anderen, so
geht durch jeden Endpunkt des

Legt man durch die beiden
Steiner' sehen Punkte zu jeder
der drei PascaVschen Linien
in Bezug auf die beiden ande-
ren Linien die vierte harmo-
nische Linie, so schneiden sich
die durch den einen Punkt
gehenden Linien mit den ande-
ren in neun Punkten, und auf

97

Brianchon' sehen Sechsecks und
durch jeden Schnittpunkt zweier
Gegenseiten eine dieser neun
Verbindungslinien.

jeder Seite des PascaVschen
Sechsseits und auf jeder Ver-
bindungslinie zweier Gegenecken
liegt einer dieser nenn Schnitt-
punkte.

Die 9 Punkte 50.

ABC

A,B,C,

sind, wie aus den Sätzen VI und VII der vorigen Nr. hervor-
geht, so beschaffen, dass je zwei senkrechte oder zwei wage-
rechte Tripel ein Brianchon'sches Sechseck bilden, sodass im
Ganzen 6 solcher Sechsecke existiren. — Diese Punkte bilden
aber nur einen Theil der sämmtlichen 15 Punkte, in welchen
die Seiten des ursprünglichen Sechsecks ÄBCÄ^B^C^ sich
schneiden. Ebenso bilden die eben betrachteten 6 Sechsecke
nur einen Theil sämmtlicher aus den 6 Seiten der ursprüng-
lichen Figur darstellbaren Sechsecke, die sich alle durch die
Aufeinanderfolge ihrer Seiten von einander unterscheiden.
Halten wir eine Seite (1) des gegebenen Sechsecks fest, so
steht der üebergang zu jeder der übrigen 5 Seiten offen.
Dies^ giebt 5 Combinationen. Ist die zweite Seite gewählt,
so steht der üebergang zu jeder der noch übrigen vier Seiten
frei, also hat man 5 . 4 = 20 Combinationen. So fortfahrend
erhält man im Ganzen 5.4.3.2.1 = 120 Combinationen,
von denen jedoch je zwei zusammenfallen, da sie nur durch
den entgegengesetzten Sinn der Fortbewegung verschieden
sind. (So ist z.B. (13456) = (16543).) Es bleiben demnach
60 Sechseoke.

Auf jene 15 Punkte und 60 Sechsecke soll nunmehr die
Betrachtung ausgedehnt werden.

Die 15 Schnittpunkte der 6 Geraden. Bezeichnen wir die
6 Seiten des Brianchon'schen Sechsecks der Reihe nach mit
123456, so erscheint jeder der 15 Punkte als das plani-
metrische Product von zweien diiöser Zahlen, und mit Rück-
sicht auf Fig. 25 gehen die Gleichungen II (Nr. 48) über in:

(1) (56) = «,(23) -f «2(61) -f «3(45)

(2) (34) = ß, (23) -f /3,(61) + ^^(45)

(3) (12) = y, (23) + y, (61) + y,{4h) .

Schlegelf Elemente. 7

- 98 —

Setzt man hierin, wie bereits oben geschehen:

ßz = r-i ; yi = «3 ; «2 = ^i >

und ausserdem:

. «1 = /5i = ^3 = l >

so folgt:

I.

r(12) = a3(23)+ (45) + y,(61);
(34) = ^,(23) + y,(45)+ (61);
(56)= (23) + «3(45) + /3,(61).

A

i!

\*

\.— -^--

— r

Fig. 25.

Es war ferner:

^ß^a,A + u,ß,B-\-ßiy,C,

oder mit Berücksichtigung der Werthe von ß^ und ^'3, und
der neuen Bezeichnungen für die Punkte:

(1 4) = |3, «3 (23) + /S, (45) + «3 (6 1) .

Dividirt man diese Gleichung durch ß^cc.^, setzt

— = «.

or,

3 ?

ßi

= ßi\

und unterdrückt links den Factor cc.^'ßi\ so folgt:

- 99 —

K.14)= (23) + <(45) + /3/(61); .
II. (25) = /3,'c23) + y/(45)+ (61);

1(36) = «3' (23)4- (45) + y,'(61).
Die letzten beiden Formeln dieser Gruppe entstehen auf die-
selbe Weise wie die erste, und es ist y/ == — •

Bestimmen wir nun noch die Punkte: (13), (35), (51);
(24), (46), (62). Eliminirt man aus den letzten beiden Glei-
chungen (I) den Punkt (23), indem (34) mit /3/ multiplicirt,
und (56) davon subtrahirt wird, so folgt:

(34)^,' - (56) = iy,ß; - a,) (45) + {ß{ - ß,) (6 1)
oder :

(34)^,'+ («3- y,/3,') (45) = (^,'-^,)(61)+ (56) = (46),

weil die beiden Seiten der Gleichung einen Punkt bestimmen,
welcher gleichzeitig auf den Linien 4 und 6 liegt, also den
Punkt (46). Da nun nach (I)

(34)/3/ = (23) + ^2^/(45) + ^A61)
und

(46) = (34)^,' + («3-^,^0(45)

ist, so erhält man durch Addition:

(46) = (23) + «3(45) + ^,'(61).

Diese Gleichung würde aber aus der letzten GFleichung (I)
durch die Vertauschungen

4 mit 5, und /3, mit /3/

hervorgegangen sein. Man schliesst hieraus, dass auch durch
die analogen Vertauschungen

6 mit 1, und «3 mit «/,

2 mit 3, und ^2 ^^^ 72
aus den Formeln I richtige Formeln hervorgehen, und er-
hält so :

|(13) = «3(23)+ (45) + y,'(61)

m. (35) = ^,'(23) + y, (45) + (61)

1(5 1)= (23) + a;(45) + ^,(61)
[(62) = «3'(23) + (45) + yj(61)

IV. (24) = |3, (23) + y;(45) + (61)

(46)= (23) + «3(45) + ^,'(01)

7*

- 100 —

Diese Systeme III und IV würde man darch dieselben
Vertausch ungen auch aus II erhalten, wie denn überhaupt
jedes der vier Systeme durch einmalige oder zweimalige An-
wendung jener Vertauschungen die drei übrigen liefert.

Die 60 Sechsecke der 6 Geraden. — Im Anfang dieser
Nr. wurde bemerkt, dass die Punkte ABC, A^B^C^, Q1Q7QZ
6 Brian chon'sche Sechsecke bildeten. Diese Sechsecke sind
sämmtlich in dem Ausdruck'

(135)

enthalten, wenn man hinter seinen drei Ziffern die übrigen
Zahlen 246 auf alle möglichen Arten vertheilt. Jede dieser
Permutationsformen giebt dann die Reihenfolge der Seiten
eines Brian chon'schen Sechsecks, und die Eckpunkte von
jedem dieser Sechsecke stimmen mit irgend 2 Punktetripeln
aus dem im Anfang dieser Nr. gegebenen Schema überein,
wie aus der darauf folgenden Figur zu sehen ist.

Da nun durch die Vertauschungen 4 mit 5, 6 mit 1,
2 mit 3 die Beziehungen der 15 Punkte, wie eben gezeigt, '
nicht geändert werden, so erhält man auch aus (135) durch
diese Vertauschungen 18 neue Brianchon'sche Sechsecke,

nämlich :

(134), (635), (125),

Denken wir uns jetzt in den Systemen I bis IV alle
übrigen 12 Punkte durch (12), (34), (56) ausgedrückt, an-
statt wie bisher durch (23), (45), (61), so werden die neuen
Gleichungen durch die Vertauschungen 1 mit 2, 3 mit 4j
5 mit 6 (verbunden mit entsprechenden Vertauschungen der
Coefficienten) in einander übergehen. Mithin werden auch
diese Vertauschungen das ursprüngliche Sechseck (135) in
18 neue Brianchon'sche Sechsecke überführen, nämlich in

(235), (145), (136).

Dasselbe wird schliesslich stattfinden, wenn man alle
Punkte durch (14), (25), (36) ausdrückt Man erhält so die
letzten 18 Sechsecke:

(435), (132), (165).

Man erhält also im Ganzen 60 Brianchon'sche Sechsecke,
und demnach die Sätze:

101

Sechs gerade Linien büden SecJis Punkte bilden 60 SecJis-
60 Sechsecke. Ist eins derselben seite- Ist eins derselben ein

einBrianchon'scheSjSosind
auch alle übrigen solche.

PascaVsches, so sind auch
alle übrigen solche.

Da die ßrianchon'schen Punkte von je drei der 60 Sechs- 51.
ecke auf einer Hesse'schen Geraden liegen, so giebt es im
Ganzen 20 Hesse'sche Geraden in der Figur. Und zu jeder
der 10 Gruppen von Sechsecken in der vorigen Nr. gehören .
2 solcher Geraden, z. B. zu (135) die Geraden, auf welchen
die Punkte X^X^X^ und P^P2Pz liegen.

Drücken wir nun Xg und Xj mittelst der Formeln VI
und 11(1), resp. VI und V (2) durch ABC aus, so folgt,
wenn wieder «^ = /J^ == ^s = 1 ist:

«3^172

Yi

ßi

oder in der neuen Bezeichnung:

- X, . a,'ß^'Y,' = y,'(23) + ^,'(45) + <(61);
-X, = y,(23) + ^, (45) + a3(61);
und addirt:

-{X,+a;ß;r2- x,) = (y, + n')(2d)-i-iß, + ßMA5)

+ («3 + <)(61).

Da der Punkt, welchen die linke Seite dieser Gleichung
ausdrückt, aus X^ und X3 abgeleitet ist, so geht die durch
die beiden letzteren Punkte bestimmte Hesse'sche Gerade auch
durch ihn. Und da die rechte Seite dieser Gleichung durch

jede der Vertausch ungen

2,72

3,72'

6, ofj

ungeändert bleibt,

so gehen durch diesen Punkt auch die Hesse'schen Geraden
derjenigen 3 Sechseck-Gruppen, welche man aus der einen
Hälfte von (135) durch die ebengenannten Vertauschungen
erhält. Der Punkt, durch welchen vier Hesse'sche Geraden
gehen, möge Hesse' scher Punkt genannt werden.

Durch einen zweiten Hesse'schen Punkt geht dieselbe
Gerade (der Punkte Xj Xj X3) und die 3 Hesse'schen Geraden
derjenigen Sechseck- Gruppen, welche man aus (135) durch

die Vertauschungen

1

2

3
4

5
6

erhält. Ein dritter Hesse'scher

Punkt geht endlich auf dieselbe Weise durch die Vertauschungen

- 102 —

" hervor. — Alle drei Hesse'schen Punkte liegen auf

derselben Hesse'schen Geraden (X, X2X3), und da dasselbe
von sämmtlichen Hesse'schen Geraden gilt, so liegen auf
jeder der 20 Hesse'schen Geraden 3 Hesse'sche Punkte. Da
endlich je vier Geraden einen solchen Punkt gemeinsam haben,

so ist die Zahl sämmtlicher Hesse'schen Punkte -—^ = 15,

Fügt man noch die Erklärung hinzu, dass eine Gerade,
auf welcher vier Steiner'sche Punkte liegen, Steiner' sehe Ge-
rade heisst, so kann man die Sätze aussprechen:

»

Die Figur der 60 Brianchon'-
selten Sechsecke enthält 20 Hesse'-
sche Geraden, und \b Hesse' sehe
Funkte, — Auf jeder Geraden
liegen 3 Funkte ^ und in jedem
Funkte schneiden sich 4 Ge-
raden,

Die Figur der 60 FascaV-
schen Sechsecke enthält 20 Stei-
ner'sche Funkte, und 15 Stei-
ner'sche Geraden. — In jedem
Funkte schneiden sich 3 Ge-
raden, und auf jeder Geraden
liegen 4 Funkte,

Man überzeugt sich leicht, dass die Figur der 15 Hesse'-
schen Punkte mit derjenigen der 15 Punkte am Schluss von
Nr. 49 übereinstimmt.

Anmerkung. Die in dieser Abtheilung behandelten Gegenstände
pflegen bisher entweder durch die Methode der symbolischen Gleichungen
(Neuere analytische Geometrie), oder durch diejenige der binären P'or-
men (Moderne Algebra) erledigt zu werden.

Die Methode der symbolischen Gleichungen (wobei z. B. ein Punkt
durch die Gleichung J. = ausgedrückt wird) beruht auf einem Ab-
kürzungsverfahren, wonach die linke Seite einer auf Null gebrachten
Coordinaten-Gleichung durch einen einzigen Buchstaben ersetzt wird.
Nur unter dieser Voraussetzung haben die symbolischen Gleichungen
einen Sinn, und sie können, so einfach sie auch aussehen, doch nicht
anders gedacht werden, als entstanden aus einem complicirten Aus-
druck durch eine zwar glückliche aber doch willküirliche Symbolik. —
Dagegen hängen die im Vorstehenden gebrauchten Gleichungen mit
den einfachen Prinzipien der Eaumlehre aufs Engste zusammen, und
ihre einfache Gestalt ist nicht die Folge einer willkürlichen Abkürzung,
sondern beruht in der Einfachheit der durch sie dargestellten Be-
ziehungen. Es ist also bei der Bildung dieser Gleichungen der Umweg
durch ein Coordinatensystem , welches erst eingeführt, und dann (durch
die Abkürzung) wieder eliminirt wird, vermieden. Gleichzeitig ge-
statten die Zahlcoefficienten der Punkte ein leichteres Auffinden der-
jenigen Combinationen zwischen Gleichungen, welche zu einfachen

— 103 -

geometrischen Eesaltaten fuhren, während die symbolischen Gleichungen
in ihrer allzngrossen Aehnlichkeit unter einander die individuellen
Eigenthtimlichkeiten der durch sie dargestellten Punkte zu sehr ver-
decken. — Es möge auch zur Vergleichung beider Methoden auf die
in Nr. 50 auftretenden Ausdrücke von der Form' (12) aufmerksam ge-
macht werden ) deren Einführung in der Darstellung desselben Gegen-
standes bei Hesse (Yorlesg. a. d. anal. Geom. der geraden Linie etc.)
wieder eine neue willkürliche Symbolik erfordert, während sie hier im
Zusammenhange mit der Disciplin einfach planimetrische Producte sind.

Die Methode der binären Formen ist aus mehrfachen Gründen zur
ersten Einführung in den hier behandelten Gegenstand ganz ungeeignet,
wie man denn überhaupt sich hüten muss, den Umfang desjenigen
Gebiets der Wissenschaft, welches irgend einer Methode unterworfen
ist, zu überschätzen (vgl. Nr. 16). Auch die Ausdehnungslehre erhebt
keineswegs den Anspruch auf allgemeine Anwendung im Gebiet der
Mathematik. Sie will sich nur diejenigen Gegenstände unterwerfen,
welche mit ihrer Hilfe leichter, einfacher und naturgemässer gefunden
werden können, als durch andere Methoden, und sucht, indem sie jeder
der ihr untergeordneten Special - Methoden ihr natürliches Gebiet an-
weist, und jede dieser Methoden aus allgemeineren Gesichtspunkten
ableitet, mehr Uebersicht und Zusammenhang in die ihr zugänglichen
Gegenstände zu bringen. Namentlich sucht sie der in neuerer Zeit
zum Schaden der Uebersichtlichkeit immer mehr Um sich greifenden
Methode der abgekürzten Bezeichnungen, durch welche bereits ein
wahres Chaos von Symbolen in der willkürlichsten Form geschaffen
worden ist, entgegenzutreten, und zu zeigen, dass auf dem ihr zugäng-
lichen Gebiete ausser den in Nr. 4 der Einleitung abgeleiteten 4 Product-
bildungen jede weitere Symbolik überflüssig ist.

Um zur Methode der binären Formen zurückzukehren, sei bemerkt,
dass dieselbe in ihrer bisherigen Gestalt zunächst ebenso wie die vorige
ein Coordinatensystem voraussetzt, sodass schon der Nachweis, dass
die Invarianten und Covarianten der Formen die verschiedenen pro-
jectivischen Verhältnisse darstellen, sehr umständlich ist. Sodann giebt
die Covariante gar kein Bild des geometrischen Verhältnisses und ist
bei aller Kürze doch wenig brauchbar zur Ableitung der einfachen
geometrischen Sätze. Endlich ist die Eigenschaft der Invarianz, wenig-
stens für die harmonischen und involutorischen Verhältnisse, ganz
nebensächlich, und ihre Verwendung bei den allgemeinen projectivi-
schen Verhältnissen gestaltet sich mit Hilfe des Systems der ursprüng-
lichen Einheiten wesentlich einfacher, als sonst. — Die Methode der
modernen Algebra findet erst dann ihre natürliche Verwendung, wenn
man die Punkte, deren Projectivität man untersucht, als Schnittpunkte
von Geraden und Curven betrachtet, oder, anders gesagt, wenn man
die binären Formen als speciellen Fall der ternären betrachtet. Denn
erst in dem Abschnitt von den zusammengesetzten Grössen (Curven)
tritt in der Raumlehre die algebraische Multiplication auf, und mit
ihr diejenigen Bildungen, welche man Invarianten und Covarianten

— 104 —

nennt. — Nun lässt sich allerdings die Methode der binären Formen
von der Zuthat der Coordinaten befreien, und dadurch wesentlich ver-
einfachen; aber auch dann wird man eine Funktreihe in erster Linie
als eine Reihe einfacher Grössen betrachten müssen , und erst in zweiter
Linie als eine einzige' zusammengesetzte Grösse. Hierdurch rechtfertigt
sich die im Anfang dieser Anmerkung aufgestellte Behauptung.

Dritte Abtheilung.
Die Lehre von den zusammengesetzten Grössen.

52. Die Anfänge dieser Abtheilung sind bereits in der „Raum-
lehre" zusammengestellt (vgl. die Anm. zu Nr. 34 des vor-
liegenden Buches). Es ist daselbst in Nr. 164 die Art und
Weise angegeben, wie die zusammengesetzten Grössen in das
System der Raumlehre eintreten; sodann ist in Nr. 165 u. 166
der Kreis als einfachste der zusammengesetzten Grössen in
Betracht gezogen, und endlich ist in Nr. 172—174 der Be-
griff der Centralität und Polarität für Kegelschnitte im All-
gemeinen festgestellt worden.

Nachdem nun in Nr. 8 — 10 des vorliegenden Buches
unter Zugrundelegung einer neuen Bezeichnung die Betrach-
tung einer Curve als zusammengesetzte Grösse als ein Port-
schritt gegen die frühere nachgewiesen wurde, soll zunächst
im Anschluss an jene Abschnitte der „Raumlehre" wiederum
der Kreis herausgehoben werden, welcher durch seine Doppel-
Stellung als einfaches Gebilde und zusammengesetzte Grösse
gleichsam eine Vorstufe zu den allgemeinen Grössen der
letzteren Art bildet, und dessen Behandlung nur die alier-
einfachsten unter denjenigen Hilfsmitteln erfordert, welche in
der allgemeinen Lehre angewendet werden.

Es werden darauf in einem gleichfalls vorbereitenden
Abschnitte die wichtigsten derjenigen Beziehungen untersucht
werden, welche zwischen dem äusseren Producte einer Reihe
von Grössen, und deren Ableitungszahlen bestehen (ein Ab-
schnitt, welcher sich mit der Lehre von den Determinanten
deckt). Diese Untersuchung wird, um in der Allgemeinheit
mit sonstigen Arbeiten über diesen Gegenstand Schritt zu
halten, für n Dimensionen geführt werden.

— 105 —

Es werden schliesslich die Fuuctionen^ welche Punkt-
reihen (Stralenbüschel) oder Curven ausdrücken^ betrachtet
werden, sowie die äusseren und algebraischen Producte aus
den diese Gebilde erzeugenden Punkten und Geraden. (Dieser
Abschnitt entspricht der Theorie der Covarianten und der
denselben untergeordneten Bildungen.) Auch hier werden in
dem allgemeinen Theile Gebilde höherer Stufen (Dimensionen)
und Grade auftreten , dagegen soll bei den speciellen Beispie-
len das Gebiet der Curven 2. Grades nicht überschritten
werden.

I. Der Kreis.

1. Die aus zwei Kreisen ableitbare Reihe von

Kreisen.

Wenn Cj und ßj zwei ^uf einander senkrechte Strecken 53.
von gleicher Länge (= 1) sind, die sich im Punkte e^ schnei-
den, und ein Punkt

(1) • X^xe^+ye^ + e.^
gegeben ist, so sagt die Gleichung

(2) • /•, = (a:^ + y2) + 2^,a; + 2y,y + d, =

aus, dass der Punkt X einen Kreis beschreibt, wenn x und y
sich so ändern, dass sie der Gleichung /i = stets genügen. —
Denn man kann die Gleichung /*, = in der Form schreiben :

(3) (X + ß,y + (y + n)' - ^i* + y,' - *. = »-.^

eine Form, welche bereits („Raumlehre" S. 111) als Gleichung
des Kreises definirt ist.
Ist

der Mittelpunkt des Kreises, so ist

(X — 0,) = (a; — A,)ei + (y - /*i) e^,

folglich (nach „Raumlehre" S. 118)

(X - 0,)^ = (x- A,)'(e,)- + (y- ft,)'(e.)-

oder, da (X — Oj)~ = r^^ uad (e^)- = (cj)" = 1 („Rauml."
S. 117):

- 106 —

mithin ist, mit der Kreisgleichung verglichen:

^1 = — /5i ; ^1 = — rn
also:

(4) Ol = - ßie^ — n 62 + ^3-

Es seien ferner /i = und f^ = die Gleichungen zweier
andefer Kreise; dann geht /s durch die Schnittpunkte von
/*, und f^, wenn

(5) fs = ccj^ + a,f^. (ai + a2 = l.)

ist („Rauml." Nr. 165). Setzt man die Specialwerthe der drei
Functionen in diese Gleichung ein, (indem man dieselben
durch die Indices der Zahlen ßyS von einander unterscheidet)
so folgt:

^2^yi _,. 2ß,x + 2y,y + S, '

+ «aC^^ + y') + ^«zßi^ + ^«iV-iy + «2*2 = 0,
woraus man schliefst:

/53 = aj/5l + «2^2; ^3 = «! 7^1 +«2^25 *3 = «1 *1 + «i *2 5

mithin auch:

Os = — ß-^e^ —^3^2 + ^3

= «,(— /3,ei — J/jß^ + ^3) + «2(- /52^l — ^2^2 +^3)

(6) 03 = «,0, + «,0.,.

Hiernach liegt der Mittelpunkt jedes aus zwei Kreisen
abgeleiteten. Kreises auf der Verbindungslinie der Mittelpunkte
jener Kreise. Oder: Die Mittelpunkte aller durch zwei gegebene
Punkte gehenden Kreise liegen auf derselben Geraden,

Da zwischen den Mittelpunkten der Kreise dieselbe Zahl-
beziehung besteht; wie zwischen den Kreisfunctionen selbst,
so besteht zwischen der Kreisreihe und der Mittelpunktreihe
eine Verwandtschaft insofern, als jedem Kreise der erster en
ein Punkt der zweiten entspricht.

Lässt man in der Function /'jd, so variiren, dass

^,2 + y,2 _ ,^ _

wird, so zieht sich, wie aus (3) erhellt, der Kreis in seinen
Mittelpunkt zusammen.

107 —

Nimmt man an, dass

«2 = - «i;

so geht die Gleichung (5) über in

d. h., da in der Klammer die Grössen x^ und y^ sich weg-
hebeU; in die Gleichung einer Geraden, welche die Verbindungs-
linie der Schnittpunkte (die. gemeinsame Secante oder Fotenz-
linie) der Kreisreihe ist. Der zugehörige Mittelpunkt rückt
also in unendliche Entfernung. Da nun in der Formel
03 = — ß^e^ — ^3^2 + ^3 die Punkte O3 und e.^ denselben
Coefficienten (hier Null) haben, so behalten auch die auf (5)
folgenden Formeln der vorigen Seite ihre Bedeutung, und
man erhält statt (6):

03 = a,(0i-0,),

wodurch, mit dem schon erhaltenen Resultat übereinstimmend,
die Grösse O3 als unendlich ferner Punkt, oder endliche
Strecke characterisirt wird. -

Bezeichnet die Formel (1) einen beliebigen -Punkt der
Ebene, so ist (nach „Raumlehre^' Nr. 165) ^ der Doppel-
abstand des Punktes X von dem durch /i = bestimmten
Kreise, oder auch das Quadrat des numerischen Werthes der
von X an den Kreis gezogenen Tangente („Raumlehre" Nr. 99
am Schluss). Wenn, also

und folglich

/l = _ Jl[!.
fi «1

ist, so sagen diese Gleichungen aus, dass das numerische
Verhältniss der von X an die Kreise /\ und f.^ gezogenen
Tangenten ungeändert bleibt, wenn X auf der Peripherie des
durch die Schnittpunkte von f^ und f^ gehenden Kreises f^
liegt. (Denn da /"g = ist, so liegt X auf der Kreislinie f^^
und da /) : /'g = — a^ : «^ , so ist das Verhältniss der von X
an/*, und f^ gezogenen Tangenten constant.)

Ist speciell «j -(- «2 = 0, so geht f^ in die gemeinsame
Secante der Kreise f^ und f^ über, und die aus X an diese
Kreise gezogenen Tangenten sind gleich. Man hat also die
Sätze:

- 108 -

Geht ein Kreis durch die Schnittpunkte zweier anderer, so
ist das Verhältniss der von einem Punkte des ersten Kreises
an die anderen gezogenen Tangenten constant.

Die Tangenten, welche von einem Punkte der gemeinsamen
Secante zweier Kreise an dieselben gezogen werden, sind ein-
ander gleich.

Auch die Umkehrungen dieser Sätze folgen aus den
Gleichungen. — Zu beachten ist, dass die Sätze auch be-
stehen, wenn die Kreise sich nicht schneiden, dass also auch
in diesem Falle ein die gemeinsame Secante vertretendes Ge-
bilde existirt.

54« Betrachten wir jetzt statt eines Kreises das ganze System
von Kreisen, welche durch die Schnittpunkte von /) und ^,
oder überhaupt durch zwei gegebene Punkte gehen. Die
Mittelpunkte aller Kreise liegen dann nach voriger Nr. auf
derselben Geraden, und zwar (nach „Raumlehre'^ Nr. 94) auf
der in der Mitte der Verbindungslinie der beiden Punkte
senkrecht stehenden Geraden.

Zieht man ^ femer von einem Punkte der gemeinsamen
Secante des Systems Tangenten an beliebige Kreise desselben,
so sind alle diese Tangenten (nach voriger Nr.) einander
gleich, und ihre Endpunkte liegen auf dem mit der Tangente
aus dem angenommenen Punkte der Secante beschriebenen
Kreise. Jeder Radius dieses Kreises ist also Tangente zu
einem Kreise des Systems. Und jede Taugente dieses Kreises
steht auf dem zugehörigen Radius („Raumlehre" Nr. 96), mit-
hin auch auf der Tangente zu einem Kreise des Systems
senkrecht. Da nun die beiden Tangenten in den Berührungs-
punkten sich rechtwinklig schneiden, so kann man sagen, dass
dasselbe die beiden Kreise thun. Zwei solche Kreise heissen
orthogonal. Und weil der neu construirte Kreis jeden Kreis
des Systems rechtwinklig schneidet, nennt man ihn einen
Orthogonalkreis des Systems.

Man kann nun aus jedem Punkte der gemeinsamen Se-
cante des Systems einen Orthogonalkreis construiren. Diese
Orthogonalkreise bilden ein neues System, dessen Mittelpunkte
auf der gemeinsatnen Secante des ersten liegen. 'Jeder Kreis
des, einen Systems schneidet sämmtlicJw Kreise des anderen

— 109 —

rechtwinklig, und die Centrdllinie* des einen ist die gemeinsame
Secante des anderen.

Die Gleichungen der Kreise vereinfachen sich in beiden
Systemen, wenn wir annehmen, dass die Centrallinie des
ersten Systems mit e^ , die des zweiten mit ^2 zusammenfalle,
sodass der Schnittpunkt beider Linien e^ ist. Ferner mögen
die Endpunkte der Linien + ßj ^^^ — ^2 ^^® Schnittpunkte
des Systems sein. Unter dieser Annahme
ist in den Gleichungen (4) und (3) der
Nr. 53 offenbar

n' = ^l-' + ^2-=l + /Jl

2.

Fig. 26.

n = 0;

folglich :

d^ 1 .

Demnach geht die Gleichung (3) über

in folgende Gleichung, welche sämmt-

liche Kreise des ersten Systems (nur durch den Werth von

^i verschieden) darstellt:

(7) (^ + ßiY + y^ = 1 + ^,* = r,^

Ist nun (>| der Radius eines beliebigen Kreises im zweiten
System, so ist für einen solchen Kreis zunächst

/J, = 0.

Bezeichnen wir dann mit a den numerischen Werth des
Abstands derCentra beider Kreise,
so ist

«2 _ ß^2 + y^2.

Und da die nach einem Schnitt-
punkte der beiden Kreise gezoge-
nen Radien aufeinander senkrecht
stehen, so ist auch

a^ = r,'^ + Q^".

Demnach ist:

'f

Fig. 27.

und aus (7)

Die Gleichung (3) nimmt nunmehr folgende Gestalt an,
in welcher sie sämmtliehe Kreise des zweiten Systems (nur
durch den Werth von y^ verschieden) darstellt:

- 110 —

(8) aj2 + (j^ + yj)^=y,«_l = 9,'.

Um nun für jedes der beiden Systeme die Schnittpunkte
zu finden, betrachten wir im ersten Systeme zwei Gleichungen
von der Form (7) mit den resp. Constanten ß^ und /Jj. Schreibt
man statt (7)

x^ + 2ß,x + y^ = + l', x'' + 2ß,x + y^^+l,
so ist klar, dass die beiden Gleichungen nur das Werthsystem

x = 0', y = ±^
gemeinsam haben. Sind also S^ und S.^ die beiden Schnitt-
punkte^ so ist (nach (1)) :

O2 == ^3 ^2 ;
übereinstimmend mit der oben gemachten Annahme.

Für das zweite System erhält man ebenso die Gleichungen :

y'^ + '^y\y + ^' = — 15 2/^ + '^y^v + ^' = - 1 ,

und daraus die Lösungen:

y = 0'^ x = + i.

Sind also U und 2i^ die Schnittpunkte des zweiten Systems,
so ist

^1 = ^:j + ^ • ^'1
■^j't ' Co ~~— " V » e% 9

Die Punkte 27, und 2^^ ^^^^ hiernach aus den Einheiten e^
und 63 mit Hilfe der imaginären Grösse i (statt mit Hilfe
reeller Zahlen) abgeleitet. Dieser Umstand bedeutet nichts
weiter, als dass diese Punkte in der verlangten Eigenschaft
von Schnittpunkten nicht existiren. Man nennt sie daher auch
imaginäre Schnittpunkte. Als Funkte an und für sich betrach-
tet, existiren sie aber allerdings. Denn da die Strecken e^
und e^ gleichlang, und senkrecht zu einander sind, so ist

* • ^1 = i ^2 •

(„Raumlehre" Nr. 69), wo das obere Zeichen zu wählen ist,
wenn durch i diejenige Drehung ausgedrückt wird, durch
i^elche + Cj in + ^2 übergeht. Hiernach nehmen die Aus-
drücke für 2J und 2^i folgende Gestalt an:

-^1 = ^3 + ^2 = ^1 ;

^•2 ^"~" C'^ e.) ^^^ A^2 •

— 111 —

In Worteu: Wird ein System von Kreisen, welche sich in zwei
Punkten schneiden, von einem anderen Kreissysteme orthogo^ial
geschnitten, so hat das zweite System dieselben Schnittpunkte
wie das erste; aber diese Schnittpunkte sind für das eine Sy-
stem reell, für das andere imaginär.*)

Fig. 88.

Anmerkung. Um hiernach die Schnittpunkte eines Kreises O und
einer Geraden e zu construiren, fälle man aus O (dem Mittelpunkte des
Kreises) eine Senkrechte C| auf c, und ziehe aus irgend einem Punkte
O, auf c den Kreis, welcher den ersten rechtwinklig 8chneidet. Die
Schnittpunkte des Kreises O^ mit Cj sind gleichzeitig diejenigen des
Kreises O mit c. Sind sie für den ersteren reell, so sind sie für den
letzteren imaginär, und' umgekehrt. Die nach der eben gemachten
Angabe gezeichnete Figur drückt gleichzeitig beide Fälle der Aufgabe
aus, da man in dem ganzen Wortlaut der Construction mit 0^ und
c mit c, vertauschen kann.

In jedem der beiden orthogonaleD Systeme heissen die-
jenigen Punkte ; welche sich als Kreise des Systems mit dem
Radius darstellen, Centralpunkte, Setzt man in den Glei-
chungen (7) und (8) r, resp. q^ gleich Null, so folgt:

*) Ich beziehe also den Ausdruck „imaginär'^, im Gegensatz zum
sonstigen Sprachgebrauche , nicht auf die Existenz der Punkte , sondern
nur auf ihre Eigenschaft als Schnittjßunkte. Nachdem man von dem
Yorurtheile zurückgekommen ist, die imaginären Zahlen als unmögliche,
nicht existireude zu betrachten, scheint mir eine ähnliche Aenderung
im Begriff der imaginären Punkte nicht nur gerechtfertigt, sondern mit
Rücksicht auf den Text geradezu geboten. Von derjenigen geome-
trischen Eigenschaft, welche diese Punkte als Ersatz für die verlorene
erhalten, wird sogleich die Bede sein.

- 112 -

ßi = ±ij yi = ± 1 ;

x = + i, t/ = 0; x = 0, y = + l.

Demnach sind die Centralpunkte des ersten Systems imaginär,
die des zweiten reell. Ausserdem fallen diese Punkte mit
den Schnittpunkten in der Weise zusammen, dass die reellen
Schnittpunkte des einen Systems gleichzeitig seine imaginären
Centralpunkte, und die imaginären Schnittpunkte des anderen
Systems gleichzeitig seine reellen Centralpunkte sind. So er-
scheint denn schliesslich ein einziges Punktepaar in dieser
vierfachen Bedeutung.

55. Wenn, wie in Nr. 53, ein Punkt

(1) X = xe^ + ye^ + e.^

sich auf der Peripherie eines Kreises /j bewegt, dessen Glei-
chung ist:

(2) f, = {x-^ + f) .+ 2^ja; + 2y, y + d = 0,
SO ist

(3) 9>, =2^,a; + 2y,y + d =

die Gleichung der Polare des Punktes ^3, der nun P heissen
möge, in Bezug auf den Kreis („Raumlehre*' Nr. 173). Ist a,
diese Polare, so ist demnach

(4) a, = 2/3,|e, + 2y,|e,-f *,|e3.

Denn durch äussere Multiplication von (1) und (4) folgt wie-
der (3), indem (XaJ = sein muss, weil X auf a, liegt.

Ist nun ein Kreis f^ aus zwei anderen, /*, und f.^ durch
die Gleichung abgeleitet:

fz = «i/i + «2A>
so ist auch nach Nr. 53 :

mithin, wenn a^a^^a^ die Polaren des Punktes P in Bezug
auf die drei Kreise sind, und g?j = 0, q)^ = 0, gj^ = ihre
resp. Gleichungen:

«3 = «1 «1 + «2«2 ; (9^3 = «1 9i + «29^2) ?

d. h. : Die Polaren eines Punktes P in Bezug auf alle Kreise^
welche sich in demselben Punktepaare schneiden, gehen durch
denselben Punkt Q. — P und Q heissen zugeordnete harmo-

- 113 —

nische Pole des Systems. Schneidet daher die durch P und Q
bestimmte Gerade einen beliebigen Kreis des Systems in den
Punkten S^ und Äj? so sind (nach der Definition der Pola-
rität, vgl. „Raumlehre" Nr. 173) P und Q zugeordnete har-
monische Punkte in Bezug auf S, und Äj. Sie sind es aber
auch in Bezug auf die Schnittpunkte jedes anderen Kreises
im System mit PQ. Diese Schnittpunkt-Paare sind also in-
volutorisch. Und da der Punkt P (Anfangspunkt der Coor-
dinaten) beliebig ist, so hat man den Satz:

Drei Kreise j welche sich in denselben zwei Punkten schnei-
den, werden von jeder beliebigen Geraden in involutorischen
Punkten geschnitten.

Ist insbesondere a, -|- «j = 0, so verwandelt sich der
Kreis ^3 in die gemeinsame Secante des Systems, mit der
Gleichung f^ — /*2 = 0. Da nun

/i — /^ = 9^1 — 92

ist, und (9?^ — gjj) ^® Polare von P in Bezug auf /*, — /"j
ausdrückt, so haben wir den Satz:

Die Polare jedes Punktes in Bezug auf die gemeinsame
Secante des Systems ist diese Secante selbst

In diesem besonderen Falle geht nun die allgemeine,
zwischen PQS1S2 bestehende, harmonische Gleichung

C-^i Q-S^

da /S'2 in unendliche Ferne rückt, und somit ^ — 52 = P — Sj
wird, über in:

Q-S, .

oder:

d. h.: Die Verbindungsstrecke zweier zugeordneter harmonischer
Pole wird durch die gemeinsame Secante des Systems hdlbirt.

Es seien Oj und 0^ die Mittelpunkte zweier beliebiger 56.
Kreise. Dann ist die Strecke Oj — Oj auf doppelte Weise
in einem gegebenen Verhältnisse theilbar („Rauml." Nr. 119),
folglich auch auf doppelte Weise im Verhältnisse der beiden
Radien r^ und r^* Sind P^ und P^ die beiden Theilpunkte,
so ist also:

Schlegel, Elemente. 8

— 114

folglich:

P, - 0, _ r, .
P, - 0, r. '

Oi-P, r, .
P, - 0, r, '

Pi-0,

P.-O,

P,-Ot

P. - 0, '

wodurch Pj und Pj als harmonische Punkte zu 0^ und O.^
dargestellt sind.

Wenn nun aus 0^ und Oj zwei Sonst beliebige Radien
gezogen werden, die entweder gleiche oder entgegengesetzte
Richtung haben, so liegen die Endpunkte Ä^ und JLj dieser

Fig. 29.

Radien im ersten Falle mit P, , im zweiten mit Pjj in gerader
Linie. Denn da wir jetzt in den bisherigen Gleichungen die
numerischen Werthe r^ und rj durch die parallelen Strecken
(0, — ^i) und (Oj — Ä2) ersetzen können, so ist:

P j — Oj __ Oj — Ä^ Oj - P» ^ 0, -^t .

>i - öj ^2 - ^2 ' P2 - Ö2 ^2 - öj '
oder:

P(l,2)_— 4l_ =, P(l,2) — Ol ^
P(l,2) — Ät P(l,2) — O2

Und da die Strecken auf der rechten. Seite dieser Gleichung
auf derselben Geraden liegen, so gilt dasselbe auch von denen
auf der linken Seite; d. h.: es liegt im ersten Falle P^, im
zweiten P2 mit Ä^ und A2 auf derselben Geraden.

Die Dreiecke P(l^2)0^A^ und P(i,2)02^2 ^^^^ ^"^ ähnlich,
und P(i,2) ist ihr Aehnlichkeikspunkt („Raumlehre" Nr. 137).
Da diese Eigenschaft der Punkte P| und Pj für jede Richtung
der beiden Radien stattfindet, so nennt man P^ und P^ auch
die Aehnlichkeitspunkte der beiden Kreise^ und zwar P, den
äusseren y P^ ^®^ inneren.

Man kann nun den eben . gefundenen Satz, wie auch seine
Umkehrung in folgender Form aussprechen:

Die Endpunkte eweier paralleler JRadien in zwei Kreisen

— 115 -

liegen, wenn die Radien gleiche Richtung haben, mit dem
äusseren, wenn entgegengesetzte, mit dem inneren
Äehnlichkeitspunkte der beiden Kreise in gerader Linie.

Zieht man aus einem AehnlichkeitspunMe zweier Kreise
eine gemeinschaftliche Secante, so sind die nach den entsprechen-
den DurchschnittspunMen gezogenen Radien parallel.

Steht also in dem einen Kreise der Radius auf der Secante
senkrecht (was der Fall ist, wenn die Secante in eine Tan-
gente übergeht), so findet dasselbe auch in dem anderen Kreise
statt; d. h.:

Die aus einem Äehnlichlceitspunlcte zweier Kreise an den
einen gezogene Tangente berührt auch den andern.

Es sind also die A.ehnlichkeitspunkte diejenigen Punkte,
in welchen sich die gemeinsamen Tangenten der beiden Kreise
mit der Centrallinie schneiden. Demnach heissen diejenigen
beiden Tangenten, welche vom äusseren Aehnlichkeitspunkte
ausgehen, die äusseren Tangenten, die andern beiden: die
inneren. ,

Die beiden Punkte -4, und A,^^ können homologe Punkte
genannt werden. Bezeichnet P einen beliebigen der beiden
Aehnlichkeitspunkte, so sind zwei homologe Punkte durch die
Bedingung bestimmt:

P — A^ P ~ o^*

Diese Bedingung kann auch durch solche Punkte erfüllt wer-
den, welche nicht auf der Peripherie der beiden Kreise liegen.
Namentlich sieht man sogleich, dass die Mittelpunkte Oj und
O2 selbst homologe Punkte sind.

Bezeichnet man die parallelen Radien 0, —Ä\ und 0.^ — A<^
wieder durch r^ und r^, so kann die Bedingungsgleichung
der Homologie auch geschrieben werden:

P-A, _r,

P~A, — rr
oder:

P{r^-r^)==^A^r, — A^r^.
Ist dann B^ und B^ ein zweites Paar homologer Punkte, so ist

P(r, -r2) = £2^i -•^1^2 5
mithin:

A^r^ — A^ r.^ ^ B^r^ -- jB, r^ ,

8*

^ I

— 116 —
oder :

d. h.: Jede Linie, welche zwei Funkte eines Kreises verbindet,
ist parallel derjenigen Linie, welche die homologen Punkte eines
anderen Kreises verbindet — Die auf diesen Linien liegenden
Sehnen verhalten sich wie die Radien der zugehörigen Kreise,

Die beiden Linien, von denen die erste durch zwei Punkte
eines Kreises und die zweite durch die homologen Punkte
eines anderen Kreises geht, mögen homologe Secanten genannt
werden. Dann lässt sich der vorige Satz nebst seiner üm-
kehrung, wie folgt, aussprechen:

Homologe Secanten zweier Kreise sind parallel.

Zieht man durch zwei homologe Funkte zweier Kreise
parallele Secanten, so schneiden diese die beiden Kreise noch-
mals in homologen Funkten.

Zieht man aus den Schnittpunkten zweier homologer Se-
canten noch zwei neue Paare homologer Secanten, so schnei-
den sich , wie aus der Aehnlichkeit der entstehenden Dreiecke
leicht zu ersehen, auch diese in homologen Punkten. Man
hat also folgenden Satz:

Die beiden Funkte, von denen der erste der Schnittpunkt
zweier Secanten eines Kreises, und der zweite der Schnittpunkt
der homologen Secanten eines anderen Kreises^ ist, sind homo-
loge Funkte.

Abgekürzt kann man diesen imd den reciproken früheren
Satz so aussprechen:

Die Verbindungslinien homologer Funktepaare sind homo-
loge Secanten. — Die Schnittpunkte homologer Secantenpaare
sind homologe Funkte.

Sollen zwei homologe Punkte Ä^ und Ä2 in einen (A)
zusammenfallen, so hat man:

d. h.:

F = Ä.

Es sind also die Aehnlichkeitspunkte die einzigen homo-
logen Doppelpunkte; und demnach ist jede durch einen Aehn-
lichkeitspunkt gehende Secante eine homologe Doppelsecante.

Berühren sich zwei Kreise, so ist der Berührungspunkt

' — 117 —

ein ÄehnlichkeitspunJdy und die beiden durch ihn gehenden
Tangenten fallen in eine einzige zusammen. — Andere specielle
Fälle, welche sich auf die gegenseitige Lage der Kreise be-
ziehen, übergehen wir hier.

2, Der aus drei Kreisen ableitbare Verein von

Kreisen.

Wenn f^ = 0, /"j = 0, f^ = die Gleichungen von drei 57.
beliebigen Kreisen in der Ebene sind, so schneiden sich die
drei gemeinsamen Secanten, deren Gleichungen resp. f^ — /i = 0,
/'j — /a = 0, /*3 — fi=0 sind, in einem Punkte. Dasselbe
gilt von jedem Kreise f^, welcher aus den drei gegebenen
Kreisen abgeleitet ist, sodass

(1) f^ = a/j 4- a^/i + «3/3 ; («1 + «2 + «3 = 1)

ist. Es haben also alle aus drei gegebenen Kreisen ableit-
baren Kreise einen Punkt gleichen Doppelabstandes {Potenz-
punkt)] alle aus diesem Punkte an Kreise des Vereins ge-
zogenen Tangenten sind einander gleich, und der Kreis,
welcher aus dem Potenzpunkte mit einer solchen Tangente
als Badius beschrieben wird, schneidet alle Kreise des Vereins
orthogonal. („Raumlehre*^ Nr. 165 u. 166.)

Das in Nr. 53 befolgte V erfahren führt auch hier zu dem
Resultate, dass die zwischen den Functionen /*i/*2/*3/*4 bestehende
Zahlbeziehung (1) auch zwischen den Mittelpunkten 0^ 0^ O3 O4
der zugehörigen Kreise stattfindet, sodass

(2) 0, = a,0, + a^O^ + a,,0^.

Es findet also auch hier zwischen dem Kreisverein und dem
Mittelpunktverein eine Verwandtschaft statt, insofern jedem
Kreise des ersteren ein Punkt des zweiten entspricht.
Wenn speciell

«1 + «2 + «3 =

ist, so stellt f^ eine Gerade dar, weil die quadratischen Glie-
der der in (1) enthaltenen Functionen sich nun wegheben,
und O4 stellt (nach „Raumlehre" Nr. 126) eine Strecke dar,
d. h. einen unendlich fernen Punkt (als Mittelpunkt des Krei-
ses /*4, der in eine Gerade übergegangen ist). Da die durch
fi vorgestellte Gerade vom Orthogonalkreise senkrecht ge-

118 -

1

's

^1
^1

schnitten wird^ so muss sie mit einem Durchmesser dieses
Kreises zusammenfallen. Umgekehrt: Jeder Durchmesser des
Orthogonalkreises ist ein Kreis des Vereins mit unendlich fer-
nem Mittelpunkt. Vgl. hierzu noch „Raumlehre" Nr. 166.

Von di'ei gegebenen Kreisen besitzen je zwei ein Paar
Aehnlichkeitspunkte. Es seien diese Paare: P, P2, M^M2f
^,^2- Dann bestehen, wenn 0^0.^0^ die Mittelpunkte und
^i^2^3 ^^® Radien der drei Kreise sind, nach Nr. 56 folgende
Beziehungen:

\^3 ^1/ *^8

Hieraus folgt:

d. h. : Die drei äusseren AehnlicKkeitspunkte dreier Kreise liegen
in derselben Geraden.
Ferner:

nebst zwei durch circuläre Vertauschung hieraus ableitbaren
Gleichungen. Alle drei geben den Satz:

Die inneren Aehnlichkeitspunkte y welche ein Kreis mit
zwei anderen gemeinsam hat, liegen mit dem äusseren Aehn-
lichkeitspunkte dieser beiden letzteren auf derselben Geraden.

Die 6 Aehnlichkeitspunkte sind demnach die Schnitt-
punkte von vier Geraden. Diese heissen die Aehnlichkeitsaxen,
un(J zwar diejenige die äussere, auf welcher die drei äusseren
Aehnlichkeitspunkte liegen, die anderen aber die inneren.
58, Specielle Sätze über Kreise, welche sich berühren*). —
Werden zwei Kreise von einem dritten berührt, so nimmt der
letzte Lehrsatz durch die Verwandlung- der inneren Aehn-
lichkeitspunkte in Berührungspunkte folgende Form an:

*) Es ist im Folgenden überall von äusserer Berührung die^Bede;

— 119 ~

1) Der aussäe Äehnlichkeitspunkt zweier Kreise, die von
einem dritter^ berührt werden, liegt mit den beiden Berührungs-
ptmkten auf gerader Linie,

Wenn aus einem Punkte Ä eine den Kreis K^ in JB, und
(7, schneidende Secante gezogen wird, so sind die in B^ und C^
gezogenen Tangenten die Polaren
der Punkte B^ und C, zu K^ ; und
die Verbindungslinie der Punkte,
in welchen die aus A gezogenen
Tangenten den Ereis berühren,
ist die Polare von A, — Da nun
die drei Pole AB^C^ in gerader
Linie liegen, so gehen die zuge- jc>^
hörigen Polaren durch denselben
Punkt Pj, den Pol der Secante.

Ist nun A der äussere Äehn-
lichkeitspunkt zweier Kreise K^
und K2, und schneidet die Se-
cante* J.JBj C^ diesen zweiten Kreis
in den Punkten J?2 "^^ Cj; so ^' '

gehen auch hier die in B2 und Cj gezogenen Tangenten mit
der Polare von A zu JEj durch denselben Punkt P^, den Pol
der Secante zu £'2.

Die beiden Polaren von A (zu K^ und JSTj) heissen die
äusseren Aehnlichkeitspölaren.

Betrachten wir nun (nach Satz 1)) die Punkte C2 und B^
als Berühruogspunkte der Kreise K^ und K2 mit einem dritten
Kreise K^, und nennen die Secante, auf welcher die Be-
rührungspunkte liegen, die Berührungssecantet^ K^, so kön-
nen wir das letzte Resultat in folgendem Satze aussprechen:

?) Werden zwei Kreise von einem dritten berührt , so geht
jede ihrer äusseren Aehnlichkeitspolarm durch den Pol der Be-
rührungssecante im zugehörigen Kreise.

In den beiden Kreisen K^ und K^ sind die Mittelpunkte
K^ und £3 homologe Punkte^ demnach die durch A und K^
gehende Secante (JE'i L^) und eine durch £3 parallel mit jener
gezogene Secante (K^L^) homologe Secanten. Zieht man
nun durch den Punkt L^, in welchem die Secante ^fj und
die Polare zu A sich schneiden, die homologe Doppelsecante

— 120 —

(L^L^), so sind deren Schnittpunkte (Z^ u. L^) mit den ho-
mologen Secanten KiL^ und K^L^ homologe Punkte. Zieht

man endlich durch £3 eine Paral-
lele zu der Polare FiL^, so ist sie
dieser Polare homolog. Und ebenso
sind die Schnittpunkte (P„ P^) die-
ser homologen Linien mit der ge-
meinsamen Tangente von Ki und
-STg homologe Punkte.

Denkt man sich nun noch den
Kreis JSTj hinzu, welcher von K^
in C2 berührt wird, so sind die aus
P3 an K^ und JSTj gezogenen Tan-
genten (Pa^i und P3C2) einander
gleich (als Tangenten an K^). Mit-
hin ist die Linie P3 L^ gemeinsame
Secante der Kreise K^ und JEj-
Wir haben also den Satz:
3) Werden zwei Kreise' von
einem dritten heriihrt, so ist ihre gemeinsame Secante mit jeder
ihrer äusseren Äehnlichkeitspolaren homolog in Bezug auf den
zugehörigen und den Berühru/ngs-Kreis.

Wir nehmen jetzt an, dass ausser K^ und JSTj noch ein
dritter Kreis Kn von K^ berührt werde. Die äusseren Aehn-

Flg. 31.

■0

3

lichkeitspunkte seien:

Ä für Kl und K^

B
C

f)

))

Kn

y)

))

Nach dem letzten Satze sind die Polare von Ä zu K^ und die
gemeinsame Secante von K^ und K^ homologe Linien in Be-
zug auf K^ und K^, Ebenso sind aber auch die Polar» von
C zu K^ und die gemeinsame Secante von K^ und K^ homologe
Linien in Bezug auf K^ und K^.

Polglich sind der Schnittpunkt der Polaren von A und von
C zu Kl (d. h. der Pol der Linie -4(7 zu K^), und der Schnitt^
punkt der gemeinsamen Secanten von K^, K^ und von Ä",, K^
(d.h. der Potenzpunkt*) der drei ^ei'&e KqK^K^ homologe

^) Punkt gleichen Doppelabstandes.

— 121 — .

Punkte in Bezug auf K^ und K^. «— Da nun die Verbindungs-
linie dieser homologen Punkte durch den inneren Aehnlichkeits-
punkt (Berührungspunkt) von Ä", und ^3 geht, so hat man
den Satz:

4) Werden drei Kreise von einem vierten berührt, so liegt
ihr FotenzpunM in gerader Linie mit jedem Berührungspunkte
und dem Fol ihrer äusseren Äehnlichkeitsaxe in dem zugehöri-
gen Kreise.

Da die drei im letzten Lehrsatze erwähnten Punkte in
gerader Linie liegen, so schneiden sich ihre Polaren in Bezug
auf einen der drei berührten Kreise -K", in demselben Punkte.
Da nun die Polare des Berührungspunktes von Ä", und K^ die
gemeinsame Tangente ist, so hat man endlich den Satz:

5) Werden drei Kreise von einem vierten berührt, so geht
ihre äußere Äehnlichkeitsaxe durch denselben Punkt mit jeder
ihrer Berührungstangenten und der Polare ihres Potenzpunktes
in dem zugehörigen Kreise,

Anmerkung. Der Satz 4) lehrt den Berührungskreis durch drei
seiner Punkte bestimmen , Satz 5) durch drei seiner Tangenten. — Mo*
dificirang der Aufgabe „einen Kreis zu constmiren, welcher drei gege-
bene Kreise berührt** einerseits durch Hinzufügung der Berührung „Ton
innen**^ andrerseits durch Ausartung eines oder mehrerer der gegebenen
Kreise in eine Gerade oder einen Funkt. (ÄpoUonisches Problem,)

Der Abschnitt über Berührungskreise ist hier aufgenommen worden,
nm zu zeigen, mit welchem Vortheil man den Begriff der ^.homologen
Pwnkte und Secanten^^ zur Ableitung neuer Resultate verwenden kann.

Sonst gehört die Theorie der Aehnlichkeitspunkte , wie sie in
Nr. 56—58 vorgetragen wurde, noch in die Lehre von den einfachen
Grössen. Dagegen setzen die „Berührungskreise** den Begriff der Pola-
rität voraus , und stehen daher hier an ihrer richtigen Stelle.

, II. Determinanten.

1. Definition und allgemeine Eigenschaften der

Determinante.

Es seien n Grossen x^X2 . > . Xn aus den n Einheiten e^e2 59.

. . . 6» mittelst der Zahlen a^^a^2 * * - ^n^22 abgeleitet;

sodass

(1)

— 122 —

f^l = «Jl ^1 + «12^2 + • • • + CCinCnp
^i = «21 ^1 + «22 ^2 + • • • + «2»en ,

^» = «Bl^l + «»12^2 + • • • + ßnnen •

Bildet mau nun das äussere Product

und bringt in jedem Gliede das Product der n Einheiten mit-
telst des Gesetzes

auf die Form

\ß\ ^2 • • • ^'^z f

so kann man dieses Product als gemeinsamen Factor heraus-
setzen. Der Zahlencoefficient dieses Productes heisst nun
Determinante, und soll durch ^ bezeichnet werden, sodass

(2) (^1^2 ' - . Xn) = ^(e^ ^2 . . . 6«).

Eine Determinante ist also der Zahlcoefficient eines äusse-
ren Productes aus n linear &n Factor en, deren jeder aus den-
selben n Einheiten abgeleitet ist.

Wenn die Einheiten e, . . . e« Strecken sind, so ist ihr
äusseres Product ein Gebilde w. Stufe. Dasselbe gilt von den
Grössen x^ , . , Xn* Will man nun diese geometrischen Ge-
bilde aus der Betrachtung entfernen, so braucht man nur das
Product (cj . . . Cn) als Einheit w. Stufe aufzufassen (vgl.
„Raumlehre*' Nr. 152), sodass

\^i ^2 • * • ^"/ '^^
ist. Dann ist

\Xt X'2 • • • Xfij — ' " ^7.

Und da jetzt die Einheiten e^ . . . e» ein Normalsystem n. Stufe
bilden, so können wir sagen:

Eine Determinante ist ein äusseres Product von n Grössen
1. Stufe im Normalsystem n. Stufe. •

Von dieser Definition macht man hauptsächlich Gebrauch,
um die Eigenschaften des Productes (x^ . . . Xn) sofort auf die
Determinante zu übertragen.

Vermöge des Gesetzes CaCß = — »e^Ca ändert jedes äussere
Product sein Zeichen, sobald man darin irgend zwei benach-
barte Factoren vertauscht, oder, anders gesagt, einen Factor

- 123 —

über den benachbarten hinwegsetzt. — Es erhält daher glei-
ches oder entgegengesetztes Zeichen, jenaehdem ein Factor
eine gerade oder ungerade Anzahl von Factoren überspringt.
— Jedea üeberspringen eines Factors durch einen benach-
barten mag eine Tran^osition genannt werden. — Da nun
solche Transpositionen nothig sind, um in dem entwickelten
Ausdruck der .Determinante jedes Einheitsproduct auf die
Form (ß] . . . en) zu bringen ; so kann man sagen:

Ein Glied in dem entwickelten Ausdruck der Determinante

«

ist positiv oder negativ, jenaehdem das darin enthaltene Einheits-
product durch eine gerade oder ungerade Anzahl von Trans-
Positionen in die Form (e^ . . . e„) übergeht.

Jede Reihe von Ableitungszahlen, die zu demselben Factor
X gehören, heisst eine Horizontal/reihe der Determinante. Jede
Eeihe von Ableitungszahlen, die zu derselben Einheit e ge-
hören, heisst eine Verticalreihe der Determinante.

Betrachten wir nun neben dem Producte (ajj . . . a?«), dessen
Factoren durch die Gleichungen (1) bestimmt sind, ein zwei-
tes (yi . . . yn)) in welchem

iy\ = «11 «1 + «21 «2 H h «nl^n ,

^2 = «12 ^1 + «22 ^2 + • • • + ««2^« ,

(3)

sodass die Horizontalreihen der einen Determinante gleich-
zeitig die Yerticalreihen der anderen sind. Da nun in dem
entwickelten Ausdruck des Productes jedes Glied den Factor
(^1 • . . en) enthält, so sind in jedem Gliede des ersten Pro-
ductes {x^ . . , Xn) die hinteren Indices der a der Reihe nach
die Zahlen 12 ... n, während die vorderen Indices dieselben
Zahlen in allen Permutationen sind. Ordnet man nun in
jedem Gliede die Factoren a so, dass die vorderen Indices
der Reihe nach die Zahlen 12 ... n sind, so sind nun die
hinteren Indices dieselben Zahlen in allen Permutationen.
Da nun dieser Umstand gerade- in den Gliedern des zweiten
Productes (j/i . . . y«) stattfindet, so sind beide Producte iden-
tisch, und man kann sagen:

Eine Determinante ihiht ungeändert, wenn man ihre hori-
zontalen Reihen als verticale und gleichzeitig ihre verticalen als

— 124 —

*hori0ontdle fdmnU. — Oder: Eine Determinante bleibt umge-
ändert y wenn man alle vorderen, Indices ihrer Zahlen mit den
hinteren Indices vertauscht.

Es können Jäher alle von den Horizontalreihen einer
Determinante geltenden Sätze sofort auf ihre Yerticalreihen
übertragen werden. Beide Arten von Reihen sollen nun ein-
fach „BeiÄew" genannt werden.
60. Da das Product {x^ . . , x^) sein Zeichen ändert; wenn
einer seiner Factoren eine ungerade Anzahl von Factoren
überspringt, oder wenn, was hierauf hinauskommt, zwei be-
liebige Factoren vertauscht werden, so hat man den Satz:

Eine Determinante ändert ihr Zeichen, wenn eine ihrer
Reihen über eine ungerade Amahl von Reihen hinweggesetzt
wird, oder wenn man zwei beliebige Reihen mit einander ver-
tauscht, (Dasselbe Resultat ergiebt sich auch durch Betrach-
tung der Formel (2),. worin jd sein Zeichen ändern muss,
wenn dasselbe mit einem der beiden äusseren Producte ge-
schieht.)

Ist P^äh) ein Product, welches die beiden Factoren a und b
an irgend welchen Stellen enthält, so ist^ wie eben bemerkt:

folglich :

P{ab) + Piba) = 0.

Setzt man nun b = a, so folgt:

P(aa) = 0;

d. h. , wenn wir den Satz sogleich auf die Determinante über-
tragen :

Eine Determinante, in welcher irgend zwei Reihen ein-
ander gleich sind, ist gleich Nuü.

Da das Zeichen eines äusseren Productes nur von der
Stellung seiner extensiven Factoren {x^, a?2 • • •) abhängt, so
kann ein Zahlenfactor X jede beliebige Stelle darin einnehmen.
So ist also

A \X^ ... Xfij — \*^1 • • • ^Xp ... X'f^j \

d. h.: MuUiplidrt man alle Glieder einer Reihe der Deter-
minante mit demselben Factor X, so wird die ganze Deter-
minante mit ihm muUiplicirt. Und: Haben aUe Glieder einer

— 125 —

Reihe der Determinante einen gemeinsamen Factor, so ist die-
ser ein Factor der ganzen Determinante.
Wenn in dem Producte (x^ , . . Xn)

^p = yp + ^p

gesetzt wird, wobei

Vp = ßpi^i + ßp2e2 + ...;' 0p ^= ypiCi + ^^2^2 + . . . ,
so folgt:

[X^ . . . Xp . . . Ä?nJ = \X^ . . . [1/p -f- 0pj • . • Xn)
= \X^ • . . yp • . , XnJ -p \X^ • . , 0p , , . Xn) j

d. h.: Wenn alle Glieder einer Beihe der Determinante als
Summen von gleichviel Summanden dargestellt werden, so lässt
sich die Determinante selbst als Summe von ebensovielen Deter-
minanten darstellen.

Wenn insbesondere statt Xp gesetzt wird Xp-^- Xxq, worin
Xq ein anderer der n Factoren x^ . . ,x„ ist, so erhält man:

^^j • • • I «^s "j~ " Qj • * • **^n) ^~" V**'1 • • • *^p • • • XfiJ ~y" ft) [Xa • • • Xq • • • Xfij

—^ \X\ • • • Xp . %• Xfij f

weil nämlich das zweite Produet den Factor Xq zweimal ent-
hält und folglich gleich Null ist. Demnach:

Eine Determinante bleibt ungeändert, wenn man sämmt-
liche Elemente einer Beihe um dieselben Vielfachen der Elemente
einer anderen Beihe vermehrt oder vermindert.

Da im äusseren Producte beliebige Zusammenfassung der
Factoren gestattet ist („Raumlehre*' 139), so ist

\X\ • • • Xfij ^= \Xi • • . Xm) \*^m-\-'l • • • ^nj*

Da alle Factoren aus den Einheiten e^ . . . e» abgeleitet sind,
so enthält das Produet {x^., . Xm) nur dann eine Determinante,
wenn die Ableitungszahlen seiner Factoren aus Cm+i, em+2,
. , . Cn gleich Null sind, d. h. wenn

«p(m+i) = «p(w»+2) = i . . = Op« = ; (jp = 1, 2, . . . m).

Ebenso enthält {x^j^i . . . Xn) nur dann eine Determinante,
wenn

Ist die erste Bedingung erfüllt, so enthält (x^ . .. Xm) nur das
Einheitsproduct (e^ . . . Cm) als Factor. Multiplicirt man nun

-- 126 —

weiter mit {Xm^i , . , Xn), so kommen in allen Pactoren von
Xm-\-i bis Xn nar noch diejenigen Glieder zur Multiplication^
welche die Einheiten ßm-f i> • • • ^n enthalten. Das Resultat
der Multiplication ist also dasselbe ^ als wenn die isweite Be-
dingung erfüllt wäre; d. h.: Die Determinante zerfallt in das
Product zweier Determinanten, auch wenn nur eine der beiden
Bedingungen erfüllt ist Oder:

Wenn in einer Determinank von n Reihen in den ersten
(letzten) m Reihen überall die letzten {ersten) n — m Glieder
gleich NuU sind, so zerfällt die Determinante in das Product
zweier Determinanten. Die eine davon besteht aus den ersten
(letzten) m Reihen der gegebenen Determinante, die andere aus
den letzten {ersten) {n — m) Reihen, nachdem in Jeder derselben
die ersten {letzten) m Glieder unterdrückt worden sind,

Anmerkung. Aus den bisher gewonnenen Resultaten lässt sich
bereits erkennen, dass das System der ursprünglichen Einheiten die
naturgemässe Grundlage der Determinantentheorie ist. Indem man die
Determinante im Zusammenhange mit dem äusseren Producte betrach-
tet, dessen Zahlcoefficient sie ist, gewinnt man zunächst eine einfache
Bezeichnung für sie. Während die sonst üblichen Bezeichnungen alle
darauf hinauslaufen, einzelne Glieder aus dem entwickelten Ausdruck
der Determinante mechanisch zusammenzuschreiben, bietet sich hier
im äusseren Product ein bereits bekannter Ausdruck, dessen Theile
durch ein Bechnungsgesetz mit einander verbunden sind. Diese Be-
zeichnungsweise hat als systematische vor den übrigen , willkürlich
gewählten, mehrfache Vorzüge. Bei der üblichen Darstellungsweise
erscheinen die Eigenschaften der Determinante stets als Resultate einer
Erfcihrung, die sich nicht anders als durch Ausrechnung der einzelnen
Glieder der Determinante gewinnen lässt. Dagegen gestattet die An-
wendung des äusseren Productes eine deductive Begründung jener
Eigenschaften. — Ich glaube nicht zuviel zu behaupten, wenn ich sage,
dass die Lehre von den äusseren Producten zur wissenschaftlichen Be-
gründung der Determinantentheorie ebenso unentbehrlich ist, und in
ähnlichem Verhältnisse zu dieser Theorie steht, wie die Lehre von den
Buchstaben-Polynomen~^ zur gewöhnlichen Rechnung mit decadischen
Zahlen.

2. Beziehungen zwischen mehreren Determinanten.

61. Die Formeln (1) und (3) können verallgemeinert werden,
indem man jeden Zahlenfactor a durch eine neue extensive
Grösse ersetzt, welche aus einem zweiten System von Ein-
heiten (£f ^2 * • • ^n) abgeleitet ist. Es sei

— 127

statt Upq gesetzt: sEa^ e^y

qs

wonn

«-^< ^* = <1 ^1 + <2 ^2 -j + <„ Bn .

Es mögen ferner durch diese Substitution die Grössen x
und y der' Formeln (1) und (3) resp. übergehen in u und ^]
dann ist .

(4)

(5)

u

?i

^2

und wiederum ist

(6) (wiWj • • • 'W«)= (5^i;8?2 • • • ^«)-

Denn in jedem Gliede des entwickelten Ausdrucks sind die
hinteren Indices der Grössen a der Reihe nach die Zahlen
1, 2 . • . w, während die vorderen und die oberen Indices alle
Permutationen in allen Combinationen aufweisen, und zwar
ist dies sowohl bei dem aus (4) wie bei dem aus (5) gebilde-
ten Producte der Fall, weil die Ausdrücke in (5) aus denen
in (4) durch Vertauschung der yorderen mit den oberen In-
dices entstehen.

Es seien nun zwei Producte {x^ x^, , , x») und (y, j/2 • • • Vn)
gegeben ; worin

Xp = apiei + «^2^2 + • • • + CCpnBn]
Vp = ßpl^^ + ßp^Si + • • • + ßpn^n .

C)

— 128 —
Das Product beider Producte

können wir durch Umstellung der Pactoren auf die Form

(^12/1) (^2^2) — (^«y«)

bringen, um das Vorzeichen dieser Form zu bestimmen ^ be-
achten wir Folgendes : a?» muss (n — 1) Factoren überspringen,
um vor j/n zu kommen; darauf a;«—! desgleichen (w — 2) Fac-
toren, um vory„_i zu kommen; zuletzt rUj einen Factor, und
x^ gar keinen. Da bei jedem Sprung ein Zeichenwechsel
stattfindet; so giebt dies

1 + 2 + 3 + h (n — 2) + (n— 1) = ^ti^tpll

als Anzahl der Zeichenwechsel. Demnach ist

n(n — 1) * •

(8) (^1 . ..Xn) (2/1 . . .J/n) = (— 1) 2 . (x^y^) {x^y'i).^.{xüyn).

Betrachten wir nun eins der Producte auf der rechten
Seite, (Xpyp), und setzen:

(9) (^i>yp) = %/

so ist nach Ausführung der Multiplication

n

Up = TfSUcCprßpserSs,
1

worin alle n^ Combinationen der Werthe von r und 5' zu
nehmen sind. Sei ferner

SO ist entwickelt:

Up

Setzt man nun

0p = e^(s2d'^^8s) + e,(^sZdla,) + .^^ + en(s^^
so ist nach den Formeln (4) (5) (6)

(10) (t*i . . . Un) = (j2?j . . . 0n) .

-Setzt man ferner in dem Ausdrucke für ^p die Einheiten e
als gemeinsame Factoren heraus, so iat:

— 129 —

+

oder, wenn wir setzen:
oder:

(11) ypx = aipßlxei + CC2pß2xe2 + . . • + anpfinx^ny

(12) gip = ypi ei + yp2£2 + — ' + Ypn f«.
Nun folgt aus den Formeln (8) (9) (10), dass

n{n — 1)

(13) (ajj . . . a^n) (yi . . . y«) = (— 1) ^ (-s^i • • • ^n)

ist, worin die Grössen xyz durch die Formeln (7) und (12)
erklärt sind, während (11) den Zusammenhang zwischen den
Ableitzahlen der z einerseits, der x und y andrerseits aus-
drückt.

Der in Formel (13) enthaltene Satz heisst das Multipli-
cationsfheorem der Determinanten, und lässt sich vollständig
so ausdrücken:

Wenn

Xp = apiei + ap2 ß2 + • • • + ^pn ßn;

Vp = Ä>1 ^1 + /'p2 ^2 + • • • + ßpn Bn ,

0p *= ypl *1 + yp2 f2 + • • • + ypn ^n,

ypx = «Ip ßixei + a^p ß2x ^2 + • • • + «ni» ßnx 6«

ist, SO ist

n(n — 1)
{X^. . . Xn) (y, . . . Vn) = (- 1) ^ (^1 • • • ^n),

oder, wenn man (a;, . . . a;») 6?wrcÄ ^«(e^ . . . c„); (2/1 • . . J/n)
öfttrcÄ ^i^ (f 1 . . . f n) 5 (^1 • • • ^n) durch Jy (e, «j Cj ^2 • • • ^« ^«)

^a . /^^ = z:/y .

Anmerknng. Der das Vorzeichen bestimmende Factor auf der
rechten Seite von (13) findet seine Erklärung darin, dass in jedem
Gliede des entwickelten Ausdrucks das Product {t\^i^^% . • • ^^^^^ erst

auf die Form (^162 . . . 6„Ei«2 • • • ^ gebracht werden muss. Diese

Sohle gel, Elemente. 9

— 130 -^
Operation verursacht^ ebenso wie die umgekehrte, welche oben be-

n(n— 1) njn-l)

handelt wurde, — Zeichen Wechsel, und der Factor ( — 1) 2 be-
wirkt nun, dass überhaupt kein Zeichenwechsel stattfindet.

Der hier gegebene, von den üblichen Methoden abweichende Be-
weis des Multiplicationstheorems dürfte sich durch seine Uebersichtlich-
keit empfehlen, und durch den Einblick, welchen er in die bei der
Multiplication stattfindenden Gruppirungen der Elemente gewährt. —
Wenn man die Maltiplication wirklich ausführt, so verhindern die
Einheitsfactoren das Auftreten solcher Glieder, welche sich nachher
wegheben , wodurch viel unnützes . Rechnen erspart* wird. — Die sonst
üblichen Beweise folgen weiter unten in modificirter Gestalt.

62, Es sei eine Reihe extensiver Grössen /i . . . A aus einer
anderen Reihe extensiver Grössen x^. . . Xn mittelst der Zahlen
a abgeleitet, sodass z. B.

(14) fp = ttpi Xi + ap2X2'\ h Opn Xn.

Femer seien die Grössen x^ . . . Xn aus einer dritten Grössen-
reihe 2/1 • • • J/n mittelst der Zahlen ß abgeleitet, sodass z. B.

(15) a?g = /3jl yi + /^gS y2 H h ßqnVn.

Ersetzt man nun in Formel (14) jedes x durch seinen aus
der durch (15) repräsentirten Gruppe genommenen Werth,
so folgt:

fp = {f^plßll + ^p2ß21 + • h CCpnßn\)yi

+ {pCpißxi + a|>2^22 + • • • + CCpnßn2)y2

+

+ (<Xpißin + a|,2^2n + • • • + ^pnßnf^Vn}

oder, wenn man

(16) Tpx = api ßix + ap2ß2x-\ • + CCpn ßnx

setzt:

(17) fp^ypiVi+ypiVi-i V-rpnVn^

Bildet man nun die Producte der durch die Formeln (14) (15)
(17) repräsentirten Grössen, und bezeichnet die aus den
Grössen aßy bestehenden Determinanten resp. miiJa^ß^yj
so folgt:

(/i • • • /«) = ^a{x^ . . .a?n)5
(18) « (a?! . . . Xn) = dß{y^ * ' -yn)]

ifi ' " fn) = ^riVi •••»«)•

— 131 —

Aber durch algebraische Multiplication der beiden ersten
Reihen folgt:

(/i • • • fn) = ^a . ^ßiVi . . . y»),

folglich mit Rücksicht auf die dritte Reihe:

(19) Z/a.^^ = Z/y,

Diese Formel drückt, verbunden mit der Bedingung (16)
wiederum das Multiplicationsfheorem aus, für welches somit
in kürzester Form ein zweiter (bekannter) Beweis erbracht ist.

Das System der Grössen a heisst das Originalsystem, das-
jenige der Grössen y das transformirte System, Ferner ^a
die Determinante des Original-, z/y diejenige des transformirten
Systems, z/^ endlich Modulus der Transformation {Suhstitutions-
determinante).

Wir betrachten nun den besonderen Fall, dass die Grössen 63.
y ein System normaler Einheiten bilden (vgl. „Raumlehre"
Nr. 152). Dann ist

(20) (2/i...y«) = i; (yp|yp) = i; (yp|2/«) = o.

Es sei nun in (18) l^ . . . 5n derjenige Grössenverein,
welchen man aus x^ . . , Xn erhält, wenn man in der Deter-
minante -^^ die Horizontal- und Verticalreihen vertauscht.
Dann ist z. B.:

= ßlp yi + ß2py2 -\ h ßnp Vn 5

(21)

ßiqVi + ß2qy2 + • • • + ßnqyn-

Folglich , mit Rücksicht auf (20)

{lp\iq) = ßip ßlq + ß2pß2q'\ h ßnp ßnq

(Spiy =^ßlp + ßlp-^ h ßlp •

Nehmen wir noch an, dass auch die Grössen § ein Normal-
system bilden, so wird (Si^lSj) =0; (Si)|li>) = 1; mithin ist

(22) ß^pß,, + ^2^/32, + ... + ßnpßnq = 0;

(23) ßl + ßl + '" + ßlp-^'
Wenn man nun die Gleichungen:

;xi = ßiiyi + ßi2y2 + ' ' ' + ßmyn]
o(^2 = ß2iyi + ß22y2 + • • • + ftn2/«;

(24)

Xn== ßniyi + /3n2 2/2 + • • • + ßnn yn

9*

— 132 —

der Reihe nach mit den Zahlen

ßlp P2p • • • ßnp

multiplicirt, und dann addirt, so folgt:

ßlp Xl + ß2p 0(^2 + ' ' ' + ßnp OCn
= {ßilßlp + ^21 ß2p-\ h ßnlßnp)yi H

+ ißlp + ßlp+"' + ßlp)yp+'-

oder, da der Coefficient von ifp nach (23) gleich 1, und die
aller übrigen y nach (22) gleich sind:

(25) yp = ßlp Xi + .ß2p Ä?2 H yßnp Xn •

Multiplicirt man alle in dieser Formel enthaltenen Ausdrücke
mit einander, so folgt:

(2/1 •• • 2/») = ^/S(^l . . . a^n).

Andrerseits ist nach (18)

Durch algebraische Multiplication dieser Gleichungen erhält
man

(26) • (z/^)2 = 1 .

Bildet man endlich aus (24) die Ausdrücke a?~, x^ , . , x^
und addirt, so folgt:

oder, da die Coefficienten aller y nach (23) gleich 1 sind:

(27) o^+xf-] h^ = 2/f + yfH l-yf"-

Wenn also zwischen den Elementen der Substitutionsdeter-
minante die Gleichungen (22) und (23) bestehen, so ist das
Quadrat dieser Determinante gleich 1 (26) und zwischen den
du/rch sie verbundenen extensiven Gr'össenreihen der x und y
bestehen die Gleichungen (27). Da die Vereine der Grössen y
und S Normalvereine sind, so heisst die Substitution, durch
welche der Verein f aus der Abhängigkeit von dem Vereine x
in diejenige von dem Vereine y übergeht: normale {orthogo-
nale) Substitution.

In den Formeln (22) bis (26) können die Grössen x und y
auch Zahlen statt extensiver Grössen vorstellen. Dann ver-

(28)

— 133 -

wandeln sich in (27) die inneren Quadrate in numerische,
und die Formeln drücken bekannte Beziehungen zwischen
Zahlengleichungen aus.

Sei 64.

\ 1 2/ * * •
^2 "^^ ^21 ^1 ~r ^22^2 7 2/2 ^^ P21^1 "T P22^2 )

Dann sind die inneren Producte (^J 2/1)7 (^ilj/2); (^2|yi); (^21^2)
Zahlgrössen. Sei ferner:

^1 = (^1 12^)^1 + (^2l2/i)^2 = ^i(l 2/1^1) + ^2(1^1^2) ;
H = (^1 12/2)61 + (^2 12/2)^2 = ^1 (12/2^1) + ^2 (1^62) •

Dann erhält man durch Ausrechnung der Klammern in den
Ausdrücken rechts:

^1 == — a?, ^11 ^2Pl2 5

^2 ^^ "~ ^ir21 %P22?

daher :

(^1^2) = (^1^2) (/5ll^22 - /*12/32l)
= (^1^2)1(2/1^2)-

Es ist nämlich z. B.

(|2/i6l) = ^llki-6| +/5i2[e.^.6i =— /^ii^iki— /5l26l|62;

also, da e^l^i = 1; ejßj = ist: (l^i^i) = — /Sn« Ferner
erhält man durch Multiplication von \y^ mit \y^^ (welches Pro-
duct nach „Raumlehre" 143 gleich |(t/iJ/2) ist) ^i\^ii — ^\i^i\'

Die eben gefundene Formel kann, wie man sieht, sofort
erweitert werden auf n Grössen x und n Grössen y, welche
aus den n Einheiten e, . . . e„ abgeleitet sind.

Wenn also

fa?i = a^ei + a,2e2H |-«l»6n5 2/l=/5liet+/3l262H f-/^ln«n;

^2='^2i^i + ^n^2'\ f-«2«e«; y2=ß'nei + ß22^2-i h/^sn^n;

a?» = «niei + a»2^2H 1-^»'*^»? yn = ßniei-j-ßn2e2-\ \-ßnnen,

\ß\ • • . 6n) *— • l ;

so ist

(29) (a;^!«/^) .=*= «^.113^1 + «^2/^52+ • • • + ^pnßqn-
Wenn dann

(30)

- 134 —

f^i = (^1 \y\)^i + (^21^1)^2 -I h i^n\yi)en]

^2 = (^1 I 2/2)^1 + (^2 1^2)^2 H h (^n I 2/2)^«;

gesetzt wird, so ist nach der Verallgemeinerung der Formel

(^1^2) = (^1^2)1(2/12/2)

(31) (^1^2 . . . ^«) = (^li»2 • • • ^n)|(yiJ/2 • • • 2/«).

Da die drei Producte dieser Formel wegen der Annahme
(e, . . . Cn) = 1 Zahlgrössen sind, nämlich gleichbedeutend mit
ihren Determinanten, so geht die innere Multiplication auf
der rechten Seite in die algebraische über, und die Formel
(31) stellt wieder das Multi^Ucationstheorem dar, für welches
hier in abgekürzter Form ein dritter (bekannter) Beweis ge-
liefert ist.

AnmerkuDg. Die directe Verwandlung der linken Seite von For-
mel (31) in die rechte erfordert noch die Entwickelung einiger Hilfs-
formeln, und ist in Grassmann's „Ausdehnungslehre** II. Nr. 175 nach-
zusehen.

Wenn in den Formeln (28) überall « statt ß gesetzt wird,
so ist allgemein i/^= iTp ; aus Formel (29) erkennt man, dass
in diesem Falle

ist, und Formel (31) nimmt die Gestalt an:

(32) (Xi X^. ,. Xn)- ={ß^8^.,, Zn).

Eine Determinante, in welcher das Gesetz gilt, dass apq^= a^p
ist, heisst symmetrische Determinante, In einer symmetrischen
Determinante sind also die Horizontalreihen der Reihe nach
identisch mit den Verticalreihen. Formel (32) drückt nun den
Satz aus : Das Quadrat einer jeden Determinante ist eine sym-
metrische Determinante, — Für p = q nimmt Formel (29) noch
die besondere Form an (die man auch unmittelbar aus (28)
erhält) :

(33) ^/ = %i+«^2-| f- «^n-

Eine Determinante, in welcher apg = — aqp ist, kann con-

gruente Determinante genannt werden (gauche symmetrique).

Wenn in jedem Element einer Determinante der hintere

- 135 —

Index als Exponent geschrieben wird, so heisst die Deter-
minante aUernirende Function, — Die Ableitung der Eigen-
schaften aller dieser Specialformen ist für den Zweck dieses
Buches nebensächlich.

3. ünterdeterminanten.

Ersetzt man in dem äusseren Producte {x^, , , Xn) (worin 65.
x^, . . . Xn die in den Formeln (1) gegebenen Bedeutungen
haben) einen Factor, z. B. Xp durch seinen Werth

SO erhält man:

( Otc I \**^1 • • • ^n) ~~~ ^p 1 \P^\ • • • ^1 • • • Xfijp -^ CCp 2 \X\ • • • Co • • • Xfijp

-j- • • • -j- (Xpn [X^ , ., 6n • • • Xnjp y

worin der bei jedem Product stehende Index p die Stellung
des Factors e in diesem Producte angiebt.

Die durch ein solches Product dargestellte Determinante
heisst Unterdeterminante zu (a?, . . . Xn)* Man erhält ihren
Äusdruch, indem man in dem gegebenen Froducte irgend einen
Factor durch irgend eine Einheit ersetzt Da man dies auf n^
verschiedene Weisen thun kann, so giebt es n^ solcher Unter -
determinanten.

Da die linke Seite von (34) ungeändert bleibt, wenn man
alle vorderen mit den hinteren Indices vertauscht, so muss
auch die rechte durch dieses Verfahren ungeändert bleiben;
d. h. man hat:

( oOj \p^i • • • *^n) ^^^^ ^lp\>^{ • • • ^p • • • *^n)i ~r" ^2p\Xi • • • Cp • • • Xnjo

"l • • • "|~ *^np \p^\ • • • ^p • • • Xfij fi»

Die allgemeine Form einer ünterdeterminante ist

Anstatt den Factor Xp durch die Einheit Cq zu ersetzen, kann

man , . indem Xp als Function der unabhängigen Variablen

Opi, ... Kpn betrachtet wird, Xp nach^cij^j diflferentiiren. Dann

ist

dxp

d OLpq ^'

Und anstatt in dem Producte {x^ . , . Xn) den Factor Xp weg-
zulassen, um nachher an seine Stelle e^ zu setzen, kann man

— 136 —

dieses Product, indem es als Function der unabhängigen Va-
riablen x^j , . , Xn betrachtet wird, nach Xp dijBferentiiren.
Demnach ist

y N d(Xi ...Xn) dXp d(Xi... Xn)

Mithin ist eine Unterdeterminante gleich dem Differential-
quotienten des äusseren Productes nach irgend einem Elemente.
Jedem Elemente der Determinante entspricht somit eine Unter-
determinante, und wenn wir die zu Upq gehörige mit dpg be-
zeichnen , so ist demnach

/Q/»\ dl X\ . . t OSn) / \

i^ÖO) ^pq = cÜ^ =1^1 • • • ^(Z • . • ^n)p .

Das System der Elemente a heisst adjungirt demjenigen der
Elemente a, und die aus den ersteren gebildete Determinante
redprok zur Determinante der Grossen a. Wenn daher

gesetzt, und die Determinante der Grössen a mit Ja bezeich-
net wird, so ist

l(5j • . • §n) = «"a \ß{ • • • ^n) •

66. Setzen wir den Werth (36) in (34) ein, so folgt:

(38) (a^i . . .a;»)==apiapi + ccp^^p^-^ — • + «pnCip».

Setzen wir nun in dem Producte {x^, . . Xn) den herausgenom-
menen Factor Xp einem anderen, darin vorhandenen, Xq gleich,
so wird einerseits das Product gleich Null (Nr, 60) ; andrer-
seits erhält jedes a statt des Index p den Index q, während,
wie aus Formel (36) hervorgeht, jedes a den seinigen behält.
Wir erhalten also:

(39) = a^^ia^i + «52(1^2 + . . . + ccqndpn'
Multipliciren wir jetzt die Gleichungen (37), so folgt:

{Xi ,..Xn){^i... g„) = (ßi... Zn), (31);.

Zp = {x^\i,p)e^ + (p02\ip)^2 H H (a?»|lp)e« (30).

Nun ist aber

{Xq\ip) = CCqiapi-\-aq2(Xp2-\ \- CCqn^pn= (39)

{^P%) = «i>iCii,i + «i»2ap2H ]'^pn^n = {x^...Xn) (38);

— 137

also

0p — \X^ . . . Xnj 6p — Zf a 6p
(^1 . . . 0n) = (^a)" (^i . . . e„) ;

demnach mit Rücksicht auf (37)

oder:

(40) z/a = i^aY-' ;

d.h.: die Reciprokaldeterminante ist die {n—\)te Potenz der
ursprünglichen Determinante,

Multiplicirt man die Formeln

(1)

*A/c,

«21^1 + «22^2 + • • • + «2nö»

der Reihe nach mit aip, as^a . . . a„p, und addirt, so wird der
Co^fficient von 6p nach (38) gleich ^„^ während diejenigen
aller übrigen e nach (39) gleich Null sind. Man erhält also :

(41) ^a . ßp^ CllpXi -f- a2i,a?2 + • ' • <^np(X^n]

oder :

^a . 61 = aiiiTi + a2ia?2 H h ani^Cn;

f42^ ^" ' ^^ "^ ^^^^^ + Cl22^2 + h Cl«2i»n;

Bezeichnet man nun mit üpq die Unterdeterminanten von z/a,
sodass zwischen den Grössen a und a dieselben Beziehungen
bestehen, wie zwischen a und a, und multiplicirt die Glei-
chungen (42) der Reihe nach mit api, ap2* * - dpn, so erhält
man ähnlich wie vorher:

(43) J^,Xp= Ja{apiei + «^2^2 + h (^pnen)y

oder mit Rücksicht auf (40)

z/a'»-^ . Xp = apiei + «^2^2 + • • • + apnen.
Nun ist nach (1)
-^«^-^ . Xp = z/a«-2«p iCi + /l^-^ap^e^ -I (- z/a«~^ «i,«e»;

durch Vergleichung der letzten Formeln ergiebt sich (da zwi-
schen 6); . . . ß„ keine Zahlbeziehung existirt):

— 138 -

Mittelst dieser Formel sind die Unterdeterminanten der
ßeciprokaldeterminante durch die ursprüngliche Determinante
ausgedrückt.

Ersetzt man in dem Producte (x^,». Xn) fn Pactoren durch
ihre Werthe, und führt die Multiplication aus, so wird das
Product als Summe von n^ anderen Producten dargestellt.
Jedes dieser Producte stellt eine Unterdeterminante m. Ordnung
vor. Die Behandlungsweise dieser Grössen ergiebt sich aus
dem Vorhergehenden ohne Schwierigkeit; sie gewähren für
die hier gewählte Darstellung kein neues Interesse, und wer-
den daher übergangen.

4. Anwendungen auf die Theorie der Gleichung^.

67. 1) Auflösung eines Systems von n linearen Gleichungen
mit n Unbekannten. — Erste Methode. Die Gleichungen seien :

«11^1 + «12^2 + • h «l«^n = ßx

«21^1 + «22^2 + • • • + «2ni»« = ß^

CCnlXl + CCn2X2 + ' ' ' + CCnnOl^n = ßn*

Multiplicirt man die Gleichungen der Reihe nach mit e^ ßj • • • ^n,
und addirt, so folgt, wenn wir

ccipCi + a2pe2 + • • • + ccnpen = a^
setzen :

^1^1 + ^2^2 + • • • + <^nXn = Jb-

Multipliciren wir diese Gleichung mit (aia2 . . . a^— laj^+i ... a«),
so kommt links nur das Glied dpXp zur Multiplication, weil
alle anderen Producte Null werden, und man erhält:

•-{- Xp ^a = bCli . . . aja-iOja + l . . • Cl»

oder

zw, I (bell ... Op — l Äp-f-l ein)

«i- = ± — — ^;

Anmerkung. Dem Wesen nach stinmit diese Methode (die schon
in Grassmann's Ausdehnungslehre I. § 45 u. II. § 134 steht) mit der be-
kannten Determinantenmethode überein. Nur beruht sie wieder auf
erheblich einfacheren Betrachtungen als diese. Es kommen keine Unter-

~ 139 —

determinanten zur Verwendung, mithin brauchen die Formeln (38) und
(39) nicht vorausgesetzt zu werden. Statt mit ünterdeterminanteu wird
hier mit Einheiten multiplicirt, in der Lösungsform endlich stellen sich
die Zahldimensionen von Zähler und Nenner auf den ersten Blick dar.
Historisch ist zu dieser Methode zu bemerken, dass dieselbe in
Frankreich von Cauchy (1853), welchem Grassmann vorher sein Buch
übersandt hatte, als eignes Erzeugniss unter dem Namen „clefs algä-
briques" in den Comptes rendus veröffentlicht wurde (vgl. a. a. 0. II.
S. IX u. 107, und Grelles Journal Bd. 49. S. 123). Manche haben in
Folge dessen die gesammte Ausdehnungslehre mit dieser Methode für
identisch gehalten (S. z. B. Jahrbuch üb. die Fortschritte der Mathem.
Bd. 3 (1871) S. 306, woselbst auch, wie hier gleich bemerkt sein mag,
die weitläufigen Rechnungen , welche die Umformung eines planimetri-
sehen Productes in eine Coordinaten- Gleichung erfordert, irrthümlicher-
weise für wesentliche Bestandtheile der geometrischen Untersuchung
gehalten worden sind).

Zweite Methode, Die Gleichungen seien
«10^0 + «ji^i + • • • + «m^n = 0,

«20^0 + «21^1 H • + ^^nXn = 0, ^ _ .

Xq 1.

«nO^O + ««1^1 + • • • + f^nnXn = 0.

Jede dieser Gleichungen, z. B. apo^o+ «p i ^i + • • • + ^i>»^« *= ^
ist das Product von zwei Gleichungen:

(^ol^o) + (^1 l^i) H h (^n|e„) = y; . ^ __ 1

I I f i» v^o • • • ^»/ — *"

CCpO^O -f- CCpiei + • • • + CCpnen = Ppj •

sodass also

ßpy = o

in Verbindung mit den heiden vorhergehenden Gleichungen
das gegebene System ersetzt. Da y, mit jeder der n Grössen ß
multiplicirt, Null giebt, so ist das äussere Product dieser
n Grössen, nämlich (/8j . . . ßn) ein Factor von y. Dieser Factor
ist eine Grösse n. Stufe; aber auch y ist aus Grössen w. Stufe
(|6!p = + ^Q^j . . ep^iep+i . . ßn) linear zusammengesetzt, also
selbst eine Grösse n. Stufe; demnach kann der noch übrige
Factor von y nur eine Grösse 0. Stufe, d. h. eine Zahl (A)
sein; man hat also:

y = l(ß^ . . . /3„).

Nun folgt aus dem oben gegebenen Ausdruck für y

- 140 -

weil (CoIöq) = 1; (^olCp) == ist^ daher, weil «j = 1 ist:

Aeo(/5, . . ./3„) = 1;
1 _ 1

6o Pi . . . pn

Ferner :

mithin

^ (eo Pi . . . jJn)

Anmerkung. Diese Lösung gab Grassmann in der Ausdehnungs-
lehre II. Nr. 134. Sie ist in mancher Hinsicht noch einfacher als die
vorige , und zeigt ebenso wie das Multiplicationstheorem , dass auch die
innere Multiplication sich mit Vortheil' auf algebraische Aufgaben an-
wenden lässt.

68. 2) Bestimmung der Besultante eines Systems von n homo-
genen linearen Gleiehungen mit n Unbekannten. — Eliminirt
man ans einem solchen System die Unbekannten^ so heisst
die zwischen den Constanten übrig bleibende Gleichung die
Besultante des Systems (auch wenn die Gleichungen nicht
linear sind).

Man erhält ein solches System , wenn man in den Glei-
chungen zu Anfang voriger Nr. /3j = /Sj = • • • = /5„ = setzt.
Dadurch werden die Gleichungen homogen; man kann eine
der Unbekannten, etwa Xp=^\ setzen, es wird dann identisch
b = 0, und die Gleichung

+ Xp . /da = b . Clj . . . Cl^^lClj9-|-i ... An

geht über in

Dies ist die gesuchte Resultante. .

69. 3) Elimination der Unbekannten y aus den beiden Glei-
chu/ngen

«0 + a^y + a22/2 -j 1- a.ntf^ = ;

^ + &i y + hy'^ H h &» 2/" = ;

worin a und b Functionen einer anderen Unbekannten, oder
Constanten sind. —

a) Sylvesters Methode, — Man multiplicirt die erste Glei-
chung mit 1, y, y^, . . . jr~S die zweite mit 1, y, J/^ . . . y"*""^
und erhält:

— 141 —
aor~' + +«my''*"^«"-^ = 0;

6or-'+ +&„r+"-' = o.

Aus diesen m + w Gleichungen können nun die m-i-n — 1 Un-
bekannten jfy y\ . , . y^+^—^ auf zwei verschiedenen Wegen
eliminirt werden, welche den unter 1) angegebenen Methoden
entsprechen.

a) Elimination mittelst äusserer Midtiplication. — Man
multiplicirt die m'\'n Gleichungen der Reihe nach mit den
m-^-n Einheiten e^, €2, . . . em+n) und addirt. Setzt man dabei

amen "Y" Onerri'^n Wm+»>

SO erhält man:

und durch Multiplication mit {u^u^ . . . Wm+n)

welches die verlangte Gleichung ist.

ß) Elimination mittelst innerer Multiplication, — Seien
e^e^ ... em^n-i die anzuwendenden Einheiten (deren Product
gleich 1 ist), so zerfällt jede der m + n Gleichungen in das
Product der Gleichung

mit einer der Gleichungen

— 142 —

^0^1 + i^l^2 + • • • + &«-l^n + hnCn+l = C?j

sodass also

CpZ = dpZ =

ist. Da nun die m-\-*n Grössen Cq, . . . c„— i, d^y . . , <?m-i
aus m + n — 1 Einheiten abgeleitet sind, so wird, wenn man
das äussere Product dieser Grössen bildet, in jedem Gliede
ein Product von m-^-n Einheiten auftreten; es muss also eine
Einheit zweimal darin vorkommen; in Folge dessen ist jedes
dieser Produete, mithin auch das ganze Product Null, und

\ 1 • • • ^n — 1 ^0 1 • • • ^tn—Lj *^^ ^

ist die verlangte Gleichung.

Anmerkung. Die beiden unter a) gegebenen Methoden stehen
in Grassmann's Ausdehnungslehre I. § 93 und II. § 136. — Beide Metho-
den geben eine Determinante von m-\-n Reihen^ welche sich durch
Ausführung der Multiplication auf das leichteste in ein Polynom ver-
wandeln lässt. Man bemerkt bei einfacheren Beispielen, dass dieses
Polynom sich rückwärts in eine einfachere Determinante verwandeln
lässt. Die directe Herstellung derselben wird nachher gezeigt.

70. Durch Betrachtung der eben gefundenen Gleichung er-
giebt sich, wenn a und h Constanten sind, unmittelbar der
Satz:

Die Resultante zweier Gleichungen vom m. resp. n. Grade
mit einer Unbekannten ist vom n. Grade in den Coeffidenten
der ersten, vom m, in denen der zweiten Gleichung.

Um die letzte Gleichung als Polynom darzustellen , gehen
wir aus von dem Gliede a^^ {e^ . . . Cn-xj'bn^ (e„ . . . e^+n— i)
oder ao'*6«'^. Da von den n ersten Factoren des Productes
(Cq . . . dm-x) nur der erste Cqj nur die beiden ersten e^, etc.
enthalten, so muss jedes andre Product aus den n ersten
Reihen (ausser ao"(^o • • • ^»— i)) ^^^ fehlenden Factoren e aus
den letzten m Reihen zur Ergänzung erhalten. Ersetzen wir
also in dem Gliede aQ^hn^ den Factor «q»* durch ani"*, so muss
der Factor b^^^ hinzugefügt werden (s. die Ausdrücke für Cq,
Cj, . . . in voriger Nr.). Demnach kann der Factor 6„ nur
noch m — n^ mal in dem Gliede vorkommen, und dasselbe

- 143 —

lieisst a-ni^'bn^-'^^'bQ^^. Nun kann man den Factor h^^^ üni^
dieses Productes ebe;aso behandeln , "wie a^^ 6«*" u. s. f. Wenn
dann ^2,^3,... neue beliebige Zahlen (für a zwischen und
m, für 6 zwischen und n) bedeuten, so erhält man der
Reihe nach die Bildungen:

Summe der Indices:
alt 6"^ mn

n nl

/7W — n2 Jim — nl /7n2 7)nl
^»l •% '% ^n2

"knl — nS /yti — »2 Jjw — »1 7)n3/7n2
^«2 • %l '^n '% %3

w, ^2 + (^^ — ni)n-\-{n — ^3)^1

^2^3+ (^~~^i)**~f" (^""^2)^1 + (**i"~ ^3)^2-
Im Allgemeinen ist also die Summe der Indices gleich

npnp+i-{- (m — n{)n + (w — Wj)^! + (n^ — ^3)^2 H

+ (wp_i — np+i)np = mw.

Da man nun durch die eben beschriebenen Bildungen alle
Glieder des Polynoms finden kann , so ist der Satz bewiesen :

In der Resultante zweier Gleichungen vom m. resp. n. Grade
in y

is^ c?i€ Summe der Indices in jedem Gliede gleich mn.

Setzt man y = —^ so lauten diese Gleichungen, nachdem

sie mit u^, resp. u^ multiplicirt sind:

aot*'" + «t^"*"^ + %**"*~^ + • • • + »m = 0.
6o«*~ + &i«*"~"^ + 62«***-^ H h *n = 0.

Sind nun ap und &^ homogene Functionen p. Grades von
zwei Variablen x und 0, so sind die beiden Gleichungen selbst
homogen, und aus dem letzten Satze folgt, dass die Resul-
tante eine homogene Gleichung vom Grade mn zwischen den
Variablen x und sein wird, oder, wenn man 0=1 setzt:
eine Gleichung in x vom Grade mn. Man hat also den Satz:

Eliminirt man aus zwei Gleichu/ngen m. und n, Grades
zwischen zwei Variablen die eine derselben, so ist die Resul-
tante eine Gleichung vom Grade mn in der anderen,

b) Modification der Bezout-Cayley' sehen Methode. — Man 71.
kann annehmen, dass die beiden Gleichungen denselben Grad

— 144 —

haben ^ da man nur in einer derselben die Coefficienten der
höchsten Potenzen gleich Null zu setzen braucht; um den
andern Fall herzustellen. — Man multiplicirt die beiden
Gleichungen

^« = «0 + «1 2/ + «22/^ H h «n^ == 0,.

■B« = &0 + ^1^ + hy^ H h iny" =

resp. mit &q und a^^ und subtrahirt^ so folgt:

Diese Gleichung ist durch y theilbar, also nach der Division
vom Grade n — 1. — Denn multiplicirt man die gegebenen
Gleichungen resp. mit bn und a»; und subträhirt, so folgt:

bnAn — ünBn = 0.

Diese Gleichung ist ebenfalls vom Grade (» — 1). Ebenso
wie y^ wird man nun auch y*»~^, y"~"^ • • . eliminiren, und
schliesslich eine Determinante, von vier Elementen erhalten;
von denen jedes ein aus den Coefficienten der Gleichungen
zusammengesetzter Ausdruck ist. Man kann ferner auf jedem
Punkte der Elimination in die Sylvester'sche Methode über-
gehen; und dadurch Determinanten von grösserer Elementen-
zahl erhalten.

Anmerkung. Beispiele :

1) ao + ötiy + «2^* = ; 6o + ^iV + &23/* = 0. — Man erhält:

&o(öi + a^y) — ao(&i + hy) = ; hzioo + a^y) — ««(^o + hv) = 0;
oder:

(ftoöi^aoW + {hfht — aMy = 0; (&aao — «2&0) + (^2«i — ««^)y = 0.
und hieraus:

2) «0 + «ly + ««3/* + <hy^ = 0; 60 + b^y + hy^ + b^y' = 0. -
Man erhält:

&o(a, + <hy + «sy*) - aoibi + hiy + h^y^) = 0;

&8(«o + «ly + «2^*^) — «3(^0 + b^y + hy^) =« 0;
oder:

(60«! — «o&i) + (&o«2 — a^b^y + (&o«8 -- «o&s)!/* = 0.

(&jao — aa&o) + (&3«i — «s&Oy + (&s«2 — 0362)2/' = 0.

Setzt man nun im Resultate der vorigen Aufgabe statt aQa^ajfiQb^h^
resp. die Coefficienten der eben erhaltenen Gleichungen , so erhält man
die Resultante in Gestalt einer viergliedrigen Determinante.

- 145 —

4) Die FuncHonäldeterminante eines Systems van p he- 72.
liebigen Gleichungen mit p Variablen.
Die Gleichungen seien

Setzen wir nun

(2) a; = rc, ß, + ^2^2 + * • • + ^p^p ? (^i ^2 • • • ^p) *= 1 5
so ist

(Ol \öc Bt j =^ x* I ix en) — — Xn 5 • • • (3/ ep) — — ^ 37« •

. Setzen wir diese Werthe von x^, x^, . - . Xp in (1) ein,
so sind die Grössen y als Functionen einer einzigen extensiven
Variablen x ausgedrückt, d. h. es ist

(4) y^ = F^(x)', y^ = F^{x); ...yp^Fp(x).

Setzen wir ferner

(5) y = yi|ßi + 2/2^2 H l-yp^p;

80 ist

(6) y = F,(x)\e, + F,(x)\e,--{- • • • + Fj,(x)\e,;
mithin ist auch y als Function^ von x ausgedrückt, oder:

(7) y = F(x) .

Es ist also das System der Gleichungen (1) durch eine ein-
zige Gleichung ersetzt. Aus dieser kann man das gegebene
System wiederherstellen mittelst der Formeln:

(7a) (j/ er) = yr ; F{x) er = Fr {x) ;

Wenn wir nun die Gleichung (5) nach x„ x„ . . . x,
differentiiren , so folgt:

(8)

dy __dyi_. I i^y?_u j L^

^i + "w^ K2 ■+-••• + -T:;r I ^.

dx^ dXft ' ^ "^ rfiCa ' ^ "^ da?! ' ^'

ilL__^l. ^ .^Jtl. J L J^

= ^kt + ^J^2+--- + ^k.

Die durch das äussere Product der Gleichungen* (8) ge-
bildete Determinante heisst die Functionaldetermina/nte des

Schlegel, Elemente. 10

— 146 —

Systems (1). — Sie lässt sich noch in einfacherer Weise aus-
drücken. Es ist nämlich:

dy dy dx

oder, da nach (2) —. — = Cr ist:

dxr dx . dxr '

Ix

dXr

xQv dy dy .

^ ^ dxr dx ***

Es ist also -^ eine Grosse, welche, mit e^, ^2» • • • ^p multi-

dy

plicirt, der Reihe nach die Grössen -r^ , -^ i • • • ^
^ ' dx\ ' dx^ ' aajp

hervorbringt, d. h.:.-^ ist ein Quotient in dem in Nr. 41

festgestellten Sinne. Wir können also nach der dortigen Be-
zeichnungsweise schreiben:

dy dy dy

(y(\\ dy dXi ' dXjt ' dajp

^ ^ dx Cj, 62, .... ßp

Das äussere Product der Zähler eines Quotienten, dessen Nen-
ner das System der ursprünglichen Einheiten ist, ist aber der

Potenzwerth des Quotienten, und wird hier durch (^^) zu

bezeichnen sein.

Demnach ist die Fundionaldeterminante des Systems (1)

gleicK dem Fotenzwerthe [^ -) des Quotienten (10).

\ CL X y

Wenn y\y y^y > " Vp säramtlich Functionen 1. Grades sind,
so verwandelt sich die Fünctionaldeterminante in eine gewöhn-
liche Zahlendeterminante. (Vgl. die Ausdrücke {Ä^) und {A^)
in Nr. 41 u. 42.)
73. Besteht zwischen 2/1 , 2/2 > • • • 2/p ^^^® Gleichung

Vr = 9(^1 } Vif • • • Vr-l , 2/r + l , • • • J/p),

so ist

da;« dt/i da;« ' dyj dxs "r ' ' ' t' ^y^ • ^-^^ i

also ist nach (8):

dxs ~ ^dxs ^!^« + dy, l^''^' ^ d.r., ^"2 + rfy^ \^r) -h

+ d^(!^-p)+ dyt l^'-)'

- 147 -

d. h.: die p Grössen -^-y -^— , • • • -^- sind aus den (jp — 1)

extensiven Elammergrossen abgeleitet. Da nun in jedem Pro-
duct von ß Pactoren, welches aus {p — 1) Grössen gebildet
wird; irgend eine Grösse zweimal als Factor erscheinen muss^
so ist das äussere Product jener jp Grössen gleich Null. Man
hat also den Satz: Wenn zwiscTnen den Fundionen des Sy-
stems (1) eine Gleichung besteht, so ist die Functionsdeterminante
des Systems gleich Null.

Wenn im umgekehrten Falle die Functionsdeterminante
Null ist, so muss zwischen den Factoren des äusseren Pro-
ductes eine Zahlbeziehung existiren. Dieselben müssen sich
also aus weniger als p Einheiten ableiten lassen, und da sie
Ableitungen von y sind, so muss dasselbe mit y selbst der
Fall sein. Diese Beduction ist, wie aus (5) hervorgeht, nur
dann möglich , wenn entweder zwischen den Grössen | e oder
zwischen j/^, ^2^ . . . yp eine Zahlengleichung existirt. Und da
der erste Fall gegen die Annahme ist, so bleibt nur der
zweite übrig. Es gilt also auch die TJmkehrung des oben aus-
gesprochenen Satzes.

Anmerkung. Man beachte, dass alle, die Functionsdeterminante
betreffenden Aurführungen in Geltung bleiben, wenn man nicht
y ^^ yi\ei-\-' ' • etc., sondern y = yi^t + 3/2^» -f* • • • ßtc. setzt.

Sei

(11) ^i=9i(yf-yp); ^2=9>2(»i---yi'); --^i»— 9p(yi---yp)5
(1) yi=/i(^i •••^j>)) 2/2=^/2 (^1 ••• •^p) 5 • •!(p=/p(^i •••^p)-

Wenn wir nun die Functionaldeterminanten beider Sy-
steme mit einander multipliciren, so erhalten wir nach Nr. 62
Formel (16) eine Determinante, deren Elemente die Form
haben :

dyi ^ dzx_ , dyi dzx 4_ , . . 1 ßyp , dg»
dxr dyx "^ dxr dy^ ' "" dxr dyp

Dieser Ausdruck ist aber gleich

dz

X

dXr '

folglich ist die Determinante, welche aus diesen Elementen

besteht, die Functionsdeterminante des Systems, welches aus

(11) und (1) durch Elimination der Grössen y entstehen würde;

10*

— 148 —

mithin ist unter der Voraussetzung, dass die Gleichungen (11)
und (1) bestehen:

m m - m ■ m

In Worten: Wenn das System (11) durch die Suhstitutionen (1)
transformirt wird, so ist die Fundionsdeterminante des trans-
formirten Systems gleich denp Froducte aus denen des gegebenen
und des transformirenden Systems, (Von dieser Transformation
ist die in Nr. 62 behandelte ein specieller Fall.)

Sind die Grössen x^ . . . Xp der Reihe nach identisch mit
z^ , . . Zpf so sind auch x und z identisch, sobald sie nur aus
denselben Einheiten e^ . . . Cp abgeleitet sind; und Formel (12)
geht über in

Da der Potenzwerth eines Quotienten wirklich die Be-
deutung einer algebraischen Potenz hat (vgl. die Anmerkung
am Schluss von S. 76); so ergeben sich die Formeln (12) und
(13) ganz einfach auch dadurch, dass man das System (11)
durch z = 0(y); und (1) durch y = F{x) ersetzt. Denn es
ist dann

dz dz ■ dy ^ dy dx ^

dx dy dx ^ dx dy '

\dx J " \dy J \dx J ^ \dxj ' \dy J ~ '

Es seien /*t,/*2, . . • /p homogene Functionen r. Grades der
Variablen a?j, äJj, . . ., und F^, F^, . .- Fp dieselben Functionen,
ausgedrückt durch die extensive Variable x. Setzen wir dann

dFs -p^

' ~d^~-^''
so ist

X .F,^r .F,.
Multipliciren wir beide Seiten dieser Gleichung mit

ZT" XT" 77" TT'

J: ^ . , , JJ s — l • -P 5+1 • • . ^ JDJ

SO folgt:

X . F^ F\ . . . Fp = r » Fft . F\ . . . Fg—i . F g^i ; . . F'p,

Setzt man hierin s nach und nach gleich l,2j,.,p, und
addirt alles , so folgt:

— 149 —

Sind nun die Functionen F^, F^y . . . Fp gleich Null, so ist
auch {F^ F\ . . . Fp) = 0, d. h. : Die Werfhe der Variablen,
welche einem System von p homogenen Gleichungen r. Grades
genügen, machen auch die Fu/nctionaldeterminante dieses Sy-
stems gleich Null,

Durch Differentiation der letzten Gleichung nach x erhält
man noch:

p(F^ F\.,. Fp) +p X (F\ F^... FpY

^r[p(F,F,...Fp)+F,{F,..,Fpy-\^F,{F\F,...Fpr+^^^

-\-Fp{F\.,.F'p^iy'].

Wenn also F^.= F^^ ---Fp = 0, so ist nicht nur (F^ Fj • • •
Fp), sondern auch (F\ F\... Fp)' = 0; d. h. : Dieselben
Werthe der Variablen machen auch die nach den einzelnen
Variablen genommenen Ableitungen der Functionaldeterminante
{A) gleich Null, Letzteres erhellt sofort, wenn man be-
denkt , dass

dJ ___ dJ dx / 7?' Tj* TV" y

dxs ~ dx ' da;, ~ ^^ » ^ 2 • • • ^ p; • ^*

ist, und dass das Verschwinden der rechten Seite die Gleichung

4^ = zur Folge hat.
axs >

Anmerknng. Die Bedaction eines Systems von mehreren Zahl-
functionen verschiedener nnmerischer Variablen auf eine extensive
Function einer extensiven Variablen, wie sie oben ausgeführt "wurde,
ist für die Theorie der Functionen überhaupt von grösster Wichtigkeit.
Die überaus einfache Darstellung der Functionaldeterminante auf Grund
dieser Beduction kann schon als ein Beleg für diese Behauptung gelten.
• Diese Beduction , deren Vortheile in der Theorie der Covarianten und
Invarianten noch besonders hervortreten werden, ist das charakteristische
Merkmal für die Art und Weise, wie die moderne Algebra vom Stand-
punkte der Ausdehnungslehre aus behandelt wird, und in ihr erblicke
ich einen wesentlichen Fortschritt gegenüber der gegenwärtig üblichen
Behandlung. Dieser Fortschritt aber ist es wiederum, welcher den
Anwendungen der Ausdehnungslehre auch heutzutage noch Anspruch
auf Beachtung seitens der Mathematiker verleiht. — Geometrisch be-
trachtet, verwirklicht die erwähnte Beduction in allgemeinster Weise
den schon in Nr. 8—10 für einen speciellen Fall ausgeführten Gedanken :
ein geometrisches Gebilde nicht von einer Reihe von Coordinaten abhängig
zu machen j die auf ein, dem Gebilde ganz fremdes, System bezogen sind,

— 150 ~

sondern ckisselbe als FwncUon eines Punktes zu betrachten, durch dessen
Bewegung das Gebilde entsteht.

Jene Beduction findet sich bei Grassmann, Ausdehn uugslehre IL
Nr. 348— 3Ö2; die Darstellung der Functionaldeterminante als Fotenz-
werth daselbst Nr. 441. An beiden Stellen sind die hinzugefügten An-
merkungen besonderer Beachtung werth.

74. 5) Die Hesse' sehe Determinante einer homogenen Fwndion
n, Grades von p Variablen,

Wenn wir in der vorigen Nr.

n^) = ^

setzen, wo /' eine Function von x bezeichnet, so ist nach (7)

ferner

also

Ferner :

_ df
y~ dx >

df df dx ^ ,^-^x

dxr dx dxr y ' ^ \ fy

^^ =yr (5).

dXr

d^f __ dyr . d^f ^^ dyq ,

dXrdXq dXq ' dXqdXr dXr '

mithin ; da die linken Seiten dieser Formeln gleich sind: "

dyr dyq

dXq dXr

In diesem Falle ist also, wie aus (8) hervorgeht, die Functional-
determinante symmetrisch.

Die aus den zweiten Diflferentialquotienten einer Function
f von p Variablen gebildete symmetrische Functionaldetermi-
nante heisst Hesse'sche Determinante der Function f.

Um für diese Determinante einen passenden Ausdruck
zu gewinnen, machen wir hinfort Gebrauch von der in
Nr. 8 — 10 begründeten Bezeichnung einer Function /' durch

die Form:

anX*" = 0,
worin

X = a?,Ci -f x^e^ + • • • + oOpCp,
und

ane{^e{''. . . e/p

gleich einer Grösse a ist, welche r^mal den Index 1, rjmal
den Index 2 etc. enthält.

- 151 -

Wir bezeichnen femer durch /*<'*> die r. Ableitung der
Function f nach x, sodass

ist; dagegen durch faq* - • die nach den r Variablen Xg^ Xq . . .
nacheinander genommene r. Ableitung von f, sodass

ist. Es ist nun nach (8) die Hesse'sche Determinante gleich

{ dy dy dy\

Ferner ist ,-

y = -J- = nanX^-^i
.11. ^ dx n 5

mitnm:

dy dy dx / i\ « «

dXr dx dXr ^ / » ^'t

also die Hesse'sche Determinante gleich

(3) [n{n—l)y {anX^-K e,) (a„a;»-^ 63) . . . (««a;«-«. e^),
oder mit Weglassung des numerischen Factors: .

(4) a/a:^(«-2)^

Dasselbe Resultat ergiebt sich auch^ wenn man von dem
Ausdruck der Hesse'schen Determinante als Potenzwerth aus-
geht. Es ist nämlich:

mithin

Hiermit ist für die Hesse'sche Determinante einer Function
f ein, ganz analoger Ausdruck gewonnen ^ wie für die Function
selbst. Dies zeigt die Vergleichung der beiden Ausdrücke

KnX'^ und aJ^x^^^^^K

Anmerkung. Wie der erste dieser Ausdrücke in eine Zahlen-
gleichung verwandelt werden kann, ist an einem Beispiele in Nr. 10
gezeigt worden. Als Beispiel für die Umformung des zweiten mag hier
der Fall n = 3, p^^Z dienen. Es ist dann

Nun ist nach Nr. 10:

«3 = a,„ I ej5 + «,22 I «*' + «888 I ^8^ + 3 «112 1 Cj ' f 2 + 3 «223 1 ^«* «3 + 3 «3 '1 1 «8* «1
+ 3«12t|«ie2*+3«288k««3*+3«3lll^ßl' + 6«lt8kl«««8-

— 152 -

Dieser Ausdruck ist, wie ebendorf; zu sehen, ohne Coefficienten zu
schreiben, wenn er nicht mit einer Potenz von x^ sondern mit der-
jenigen von a^jCi + ajgeg + • • • multiplicirt werden soll, weil die letztere
die Coefficienten bereits enthält. Wenn man daher aus

zunächst bildet:

ofgÄ c=: oc^Xi€i + a^XzCi + a^x^e^,
und daraus:

cfgic . ei = orjaJiCi* + «aÄ^a^i^j + «s^Js^s^i ?

«aic . ^3 = ^3X16^61 + «aa^jegeg + ct^x^e^^,
und hierin den Werth von a^ rechts einsetzt, so erhält man:

«f3^.«i==^i(«iiil^i+aji2l«2+aii8k8)+^«(aM«ki+«ml ««+«12310

+ ^3(ßfll3 I «1 + «128 k2 + a|83 I «s) »

or3a;.€2 = a;i(ai,2|e«+orii2|ci+ai23k3)+^(of222k2+ofi22i«i + of«8k8)

+ i^3(a«23k2+ai23kl + a288l «3) »

üf8a;.e3 = a;i(a,83|e3+ofi23|e2+aiis|ci)+a;2(of233k3+of223l«2+ai23ki)

-\- a?3 (0f333 1 63 + «283 1 «2+ ^133 ! ^\) •

Durch Multiplication dieser drei Reihen erhält man sogleich dieHesse^sche
Determinante in derselben Form , wie sie in Salmons „Vorlesungen über
die Algebra der lin. Transf." von Fiedler. Lpz. 1863. S. 229 steht. Da-
gegen liefert die Multiplication der drei vorhergehenden Reihen die
Coefficienten in einer abgekürzten Form. So ist z. B. der Coefßcient
von Xi* gleich a^^ Cj', und

+ '^18l''^112<*128 — ''118**^122 •

Dieses letztere abgekürzte Resultat ergiebt sich auch direct aus dem
Ausdruck a^^x^y wenn man x^ durch Xi, X2 und x^ ausdrückt.

75. Wenn die Hesse'sche Determinante gleich Null ist, so
muss zwischen den Factoren des äusseren Productes, welches
ihr gleich ist, eine Zahlbeziehung existiren, d. h. wenn l^,..Xp
constante Zahlen sind, so muss sein:

Nun ist ,^

r i\ .^ '> dy d*f ddxr

^ . '^ dxr dx,dxr dx

Integrirt man daher die vorige Gleichung nach x, so bleibt
nach Weglassung des gemeinsamen Zahlenfactors:

d. h. : Wenn die Hesse* sehe Determinante einer Function gleich

~ 153 —

NuU ist, so eodstirt zwischen den ersten partiellen Ableitungen
der Function eine Zahlbeziehung.

Wenn diese Ableitungen wieder, wie oben, durch y,, y^,
. . . yp bezeichnet werden, so kann man nun, wie aus den
analogen Betrachtungen bei der Punctionaldeterminante (Nr.
73) hervorgeht, eine beliebige Einheit er hervorheben, und
die Grössen von der Form

(lß*+-5^kr); oder {^r\es + Vier),

wo s = 1, 2, . . . (r — 1), (r + 1); • • • i' zu setzen ist, als neue
Einheiten betrachten. Es ist dann x aus p — 1 Einheiten
ableitbar; die Zahl der Variablen x^, , . . Xp lässt sich also
durch Einführung dieser neuen Einheiten um Eins verringern.
Aus den Formeln (8) in Nr. 72, in Verbindung mit der

Formel , ^ — = —^ = f^.^ aus Nr. 74, folgt, dass die

Elemente der Hesse'schen Determinante die Form frq haben.
Bezeichnen wir durch q)rq die Ableitung dieser Determinante
nach dem Elemente frqy so ist nach Formel (39) in Nr. 66: *

fqi(psi + /i 2 9«2 + • • • + fqp (fsp = ;

/i 1 9^r l + /*g 2 9r 2 + ' * ' + fqp ^rp = .

Hieraus folgt, dass
ist. Wenn nun z. B.

^«2 =

ist, so folgt daraus:

9r2 = 0;

d. h.: Wenn die Hesse'sche Determinante gleich NuU ist, und
ihre Ableitung nach einem ihrer Elemente gleichfalls verschwin-
det, so verschmnden auch die übrigen Ableitungen dieser Deter-
minante nach den Elementen der Reihe, welche das verschwin-
dende Element enthält. Dafür kann man sagen: Es ver-
schwindet die Ableitimg der Hesse' sehen Determinante n(ich
derjenigen Einheit, welche gemeinsamer Factor der Elemente
jener Beihß ist. Also lässt sich die Zahl der Einheiten noch-
mals um eine reduciren.

Aus der Definition der Hesse'schen Determinante geht

— 154 -

endlich hervor, dass dieselbe für alle Functionen zweiten
Grades eine blosse Determinante der Coefficienten ist.
76. 6) JDie Hesse'sche Determinante von p homogenen Functio-
nen n, Grades von p Variablen.

Es seien p homogene Functionen n. Grades von p Va-
riablen gegeben:

Wir verstehen dann unter der Hesse'schen Determinante
dieser Functionen den Ausdruck:

(l) [w(w— 1)]^ . anßn . . . Ä*^^«-*>;

welcher die Summe aller Ausdrücke vorstellt, die man erhält,
wenn man die Einheiten e^ ... 6p an die p Factoren von
\n {n — 1)]^ («n^"""^) {ßnix^ ) • . . auf alle möglichen Weisen
vertheilt, und die Factoren noch steigenden Indices von e
ordnet.

Dieser Ausdruck geht in die einfache Hesse'sche Deter-
minante über, sobald die p Functionen einander gleich wer-
* den. Wir können ihn nach Analogie jener Determinante als
äusseres Product schreiben, wie folgt:

\n{n-\)y (ana;»-^) (j8„ä:«-«)

oder:

(2) /•(2)(p(2)...

Wir setzen ferner fest, dass

(3) f^^ . /^3> = pp+^), also {f'^f = /^2)

sein soll; und wenn wir schliesslich noch zur Abkürzung

(4) /^i> = g; (pw = ,,,...

setzen, so können wir die Hesse'sche Determinante in der
Form

(5) {U . . 0'

schreiben.

Anmerkang. Die Verwandlung des Ausdrucks (1) in eine Zahlen-
gleichung wird in derselben Weise ausgeführt, wie es in der Anmerkung
zu Nr. 74 gezeigt ist. Wie der Ausdruck (5) zu behandeln ist, lässt
sich aus dem folgenden Beispiel, worin p=^2 ist, ersehen.

Aus (1) und (2) in Nr. 68 folgt zunächst:

IL — m. -M- = f.

dx ~' ' dxs '*'

— 155 -
da nun

df

dXa

df dx dx

dx dxs ' dxs *

>^'

f.-e,. /•<•>

ist^ so folgt:

(6)
und ebenso:

(7) /; , = e, . e, . P'
Mithin ist im Allgemeinen

(8) l=f'" = /-,|e, +/i|e3 + -.-+/^,|e,.

In dem besonderen Falle i? = 2 ist also

(^^) = (/iki + ^2 I ^2) (9^1 kl + ^zl^d

(1^)^ = f? • 9^2^ + (2^1"- 2/; . /i . 9>i . 92-

Nun folgt aus (6) allgemein:

f..U = e..e,. (/•('))' ,
oder nach (3):

Qder nach (7):

Durch Anwendung dieser Formel erhält man:

(10) (giy)2 = /;^^922 + /-jjcpi^ — 2/;2g?i2.

Hier braucht man nur noch die aus den Gleichungen /* =
und 9 = genommenen Zahlenwerthe der Ableitungen ein-
zusetzen, um den verlangten Ausdruck zu erhalten.

Um die Aequivalenz der Ausdrücke (1) und (5) noch
klarer darzulegen, bilden wir für das eben gegebene Beispiel
aus (8):

~^^ = Ml 1^1 + /2I 1^2) ^^ = 9^11 ^1 "T 9^21 1^2?

(11)

d^ /. I _j_ /• 1 . ^V I I I

^^ — In I ^1 "T /22 1 ^2 ) 'J^ — 9^12 1 ^1 r 9^22 1 ^2 •

Hiemach ist

— 156 —
Da nun nach (4)

so sieht maii; dass {^rj)^ die Summe der beiden Ausdrücke
darstellt, die man erhält, wenn man die Einheiten e^j e^ an
die beiden Factoren von \n{n — 1)]^ («n^*""^) (j^n^"^) auf alle
möglichen Weisen vertheilt. Dies war aber gerade die Defi-
nition des Ausdrucks (1); mithin ist die Aequivalenz beider
Ausdrücke nachgewiesen.

üeber das Verhältniss des Ausdrucks (5) zu der üblichen
symbolischen Bezeichnung der Hesse'schen Determinante durch
(123..)^ gilt das in der Anmerkung zu Nr. 10 Gesagte.

III. Die räumlichen Functionen.

1. Allgemeine Eigenschaften und Beziehungen.

77. Wir waren durch die Betrachtungen des vorigen Ab-
schnittes dazu gelangt, die Functionaldeterminante eines Sy-
stems von Gleichungen als abhängig von einer einzigen
Gleichung anzusehen, indem wir die Functionen des gegebe-
nen Systems als Differentialquotienten einer einzigen Function
f auffassten.

Wenn nun durch die Gleichung f=Q irgend ein geo-
metrisches Gebilde ausgedrückt wird, so wird auch die gleich
Null gesetzte Hesse'sche Determinante der Function f ein
solches vorstellen, da diese Determinante (vgl. den Ausdruck (4)
Nr. 74) ebenso wie f eine FunctioA des beweglichen Punktes x
, ist. und die Abhängigkeit der zweiten Gleichung von der
ersten wird auch einen Zusammenhang zwischen den ent-
sprechenden Gebilden zur Folge haben.

Wir erkennen aber auch leicht, dass die Hesse'sche Deter-
minante nicht die einzige aus einer Function ableitbare Bil-
dung ist. Denn welchen der beiden Ausdrücke (Nr. 76 (1)

und (5))

a^ßn . . . xP^^-^\ {In . . ,f

wir auch betrachten, jeder erscheint nur als specieller Fall

- 157 —

einer allgemeineren Bildung. Im ersten Ausdruck lässt sich
der Exponent von x verallgemeinem, und der zweite Aus-,
druck konnte statt aus zwei^ aus einer grosseren Anzahl
algebraischer Factoren bestehen, die wieder nicht alle gleich
zu sein brauchten.

Wir sind hiermit zu der Aufgabe gelangt, nach der all-
gemeinsten Form zu forschen, in welcher die eben betrach-
teten Ausdrücke als specielle Fälle enthalten sind, und auch
die übrigen dieser allgemeinen Form untergeordneten Bildungen
aufzusuchen.

Jeder solchen gesetzmässigen Bildung wird ein geometri-
sches Gebilde entsprechen, welches mit dem durch die Function
f dargestellten in solchem Zusammenhange steht, dass mit
diesem auch jenes bestimmt ist. Da es sich aber zunächst
um ganz allgemeine Functionen handelt, so wird von geo-
metrischen Deutungen der Resultate (ebenso wie bei der
Hesse'schen Determinante) vorläufig ganz abgesehen werden.
Dieselben werden erst dann am Platze sein, wenn die im
gegenwärtigen Abschnitt behandelten Methoden auf specielle
Functionen angewendet werden.

Wenn wir zuerst den Ausdruck (Siy . . .)* ^^ ^^^ ^'^®^^
angedeuteten Weise verallgemeinern, so erhalten wir:

(1) (|i?...)«.(i?g...y...

Wenn r die Anzahl der gegebenen Functionen ist, und n den
Grad und p die Stufenzahl jeder einzelnen bezeichnet, so ist
dem Ausdruck (1) nur noch die Bemerkung hinzuzufügen,
dass jede Klammer p unter sich verschiedene Factoren ent-
halten muss.

Aus der Form (1) lässt sich nun die allgemeinste Form
herstellen, die der Ausdruck «n/S» . . . x^^^^^^ annehmen kann.
Man erhält durch Anwendung der früheren Bezeichnungen
der Beihe nach die Ausdrücke:

(/•<«V<«) . . .) .{q>^H^PK,,). ..

Wenn wir hier die Werthe der verschiedenen Differential-
quotienten aus den Gleichungen /"= a^a?* =5 0, qp = ^„a:" = 0,
^ = y«^" = 0, . . . einsetzen, und die in Nr. 74 (4) einge-
führte abgekürzte Schreibweise anwenden, so ist zu beachten.

— 158 —

dass nach Nr. 76 (3) jede Function so viele Differentiationen
.erleidet, als die Summe ihrer Exponenten angiebt. Wenn
diese Exponentensummen für fj tp, ^ resp. X, (i, v sind, so wird
der Factor x^ in den einzelnen Functionen resp. auf ar***"^,
x'^^f^^ <gn-v reducirt. Wenn also der Grad des ganzen Aus-
drucks mit n bMeiphnet wird, so ist

n = {n — X) -h (** — i^) +* (^ — 1/) -|- . . .
oder, da die Anzahl dieser Summaaden gleich r ist:

w' == wr — (A + /Lt 4" ^ ~F • • •}•
Nun ist (A + /[t -f- V + • • •) gleich der Anaabl sämmt-
licher einzelnen Factoren des Ausdrucks (1), also, w^äi} die
Zahl der algebraischen Factoren (Klammern) dieses Ausdrtickfii
mit c bezeichnet wird:

A + f* + ^ "f" • • ' = ^jp;

folglich

n = nr — cp,

und die allgemeine Form unseres Ausdrucks mit Weglassung
der durch die Differentiation erzeugten numerischen Factoren:

(2) OCnßnYn>'.X^'~'P.

Ist insbesondere

SO heisst der Ausdruck

(3) a«/Jny«...iC^<«~*>.

Derselbe geht, wenn alle Functionen gleich sind, über in:

(4) ««'•af («-*).

Für r = |) und x = 2 endlich gehen die beiden letzten
Ausdrücke in die Hesse'schen Determinanten von p^ resp. von
einer Function über.
78, Uebersicht der in den allgemeinen Formen (1) und (2) ent-
haltenen ^eciellen Bildungen.

1) Covarianten. — Mit diesem Namen bezeichnen wir
jeden in der Form (1) oder (2) enthalteneu Ausdruck, sobald
er als Function von der einen Variablen x oder von deren
Goordinaten o?], X29 * • » betrachtet wird. Er stellt dar eine
Covariante einer <Jder mehrerer Functionen, jenachdem man
(entweder in (2) oder in der entwickelten Form von (1)) die
Functionen f, <p, t » * - einander gleichsetzt oder nicht. — In

- 159 —

der Form (1) werden künftig die den gleichzusetzenden Functio-
nen angehörigen Buchstaben dusok einfin darüber go a oj b itw. -^.
horizontalen »trieh hervorgehoben werden.

Die Anzahl r der verwendeten Functionen (resp. der
Exponent von a^, wenn es sich um eine Function handelt)
heisst die Ordnung der Covariante; die Stufenzahl p der ge-
gebenen Functionen ist gleichzeitig die Stufemahl der Cova-
riante. Der Grad der Covariante ist nach (2) gleich rn — cjp,
und, wenn in (1) jeder Buchstabe gleich oft als Factor vor-
kommt, nach (3) gleich r(n — h).

Endlich soll Cj die Anzahl der numerischen Factoren in
(1) der Charakter der Covariante genannt werden.*) In dem
Ausdruck (1) giebt also die Anzahl r der verschiedenen Buch-
staben die Ordnung, die Anzahl c der Klammern den Cha-
rakter, die Anzahl p der Factoren in jeder Klammer die Stufen-
zahl, und {rn — cp) dßn Orad der Covariante an. Alis diesen
Elementen aber kann der Ausdruck (2) ohne weitere Rechnung
zusammengesetzt werden, während die umgekehrte Operation
im Allgemeinen nicht ausfuhrbar ist. Der letztere Ausdruck
giebt seinerseits dön Grad und die Ordnung der Covariante
an, während die Stufenzahl ebensowenig wie in «„rc" erkenn-
bar ist.

Noch ist zu beachten, dass — "t" ft -r^i ^ ,.ggp Z^ j^jg

Anzahl der algebraischen Factoren stets eine ganze Zahl
sein muss.

Mit Bücksicht auf die geometrische Bedeutung der Cova-
rianten soll nun zunächst das Verhalten einer Function von x
gegenüber eiuer Transformation der Coordinaten untersucht
werden. Sei wieder

(1) f=ancc^'^ {x = x^e^-{-x^e.^-\ [-Xpep^ e,...ep=l)

eine Function n. Grades, p, Stufe. Setzt man nun

^2 = ^n 3/1 + ^22 ^2 H h ^/>2 yp

(2)

^p = ^ipVi -{- ^2py2 -f • • • + Appi/p

*) Diese Benennung ist nur die Ei*weiterung einer bereits bestehen-
den, indem man Formen von geradem oder ungeradem Charakter
unterscheidet, jenachdem c gerade oder ungerade ist.

— 160

SO ist,

wenn

^11^1 + ^12^2 + *

• • + ^Xp^p = £^

(3)

^21 ^1 1 ^22 ^2 r *

' • + hpCp = ^2

^p 1^1 + ^Jt> 2 ^2 + •

h ^pp^p *-' ^P

gesetzt wird:

(4) X = yys^ + y^€^ H {-ypBp.

Setzt man diesen Werth in der gegebenen Gleichung ein,
so haben die Coefficienten der einzelnen Glieder die Form
Un £i^' f 2*^* • • • ^p*^^ • Diesen Ausdruck kann man gleich einer
Grösse ß setzen , welcher r^ mal den Index 1 , rj mal den
Index 2, etc. enthält. Ersetzt man darin die € durch ihre
obigen Werthe, so erhält man die betreflfende Grösse ß durch
die Grössen a ausgedrückt. Endlich ist noch zu bemerken,

dass (fj ^2 • • • ^i>) = ^^ (^1 «2 • • • ^p) =^ ^^ ^^*

Es ist nunmehr x durch die Coordinaten J/, . . . .%> be-
stimmt, wie früher durch x^ . . . Xp. Da man aber in dem
entwickelten Ausdruck von a„a;" überall nur yr statt Xr und
gleichzeitig €r statt er zu setzen hat, um die transformirte
Gleichung zu erhalten, so sieht mau, dass die Form der
Gleichung durch diese Transformation sich nicht geändert
hat. Der geometrische Inhalt dieses Resultates ist die von
selbst einleuchtende Wahrheit, dass ein geometrisches Gebilde
durch eine Coordinaten- Transformation keine Aenderung er-
leidet.

Wenn z. B. p = 3 ist, so stellt a„a:« = eine Curve
vor, welche von dem variablen Punkte x beschrieben wird.
Für diesen Punkt, wie für die Curve ist es nun ganz gleich-
giltig, ob er vermittelst der variablen Zahlen rr, 0:2^^3 aus den
drei festen Punkten e^e^e^, oder mittelst «^ij/j^s ^^^ ^^®^ ande-
ren Punkten b^b^b^ abgeleitet wird; denn die einen haben
ebensowenig wie die anderen eine Beziehung zu der Curve.
Mithin bleibt auch die Gleichung a„a;" = von jener Trans-
formation unberührt.

Ganz dasselbe gilt nun aber auch von jeder Covariante
von UnX"^, die ja ebenfalls nur eine Function von x ist. Unter-
wirft man also eine Covariante einer Function und die Function
selbst derselben Transformation, so bleibt die gegenseitige

— 161 -

Beziehung beider Functionen ungeändert. (Daher der Name
„Covariante".) Daraus folgt, dass die Covariante der trans-
formirten Function (auch in ihrem Ausdruck durch die Coor-
dinaten) gleich ist mit der ebenso transformirten Covariante
der Originalfunction.

Der geometrische Inhalt dieser Betrachtung lässt sich
wieder in den selbstverständlichen Satz zusammenfassen, dass
die Beziehungen zweier geometrischer Gebilde zu einander von
dem Coordinatensystem , auf welches die Gebilde bezogen sind,
unabhängig sind. »

2) Invarianten. — Eine Covariante 0. Grades heisst In- 79.
Variante. Dieselbe ist also ein Ausdruck, welcher die Variable
X gar nicht enthält, sondern nur die Coefficiehten der ge-
gebenen Function. Sie stellt daher auch kein neues geome-
trisches Gebilde vor, sondern nur eine Eigenschaft des durch
die gegebene Function ausgedrückten Gebildes. Sie ist selbst
ebensowenig, wie die durch sie dargestellte Eigenschaft, von
den Coordinaten abhängig. (Daher ihr Name.)*)

Es sind nun die Bedingungen anzugeben, unter welchen
der allgemeine Ausdruck der Covariante eine Invariante dar-
stellt. Zunächst ist klar, dass jede in diesem Ausdruck vor-
kommende Function sich auf eine Constante reduciren muss.
Da nun alle Functionen von gleichem Grade (n) sind, so
müssen sie alle einer gleichen Anzahl von DifTerentiationen
(nämlich n) unterworfen werden; folglich muss jeder Buch-
stabe wmal vorkommen. Man hat also in der Formel (2)
Nr. 77 zu setzen

und erhält als Ausdruck der Invariante von r Functionen das
aus r Factoren bestehende Product:

^n Pn yn • • •

*) Der stete Gebrauch der Coordinaten bei der Betrachtung geo-
metrischer Gebilde hat zu der Unterscheid ang geführt zwischen solchen
Eigenschaften eines Gebildes, welche bei einer Coordinaten - Transfor-
mation erhalten bleiben, und solchen, bei denen dies nicht stattfindet.
Im letzteren Fall handelt es sich also um Beziehungen zwischen dem
Gebilde einerseits und dem willkürlich gewählten Coordinatensystem
andrerseits, mithin keineswegs um Eigenschaften des Gebildes an sich.
Ans diesem Grunde gebrauche ich das Wort ,, Eigenschaft^* in dem
obigen engeren Sinne.

Schlegel, Eleme-nte. .11

— 162 —

Dem Ausdruck (1) Nr. 77 zufolge lässt sich die Invariante
r, Ordnung von einer Function |}. Stufe und n. Grades dar-
stellen als ein algebraisches Product von — Klammern, deren

jede j) unter sich verschiedene Buchstaben enthält. Sie ent-
hält überhaupt r verschiedene Buchstaben , deren jeder nmal
vorkommt.

Man sieht, dass die Invariante nur dann existirt, wenn
rn durch j) theilbar ist. »

80. 3) Concomitanten, (Sonst „gemischte Concomitanten" oder
yyZwischenformen" genannt.) In dem allgemeinen Ausdruck
der Covariante (1) Nr. 77 waren die Grössen |, i], 5 . . .
Functionen vonn?, und man konnte durch Entwickelung die-
ses Ausdrucks die Covariante auch direct als Function von x
darstellen. Man kann aber auch eine jener Grössen, z. B. ^
als neue Variable betrachten, und den Ausdruck als Function
von X und |, oder, wenn man will, von x^yX^j * • > und /i,
/*2 . . . (nach (8) Nr. 76) darstellen. Dabei macht man natür-
lich für die Function f von dem Gesetze fp.fq = fpq ((9) Nr. 76)
keinen Gebrauch. Eine solche, als Function von x und S auf-
zufassende Covariante heisst Concomitante (weil darin die Va-
riable X von ^ so zu sagen begleitot wird). Zur Unterscheidung
von der Covariante kann die Concomitante äusserlich dadurch
ausgezeichnet werden, dass die als neue Variable zu betrach-
tende Grösse durch \y bezeichnet wird. Es ist dann nach (8)
Nr. 76:

also

y = f\^\ +/*2^2 + • • •

Was die Form (2) der Covariante (in Nr. 77) anlangt,
so überzeugt man sich leicht, dass sie als Contravariante
lauten wird:

Es wurde oben gezeigt, dass eine Function von x durch
lineare Transformationen ungeändert bleibt. Weil nun | selbst
eine Function von x ist, so bleibt auch die Concomitante bei
solcher Transformation ungeändert. Es soll aber noch ge-
zeigt werden, welche besondere Gestalt jene Transformation
annimmt, wenn man sie auf | anwendet.

- 163 —

Drückt man in den Formeln (3) die Grössen e durch die
Grössen « aus (Was durch Benutzung der Formebi (1) und (42]
in Nr. 66 ausgeführt wird), und setzt

SO folgt:

(6)

Multiplicirt man nun

X = x^ <?i + 37.^62 + •• • + XpCp
mit ^x und wendet die Substitutionen (6) an, so folgt:

+ ('21^1 + Vi ^2H h hp,Xp)£<i

+(}'p\Xi-\-lp2X2'^ \-lppXp)ep.

+ (^21 /^ + ^22/2 + • • • + ?2p/i>)i «2

(7)

+a;p (Zip «1+ Z2pf2+ • • • + 'pp ^p)
Durch Vergleichung dieser Formel mit (4) findet sich:

(8) Jx-yr= Zrl^l + lr%X2 + * ' * + Irp^p.

Multiplicirt man andrerseits

l = f\\^x + fMi'\ \'fp\^P

mit dx und wendet die Substitutionen (6) au, so folgt:

-^ii-5 = (VA + ViA ^ \-^ipfp)\^x

(9)

+ (Ipxfl + Ip^f?. + • • • + lppfp)\^p*

Endlich ist

f = -^ = -^ . ^^ 4. -^ . ^^ 4_ . . . 4. -^ . -^ .

''' rfa?/- dyi dxr dy^ dxr ' "" dyp dxr '

mithin, wenn man

setzt, und (8) benutzt:

(11) Zll,fr = hr • 9l + ^2r 9?2 + • • • lpr<Pp'

Vergleichen wir diese Formel mit (2), so zeigt sich der

— 164 —

Zusalnmenhang zwischen der Transformation der Grössen x^,
X,, . . . in jy,, 1/2, . . . und derjenigen der Grossen f,y U, . .'.
in 97,, 9727 * • * Bildet man nämlich aus den Coefficienten der
beiden Transformationen die Determinanten, so ist die zweite
Determinante die Reciprokal- Determinante der ersten (nach
Nr. 65). Man sagt daher, dass die Grössen a?,, x,^, . . . und
/"j, fi)**' durch redpröke Substitutionen transformirt werden.
81. Die Variable x wurde als ein Punkt aufgefasst, welcher
durch seine Bewegung ein geometrisches Gebilde beschreibt.
Es ist nun noch die geometrische Bedeutung der Variablen g
darzulegen. Wenn

SO war
mithin ist

x^ = n . ccnX'^ = nf = 0.

Während nun die Gleichung a„ af» == aussagte, dass der
Punkt X das Gebilde «„ beschreibe, sagt x^ = aus, dass
der Punkt x stets auf dem Gebilde | liege. Der Werth von |,
nämlich nänX!^"^ muss, um ein Zahlenwerth zu werden, noch
mit irgend einer der zu Grunde gelegten Einheiten, d.h. mit
einem Punkte multiplicirt werden; denn a;"-^ enthält nur ein
Product von w— 1 Einheiten, während a„ erst durch Multipli-
cation mit einem Product von n Einheiten in einen Zahlen-
factor übergeht. Demnach ist | ein Gebilde, welches, mit
einer Einheit multiplicirt, eine Grösse von der Stufe des
Hauptgebietes, liefert, d. h. | ist die Ergänzung eines Punktes
im Hauptgebiet, (Vgl. ,, Raumlehre" Nr. 143.) Z. B. für p = 3
ist f eine Curve und S eine Gerade, für jp = 4 ist /* eine
Fläche und | eine Ebene. Da nun x gleichzeitig auf f und
auf I liegt, so haben beide Gebilde diesen Punkt gemeinsam,
und da mit x auch | sich bewegt, so dass jedem Punkt x ein
besonderes Gebilde | entspricht, so haben beide Gebilde nur
diesen Punkt gemeinsam, und § kann im Allgemeinen das
Tangentiälgebilde von f genannt werden (Tangente für jp= 3,
Tangentialebene für p = 4).
82. 4) Contravarianten. Eine Concomitante, welche in Be-
zug auf die Variable x vom 0. Grade ist, also nur noch |
enthält, heisst Contravariante. Ihre Beziehung zur Original-

- 165 -

function bleibt ungeäiidert, wenn man die Coordinaten der
Variablen x und % reeiproken Transformationen unterwirft.
(Daher der Name Contravariante.) Aus der oben gegebenen
Form der Concomitante geht hervor, dass die Contra Variante
jeden Buchstaben, % ausgenommen, nmal enthalten muss.
Denn nur unter dieser Bedingung wird der Exponent von x
gleich Null. Zu beachten ist, dass die allgemeine (in lijg . .
ausgedrückte) Invariantenform stets eine Contravariante liefert,
sobald man einen ihrer Buchstaben als neue Variable be-
trachtet.

Man kann hiernach sowohl von einer Reihe gegebener
Functionen gleicher Stufe und gleichen Grades, als auch von
einer einzigen Function vier verschiedene Arten abgeleiteter
Functionen bilden, nämlich:

1

Functiouen von , x

Constanten

% Conoomitanten

'■1

Contravarianten

•

Constanten ' Covarianten

Invarianten.

9

Bildung der abgeleiteten Formen, Erste Methode. Da die 83,
Conoomitanten und Contravarianten aus den Covarianten resp.
Invarianten nur durch eine specielle Annahme hervorgehen,
und da die Invarianten nur einen besonderen Fall der Co-
varianten darstellen, so wird die Aufsuchung der letzteren
als die Aufgabe übrig bleiben, welche an einer gegebenen
Function zu lösen ist. Wir lernten zwei Formen der Co-
variante kennen, nämlich die Ausdrücke (1) und (2) in Nr. 77.
Da der erstere sich in den letzteren verwandeln lässt, aber
nicht umgekehrt, und da auch nur der erstere zur Verwand-
lung in einen Coordinatenausdruck sich eignet, so werden
wir die Covarianten zunächst in dieser ersteren Form dar-
zustellen haben. Für die dabei zu beachtende Reihenfolge
ist die Gleichung (in Nr. 77) massgebend :

n' = nr — cp.

Da n der Grad und j>.die Stufenzahl der gegebenen Function
ist, so haben wir noch über r und c zu verfügen. Man
wird, um alle möglichen Covarianten zu finden, in dieser
Gleichung r = 2, 3, . . . und in jedem einzelnen Falle wieder

— 166 —

c = (1), 2/H, . . . zu setzen haben ^ wobei c nur so lange
wachsen kann^ als n' positiv bleibt. Man hat dann jedesmal
die r Buchstaben 1 17 ... in die c Klammern so zu vertheilen/
dass jede Klammer p unter sich verschiedene Factoren ent-
hält. Die Anzahl der auf diese Weise möglichen Bildungen
lässt sich aber durch folgende Bemerkungen beschränken:

1. Zwei Ämdrücke, welche durch irgend eine zwischen den
Buchstaben vorgenommene Vertauschung in einander übergehen,
liefern identische Besultate, wenn die m den Buchstäben ge-
hörigen Functionen einander gleich gesetzt werden, weil es
gleichgiltig ist, welchen von den vorkommenden DiflFerential-
quotienten man S; und welchen man tj nennt, u. s. w.

2. Ein Ausdruck, welcher durch Vertauschung zweier gleich-
zusetzender Buchstaben sein Vorzeichen ändert, hat den Werth
Null, weil eben nach 1. diese Vertauschung seinen Werth
nicht ändern soll, während er doch das Zeichen wechselt.
(Demnach ist der Ausdruck {^rj^ . , .y^""-^^ stets gleich Null,
und der Fall c = 1 überhaupt zu übergehen, sobald es sich
um die Formen einer einzigen Function handelt.)

3. Ein Ausdruck, dessen algebraische Factoren (Klammern)
so in zwei Gruppen vertheilt werden können, dass kein Buch-
stabe der einen Gruppe in der anderen enthalten ist, ist dem
algebraischen Producte dieser Gruppen gleich, also direct als
Product zweier Ausdrücke von niederer Ordnung darstellbar,
weil kein Factor der einen Gruppe durch die Beziehung f\ . f^
= fiq mit einem Factor der anderen Gruppe verbunden ist.

84. Zweite Methode. Die so eben behandelte Methode giebt
zwar die Formen in einer bestimmten Reihenfolge , lehrt aber
nicht, aus gegebenen Formen neue nach einem bestimmten
Gesetze zu bilden. Um ein solches herzustellen^ denken wir
uns (zunächst für binäre Formen) die complicirteren Formen
aus einfacheren zusammengesetzt, wie folgt:

1. Wir nennen (|iy)* die x. Ueberschiebung der Function t

über die Function f (wobei | = -^ — , r^ = -~~ ist); mithin

{i,iflY die 7i. Ueberschiebung der Function f über sich selbst.

2. Wird einer bereits vorhandenen Form ein Factor (i^f)
hinzugefügt, dessen einer Buchstabe (17) in der Form. bereits
vorhanden, dessen anderer (£) neu ist, so heisst die neue

— 167 —

Form die erste Ueberschiebung der Function % (zu g gehörig)
über die gegebene Form. Durch Hinzufüguug eines zweiten
Factors, welcher keinen neuen Buchstaben mehr enthalt, ent-
steht die zweite Ueberschiebung, u. s. f.

3. Man bildet endHch die erste Ueberschiebung einer Form
über die andere, indem man die beiden Formen (die jedoch
keinen gemeinsamen Buchstaben enthalten dürfen) multiplicirt
und einen Factor (lyg) hinzufügt, dessen Buchstaben aus bei-
den Formen genommen sind. Durch Hinzufügung von 7t sol-
chen Factoren entsteht die x. Ueberschiebung der einen Form
über die andere.

Sind die beiden Formen in der Bezeichnung of-x^ und a^x"
gegeben, so ist die erste Ueberschiebung der einen über die
andere:

und die x. Ueberschiebung:

Man überzeugt sich leicht^ dass dieser Ausdruck alle drei,
oben einzeln behandelten^ Fälle umfasst, und es kann hier
genügen , die Erläuterung für den dritten (allgemeinsten) Fall
zu geben.

Da die Ordnungszahl einer Form a^x* einerseits gleich v,
andrerseits gleich der Zahl der in ihrem Productausdruck ent-
haltenen Buchstaben ist, so muss die Ordnungszahl einer
Form , welche die Buchstaben zweier anderen enthält (keinen
mehr und keinen weniger), gleich der Summe der Ordnungs-
zahlen der beiden anderen sein, d. h. in unserem Falle:

i; = A -f- ft .

Da femer das Product zweier Formen, die keinen Buch-
staben gemeinsam haben, ihr algebraisches Product ist, so
ist zunächst t => r -{- s. Durch Hinzufügung des Factors (lyg),
in welchem jeder Buchstabe eine Diflferentiation bedeutet, er-
niedrigt sich nun der Grad des ganzen Ausdrucks um 2, und
durch X solcher Factoren um 2x; mithin ist

t = r -\- s — 2x.

Dritte Methode, Bei der soeben * behandelten Methode 85.
wird die Hinzufügung des Factors, welcher zu dem Producte
der beiden Formen treten soll, oft nur auf eine einzige Weise

- 168 -

ausführbar seiu^ nämlich dann^ wenn es nur noch zwei Buch-
staben giebt, welche nicht schon so oft als möglich in den
beiden l^ormen vorkommen. — Es können ferner, wenn man
zwischen mehreren Buchstaben die Wahl hat, durch ver-
schiedene Wahl Ausdrücke entstehen, welche nach Regel 1.
der ersten Methode dieselbe Form darstellen. £s kann aber
endlich diesä verschiedene Wahl auch auf Ausdrücke führen,
welche zwar gleichen Grad und gleiche Ordnung haben, aber
nichtsdestoweniger von einander verschieden sind. In diesem
Falle wird die Bezeichnung a^x^ vieldeutig, indem sie nicht
nur jede dieser verschiedenen Formen, sondern auch jede
linear aus ihnen zusammengesetzte Function ausdrückt. Es
fragt sich dann, welche dieser Formen, oder welche der aus
ihnen zusammengesetzten Functionen man als Ueberschiebung
definiren soll, und es wird eine weitere Methode nöthig, um
diese Ueberschiebung auf eindeutige Weise zu erhalten. Wir
haben zu diesem Zweck nur diejenige Methode zu erweitern,
welche uns die x. Ueberschiebung von f über ^ gab.

Wenn /'= ax'^\ ^s« /3a;" war, so bildeten wir /^=|= -5-^;

^'= ly =-^^ stellten das Product (g)^) auf, und bildeten

für die x. Ueberschiebung (§??)*.

Wenn nun M und "N zwei Formen sind, von 'denen die
erste einer Functionsreihe t\i', % - - », die andere einer Reihe

F, ^, X angehört, so bilden wir Jf' = 4^ . ivr' =^ _^ . dann

' '^ ax ' dx '

ist {MW) die erste Ueberschiebung von M und Ny und
{MWy die X.

Um diese Rechnung im Einzelnen auszuführen, müssen
wir den Formen Jf und Ny welche in der Gestalt (S'?)"(i? £)*...
gegeben sind, die Gestalt (ctx^, ßx^' . . .) geben. Es sei also

Wenn dann in M die Functionen f= ax""] ^ = jSa;'»; % = yx*"
durch die Differentiationen g, ly, g . . . resp. auf den Grad
l, fi, V . . , erniedrigt werden, und Analoges für N stattfindet,
so ist

b) 31 = (ax^ . ßxf" . yx\ . .); JV= {Jx^> . Bxf» . T:»"' . . .).

— 169 -

Ji-f-li-\-v-\--- dx ^' ' ' "^"^ ^ ' '

ff

— 'i— X- • 4- = l^Ax^^-^Bxi"^ . . •) + ^.Bx^^-HAx^^ • • •) +

Das Product dieser ^beiden Ausdrücke, welches aus einer An-
zahl von Summauden besteht, ist nun die erste üeberschie-
bung von Jf über ^. Jeder Summand unterscheidet sich von
dem Product JfJN' dadurch, dass in den Ausdrücken b) sowohl
bei M als bei 'S irgend einer der Factoren eine Differentiation
erlitten hat. Dasselbe würde aber in dem Producte der Aus-
drücke a) durch Hinzufügung eines Factors erreicht werden,
welcher aus jeder der beiden zu M und 'S gehörigen Buch-
stabenreihen irgend einen Buchstaben enthielte. Hieraus folgt,
dass jeder der Summanden eine Ueberschiebung im Sinne der
zweiten Methode ist, und dass arlle Summanden gleichzeitig
die sämmtlichen überhaupt möglichen Ueberschiebungen jener
Art vorstellen. — Wir nennen den Ausdruck {M!W^ die
Gesammt'Ueberschiebung , und die einzelnen Summanden des
Ausdrucks: die Theile der Ueberschiebung.

Ebenso, wie (Si?)^ die zweite Ueberschiebung von i^ über f
war, so int (MNy^ oder (J/^^) ^(2)^ die zweite Ueberschiebung
von N über M, u. s. f.

Anmerkung. Wenn i(f und ^ sich nur auf eine einzige und

• zwar auf dieselbe Function beziehen, so können sich -^ — und — j —

* dx dx

auf je ein Glied reduciren, und es besteht dann auch (M'N') nur aus
einem Summanden. Es kann ferner vorkommen, dass alle Summanden
bis auf einen sich als algebraische Producte niederer Formen darstellen
lassen; in diesem Falle ist jener eine Summand als Repräsentant der
ganzen Ueberschiebung anzusehen. In beiden Fällen wird man zur
Herstellung der Ueberschiebung die zweite Methode benutzen können,
deren Anwendbarkeit immer daran zu erkennen ist, dass die Hinzu-
fügung des die beiden Formen verbindenden Factors nur auf eine Weise
möglich ist. — Die dritte Methode stimmt überein mit der von Clebsch
a. a. 0. S. 100—108 beschriebenen Polareubildung. Um den formalen
Unterschied beider Methoden hervortreten zu lassen, füge ich das bei
Clebsch S. 108 unten stehende Beispiel im Gewände obiger Methode
hinzu.

Es soll die zweite Ueberschiebung von /*= yx^ über (^n^y gebildet
werden.

— 170 —

dM n--2 , «_3 ^ tt_2 . n — 2 n n—3 1 ^^ n — \ *

2» -4 dx 2n —A^ * *^ n ciic

2(n — 2) _ _n— 2 13 _n — 3

2w— 4

. ax''-'' . ßx'

1 d*ilf 2(n-2)r, „. „_3 « «-3 , ,. ,, n-2^ »-4. ^ <^'-A n-2

2n— 5 dx^ 2n— ö*- ' '^ i\ / r ji M(n— 1) aa;* '

(itf'JVr)2=^^£?) [(w- 2)aa;'*-^ pa;«-^ ya;*-^+ (w-3)aa^^^

a;»»'^!

Um schliesslich die in der Klammer enthaltenen Producte \vieder durch
1, rj, i auszudrücken , vergleichen wir sie einzeln mit M, Ib dem ersten
sind die Exponenten der beiden ersten Factoren um je 1 erniedrigt;
dies bedeutet das Hinzutreten von | und 97. Ferner ist yac^ mit einem
um 2 verminderten Exponenten hinzugekommen; dies bedeutet ein
zweimaliges Hinzutreten von £; man erhält also, wenn man eine ähn-
liche Betrachtung am zweiten Producte anstellt:

{M'N-f^ ~~- [(«-i) . (Uf(U)(.nt\ + (»-3) . {UYi-nm-

Zu beachten ist, dass der zweite Summand, welcher den Factor 17 vier-
mal enthält, verschwindet, sobald n •< 4 ist. In diesem Falle wird also

die üeberschiebung einfach durch (5^)* (SS) (»??) repräsentirt. — Die
weitere, bei Clebsch gegebene Umformung beruht auf einem, weiter
unten zu besprechenden Verfahren, welches mit der vorliegenden Me-
thode nichts zu thun hat.

86. Vierte Methode. Vermöge der dritten Methode können

wir jede üeberschiebung zweier Formen M und N durch Co-
varianten der gegebenen Formen (/*= aa?» = 0; ^ = ßx^== 0;
etc.) unmittelbar ausdrücken. Dieses Verfahren wird jedoch
oft umständlich, namentlich, wenn weder M noch N eine
der gegebenen Functionen selbst ist. Wir werden aus diesem
Grunde üeberschiebungen complicirter Formen durch solche
niederer Formen auszudrücken suchen, und auf diese Weise
oft einfachere Resultate erhalten.

Wir betrachten zunächst die x. üeberschiebung von f
und ^. Dieselbe wurde in der Gestalt (|iy)* geschrieben. Da
nun I = f^^^ und iy = ^^^> ist, so kann man dafür auch
(/'(i) ^(1))« oder {fty setzen. Für x= 1 erhält mau dann
wieder (fipy oder fi^^tlfi^) = (|iy). Da sowohl f wie if; eine
X malige Differentiation erleiden, also auf ax^"* resp. ßx^^*
feducirt werden , so mag nun dem Ausdrucke (/V')* noch der
Factor «a?*-* . ßx"^—* hinzugefügt werden. Diese Hinzu-

— 171 —

fügung geschieht lediglich im Interesse der Bildung weiterer
üeberschiebungen, und es ist besonders zu beachten, dass in
dem nunmehrigen Ausdrucke der x. üeberschiebung von f
und ^:

jeder der beiden Theile für sich allein die üeberschiebung
vollständig und genau darstellt.

Wir bildeten oben die x, üeberschiebung von M und N,
indem wir den Ausdruck (Jf^)* = -M(*^jY"^') bildeten. Dem-
nach wird die 2(w — x). üeberschiebung des oben gebildeten
Ausdrucks Ä mit ;|j = ya?** entstehen, wenn wir (ÄxY^'^'^^
bilden. Wenn wir nun festsetzen*), dass die Ausdrücke

Ä und ^a;^<«-*),
also auch

cc und ccx^ oder /

ß und ßx^ oder ^

gleichbedeutend sind, so geht der Ausdruck Äx^^*^—^^ in seine
üeberschiebung mit x ^^er , wenn wir darin % statt x setzen
und X D^it de™ vorangehenden Buchstaben in Klammer setzen.
Dasselbe Resultat muss sich nun auch ergeben, wenn wir
diese Substitution in dem mit ^a?^(»— *) gleichbedeutenden
Ausdrucke vornehmen. Wir erhalten also für die 2(n — x).
üeberschiebung von Ä mit x ^©n doppelten Ausdruck:

• (ÄxY^''-''^ = if^Y . ifxY"' . itxy-"'

Mittelst dieser Formel aber ist die üeberschiebung von A und x
durch die einfacheren zwischen ftpx gebildeten üeberschie-
bungen ausgedrückt.

Wenn ferner statt der ursprünglichen Functionen fimd tff
zwei Formen M= Mx^] N= Nx^ gegeben sind, so wird man
die X. üeberschiebung von M und N in der Form schreiben :

und die {p-^-q — 2x). üeberschiebung von S mit einer neuen
Form P wird sein:

Anmerkung. Die bei dieser vierten Methode angewendete Schreib-

*) Siehe die Anmerkung in Nr. 8.

- 172 -

weise einer üeberschiebung unterscheidet sich von derjenigen bei
Clebsch nur dadurch, dass x hier nicht als Index sondern als Factor
erscheint, und dass nicht die Coordinaten von x durch diejenigen von P
ersetzt werden, sondern x selbst direct durch P.

Beispiele: 1) j? = 4, 2 = 4; x = i>. — /"= aa;'; i^ = ßx^\ H=^ II x*
== {fipj^ . €cx^ . ßx^; [H'H)^ = {ftp,^ . (/•//)« . {'^H)\ (Vgl. Clebsch a. a.
0. S. 138 oben.)

2)Jlf=/-=aa^*; N^H=Hx'', x=l. - T ^ Tx^ ^(fH)
.ax", Hx^\ {TTf == (/"IZ) . {fTf . (ÄTj^ (Vgl. Clebsch a. a. 0. S. 148
in der Mitte.)

Für die vorliegende Darstellung, deren Zweck es nur ist, die Theorie
der binären Functionen soweit zu verfolgen, als dieselbe ein geome-
trisches Interesse bietet, wird fast durchgängig die zweite der vier
Methoden ausreichen, die dritte nur auguahmsweise , die vierte gar
nicht anzuwenden sein. Im Interesse einer klareren Einsicht in das
Verhaltniss der Ausdehnungslehre zur modernen Algebra schien es
jedoch nöthig, auch die letzte, für die Umformungen besonders wich-
tige Methode beizufügen. Dieses Verhaltniss lässt sich nun so präci-
siren , dass die Methoden der modernen Algebra durch die Ausdehnungs-
lehre eine um so grössere Vereinfachung erfahren , je enger der Gegen-
stand, auf welchen diese Methoden angewendet werden, mit der
Geometrie zusammenhängt, dass dagegen Untersuchungen von rein
algebraischem Interesse nur nach Massgabe des Umstandes vereinfacht
werden , dass die Reihe der numerischen Variablen «?£, oc^y ,.. durch die
eine extensive Variable x ersetzt wird.

87. Bedudion einer Form auf Stammformen. Jede ganze
algebraische Function der durch eine .der obigen Methoden
gebildeten Formen wird wiederum (als ganze algebraische
Function von x) eine Covariante sein. Durch diese Bemerkung
wird man rückwärts zu den Fragen, geleitet, durch wieviele
und welche Covarianten einer Function sich alle übrigen 1) als
algebraische j 2) als ganze algebraische Functionen darstellen
lassen.

Um die erste dieser Fragen zu beantworten, nehmen wir
eine Function p. Stufe und n. Grades als gegeben an, sodass

(1) /'—«ic^^-O.

(2) x = x^e^ + ^2^2 + * • • + ^j3^i>5 (e^ej . . . e^) == 1.

Es seien nun ausser x noch (p — 1) andere extensive
Grössen ijyZ] , , .w angenommen, welche ebenfalls aus den
Einheiten e^ , . . Cp durch reelle Zahlen abgeleitet sind, und
der Bedingung unterworfen

- 173 —

(3) u = {xys . . , w) = 1.

Man kann nun aus (2) und den entsprechenden Glei-
chungen (ür y, 0y . . . w auch die Grössen e,, ej? • • • ^p als
lineare Functionen von x, y, 0, , . . w darstellen, indem man
dieses Gleichungssystem nach e^ . . ep auflöst, und es kann
daher jede aus den p Einheiten e, . . . ep abgeleitete Grösse b
auch aus den Grössen x^y^^^, . ,w abgeleitet werden. Sei also

(4) h = 6,e, + 62^2 H h h^v^

so wird man haben:

(5) . h^ß.x + ß^y+'^' + ßpW,

Nun bleibt nach Nr. 78 sowohl die Function f^ wie jede
ihrer Covarianten durch eine lineare Transformation 4er Ein-
heiten nngeändert. Sei eine solche Covariante in Function
der Coefficienten und Coordinaten von f\

worin

(6) «, = «61'*; a^==ae^^'^e,^\f a^ = aey^~^e.^\ ...«x == a^p**.

Setzen wir in diesen Formeln statt e, . . . e^ resp. x . . .w,
so mögen die daraus hervorgehenden Grössen durch tp be-
zeichnet werden, sodass:

(7) q)^ = ax'^{=f)] g?, = ax^-^y] q).y = aa^-^B\ . . .

Durch die Transformation gehen also in unserer Covariante
die Grössen 6 in /3 (4 u. 5), und die Grössen am q) (6. u. 7)
über, sodass

(8) nia^ya.^, . . . a^yh^yho, . . . bp)=n{(p^, 9?,, . . .(p^-i, ßuß29"' ßp)-

Da wir über die Grössen ß beliebig verfügen können, so
setzen wir nun

(9) /5,,= 1; ^, = ^, = ...^, = 0.
Daher wird nach (5) und (2)

(10) b = X = x^e^ + ^2^2 + • • • + ^P^Pf
und nach (4)

1 — -- X I > Oiy ^-^ — Xn } • • • Op —— Xp y

und, wenn wir die gegebene Covariante kurz mit 77 bezeichnen:

(11) 11 == 77(«)Po, g?i . . . (Ph- 1, 1, 0, 0, . . . 0).

- 174 —

Entwickelt man n{ai,a2y . • . a^, a?i, ^^2» • • • ^p) ^^^^ Po-
tenzen der Grössen iTj, . . rc^, so ist, wenn n der Grad der
Covariante ist:

(12) n = F{a^ . . . «x) . a^i~' H

Da durch die Transformation die Grössen « in 9?, und die
Grössen x (oder b) in ß übergehen, so werden sämmtliche
Glieder auf der rechten Seite von (11), mit Ausnahme des
ersten, verschwinden, weil sie alle mit den verßch windenden
Factoren ß2 - » ßp behaftet sind, und da j3^ = 1 ist, so bleibt:

. (13) n = F(9o; 9i> • • • 9*-i)-

Hierdurch ist 77 als Function der durch die Gleichungen
(7) beistimmten x Formen qPo . . . q>»-. 1 ausgedrückt. Die ganze
Untersuchung bleibt ungeändert, wenn 77 nicht Covariante
einer Form f, sondern Covariante mehrerer Formen ist. Nur
ist dann x die Anzahl sämmtlicher in diesen Formen auf-
tretenden Coefficienten.

Die Zahl der Functionen 9 lässt sich noch verringern,
indem man die extensiven Grössen y y £!,.., w passend be-
stimmt. Zu diesem Zwecke setzt man

(14) aa^—^y = agl^-'^y = . . . = ««;« - ly = 0,
d. h. bis auf einen Zahlenfactor:

y SS arc«— 1 = a^"^ = . . . = aw^"^^.

Da die Anzahl der Gleichungen (14) gleich p — 1 ist,
und jede das Verschwinden einer Function q? ausdrückt, so
bleiben von diesen Functionen noch x — p -f" 1 übrig, nnd
man hat den Satzr

, Alle Covarianten einer gegebenen Function oder eines Ver-
eins von Fundionen p. Stufe mit im Ganzen x Coefficienten
lassen sich aus (x — jp -|- 1) von einander unabhängigen Stamm-
formen als rationale Functionen ableiten. Man erhält diese
Stammformen, indem man in den gegebenen Functionen statt
der einen extensiven Variablen x p extensive Variablen x, y,
z,7,,w einführt, von denen eine (y) durch die übrigen und
durch eine der gegebenen Functionen nach Massgabe der Glei-
chungen (14) bestimmt ist, während ausserdem u==^{xyis..w)=-'l
ist. Wenn dann eine beliebige Covariante 77 als rationale
Function der Stammformen dargestellt werden soU, so gelingt

— 175 —

dies unmittelbar, indem man in 11 statt der Einheiten e^,...ep,
von denen die x Coeffidenten abhängen, x,y , . ,w einführt,
eine der veränderlichen Zahlen {x^) von denen x abhängt,
gleich 1 , und die übrigen gleich Null setzt,

Ist die erhaltene Gleichung nicht homogen, so hat man
jedem Gliede den Factor u so oft hinzuzufügen, bis die Homo-
genität erreicht ist.

Diejenigen Covarianten 77, welche bei diesem Verfahren
selbst mit einem Factor behaftet werden, also, wenn dieser
Factor durch Division weggeschafft wird, nicht als ganze,
sondern als gebrochene Functionen der Stammformen er-
scheinen, heissen unabhängige Covarianten und bilden in ihrer
Gesammtheit das sogenannte Formensystem der gegebenen
Functionen.*)

Wenn, wie wir oben angenommen haben, die Covarianten
einer Function durch Ueberschiebujigen hergestellt werden,
so kann man, wenn man nur unabhängige Formen erhalten
will, alle Ueberschiebungen über abhängige und verschwin-
dende Formen übergehen. Denn da die Ueberschiebung im
Wesentlichen eine Multiplication ist, so kann man die Ueber-
schiebung über eine abhängige Form durch Ueberschiebungen
über diejenigen Formen ersetzen, aus denen sie abgeleitet ist,
d. h. durch Ueberschiebungen, die schon früher betrachtet
wurden. Eine verschwindende Form aber lässt sich als Diffe-
renz von zwei einander gleichen niederen Formen betrachten,
die man wieder einzeln mit einer anderen Form überschieben
kann. Das Nähere hierüber wird bei Betrachtung der einzel-
nen Functionen festgestellt werden.

Es bleibt noch übrig, die in dem oben ausgesprochenen 88.
Satze enthaltene Regel zur Ableitung einer Covariante aus
den Stammformen auf den Fall auszudehnen, dass die Co-
variante in der Form (1)^ . .) (i^J. .) . . . gegeben ist.

Wir betrachten zunächst eine Function von zwei Variablen
{binäre Form) :

T ^^s CCX % Ou — " SC* t/ j I tX/^ Ct) • yjb * e.y ) " 1 •

*) Es kann jedoch vorkommen, dass ein scheinbar unabhängiger
Ausdruck sich als abhängige Function von anderen , bereits gebildeten
Formen darstellen lässt. Vergl. Nr. 109.

— 176 —
Dann ist nach Nr. 76 (8. 6) :

oder in anderer Bezeichnung (/; = |j = g^,; /^ = g, = ge.,)

Ebenso für eine zweite Function /3x":
mithin

Da nun {^tj) als Covariante ungeändert bleibt, wenn man
X und y statt e^ resp. Cj setzt, so ist

(gl?) = (Irr) (i^i/) — (i^iT) (ly),

oder, da (ga?) = nf, und (lya;) für den Fall gleicher Functio-
nen ebenfalls gleich w/* ist, nach Weglassung dieses gemein-
samen Factors:

{ln) = {ny) — {ly)-

Wenn wir nun (gi?)*" bilden, für ri und | wieder /*(*> schrei-
ben, und die Formel (3) Nr. 76 beachten, so folgt:

oder, da /'^''^ = aa?"*-'' ist:

'1 1 . ^

Setzen wir nun nach Formel (7) dieser Nr.:

bestimmen y durch die Bedingung

y = ax^-^ oder ax"*-^y = 9?^ = 0,

und fügen zur Herstellung der Homogenität im ersten Gliede
den Factor q)^^ =/*= aa?"* hinzu, so folgt:

(15) (gi?)"' = yoym+ \^g ' . 9^2 9^m~2 ^ g 3 9)39)^-3+ • •

wodurch zunächst {^rj)'" als Function der Stammformen aus-
gedrückt ist.

Da nun aber jede Covariante einer binären Form als
Product von Ausdrücken in der Form (li?)"* erscheint, so er-
giebt sich folgende Regel zur Darstellung dieser Covarianten
in Function der Stammformen:

— 177 —

Man ersetze in jeder Klammer das Froduct der beiden
Factoren durch ihre Differenz, führe an diesen Differenzen
die Potenzirung aus, setze S*" = ly** = • • = ^r, «nd qpj = 0.

Anmerkung. Den oben gegebenen allgemeinen Satz nebst der
speciellen Regel für binäre Formen yeröffentlichte H. Grassmann im
7. Bd. der „Mathematischen Annalen'* S. 538 ff. Seine sonstigen in
diesem Aufsatz (welcher zuföllig gerade erschien, als die gegenwärtige
Arbeit bis Nr. 80 vorgerückt war) niedergelegten Bemerkungen über
den Zusammenhang der Ausdehnungslehre mit der modernen Algebra
bestätigen durchaus das , was ich über denselben Gegenstand in frühe-
ren Anmerkungen gesagt habe. — Jener wichtige Satz aber , den Grass-
mann mit Recht einen Fimdamentalsatz nennt, zeigt selbst am
deutlichsten die ungemeinen Vortheile der für die Ausdehnungslehre
charakteristischen Behandlungsweise. Er zeigt namentlich, dass auch
von dem gegenwärtigen Standpunkte der modernen Algebra aus diese
Behandlungsweise nicht nur zur Ableitung neuer Resultate brauchbar
ist, sondern dass sie wegen der grösseren Klarheit, welche sie über
bereits bekannte Resultate verbreitet, zur Ableitung auch dieser Re-
sultate vor anderen Methoden den Vorzug verdient.

Sei ferner eine Function von drei Variablen {temäre Form) 89.
gegeben:

T ' vcu/^ tX/ S(/i e* ' I ivo e*} \ 3>o oo • v^i en e^ j ■ x •

Dann ist

i=f^» = f,\e^+f^\e,-\-f,\e,,

oder in anderer Bezeichnung (/"^ = g^ = ge^; /i = S2 *= S^2?

b = bl 1^1 1 52 1^2 "T «31 ^3;

Ebenso für zwei andre Functionen ^ = /Ja;*» und 3^ = ya;*:
mithin :

(l'?g) = ll^253--Sl^3S2 + S2'?3£l — ^2^1 53 + ^3^1 52 — 53^ifl
= (S^l)(^^2)(S^3)+ (S^2)(^^3)(ß^l)+ (5^3)(^^l)(e^2)

-{ie,)(rje,){te,) - {ie,){rie,)(te,)-{Uz){ve2)(te,),

oder, wenn man statt e, , ^2, e^ resp. x,yyZ setzt , und die
Factoren (ga?) ^== (rjx) = (ga;) = nf (für den Fall gleicher
Functionen) weglässt:

- (ty){ne) - (ly)(g«) - ir,y)m ■

Sohlegel, Elemente. 12

— 178 —

Dieser sechsgliedrige Ausdruck ist nun mit fn zu poten-
zireU; wodurch man schliesslich eine mit (15) analoge Formel
erhalten wird. Wir übergehen dieselbe ihrer Weitläufigkeit
wegen und begnügen uns damit, das weitere Verfahren an
dem Falle m = 2 zu zeigen. Demnach ist

-2ir,y)ite).(ty)(7}g) 2(i,y)(g;?).(gy)(g«)-...

-2(r,yXte).(.vy)m

wobei aus jedem der ausgeschriebenen Glieder durch circuläre
Vertauschung von 6,i?, S zwei weitere, durch Punkte ange-
deutete Glieder hervorgehen. Da nun die drei Functionen
ax^, ßix^y y(xS^ zuletzt einander gleich gesetzt werden, so wer-
den in der letzten Formel die 6 Quadrate untereinander gleich,
und ebenso jedesmal diejenigen drei doppelten Producte,
welche durch jene circuläre Vertauschung in einander über-
gehen. Wir können also schreiben:

- iny) m.ay) {ni>)-{ny){U) (5y) {%^)-{ny){i^) ivy) iU)-

Wenn wir nun für S, i^, g, resp. f^^\ ^^*>, x^^^ setzen, und
Formel (3) in Nr. 76 beachten, so folgt:

— ¥^^ yz . %<^> yz — V'^^) y . x^^^ z^ . f^^^y — ¥^^ y'^ . x^'^ e.p^z

= ßx^'-^y'^ . ya;"""^i8f2 -[- ßx'^'^y . ya^-^yz . ax^'-^z

+ ßoc^—'^yz , yx^-^z . ax^~^y
— ßx^-^^yz , yx'^-^yz — ßx^-^y . yx^~^z^ . aa^-^y

— ßx^^'^y^ . yxi^-^z . ax'^—^z.

Wir setzen schliesslich a =/}=)/, undaa;'*~^""'*y^iS^ = 9);i^,
oder speciell:

bestimmen dann z durch die Bedingung

~ 179 —
und erhalten so, indem drei Glieder verschwinden:

wodurch die Reduction auf die Stammformen vollendet ist.

Aus diesem Beispiel ist nun leicht folgende allgemeine
Regel zur Beduction einer beliebigen Govariante irgend wel-
cher Formen auf die Stammformen zu entnehmen:

Man drücke die verschiedenen Buchstaben der Covariante

durch die Einheiten aus (z. B. S = lil^i + 12^2 + ' * *)> ^^'
rechne jede Klammer durch Ausführung de» äusseren Mul-
tiplication, setze |ßr statt |r; etc., darauf statt 61,^2) • * * ^^^
extensiven Variablen ic, y, . . . , führe darauf an jeder Klammer
die angedeutete Potenzirung aus und multiplicire die Resultate,
wobei die Factoren (|rc) = (rjx) = • - » = nf weggelassen
werden. Endlich setzt man statt 6» ^; • • resp. f^^\ ^<^), . .,
führt die Multiplication der gleichnamigen Potenzen in jedem-
Gliede des Polynoms aus, setzt die Werthe der Differentiale
ein, macht dann die Functionen gleich, und bestimmt eine
der extensiven Variablen durch die Bedingungen (14).

In welcher Weise diese Methode, zunächst für ternäre
Formen, vereinfacht werden kann, wird weiter unten gezeigt
werden (Nr. 122).

Anmei^ang. Nachdem oben die Grandzüge der Determinanten-
Theorie für den allgemeinsten Fall (n Variablen) entwickelt waren '
(vgl. Nr. 52), liess der enge Zusammenhang, in welchem diese Theorie
mit der Lehre von den räumlichen Functionen steht, es angemessen
erscheinen, auch den ersten Ueberblick über diese Lehre in derselben
Allgemeinheit zu geben. Es wird nunmehr im Folgenden durch die
spedelle Betrachtung der räumlichen Functionen wieder in diejenige
Form der Darstellung eingelenkt, welche für das „System der Baum-
lehre" von vornherein massgebend war,

2. Betrachtung der einzelnen räumlichen

Functionen.

A. Gebiet der Geraden. Functionen 2. Stufe. (Binäre Formen.)
a) Die Function 2. Grades« (Quadratische Form.)

a) Eine Function.

Die dUgemeine Form dieser Function ist 90.

(1) aa;2=»0,

12*

— 180 --

oder, wenn

(la) X = Xy^e^ -\- Xr^ec^"")

gesetzt wird, unter Anwendung der in Nr. 10 festgesetzten
Bezeichnung

(2) a, t a?!^ -f 2 «12 ^1 ^2 + «22 ^2^ = ^•

Da diese Gleichung für den Quotienten —^ zwei be-

stimmte Werthe liefert, so giebt es zwei bestimmte Punkte,
welche ihr genügen. Und da die Gleichung (1) aussagt, dass
ein variabler Punkt x auf dem Gebilde a liege, so ist dieses
Gebilde a eben jenes Punktepaar.

Die binäre quadratische Form ist also der Ausdruck für
zwei auf einer Geraden liegende feste Funkte.

Durch besondere Annahmen, die man hinsichtlich der
ursprünglichen Einheiten macht, kann die Form (2) verein-
facht werden. Eine solche, auf möglichst geringe Gliederzahl
reducirte Form heisst canonische Form.

Anmerkung. Da- die canonisclie Form stets eine Beziehung
zwischen den Grössen e und dem durch die Function dargestellten
GebiJdfe voraussetzt, so ist ihre Verwendung nur dann vortheilhafb,
wenn man die Beziehungen dieses Gebildes zu solchen Grössen, welche
sich durch die Einheiten darstellen lassen, untersuchen will. Im All-
gemeinen aber ist die Form (1) sowohl der Form (2) wie Jeder daraus
abgeleiteten canonischen Form vorzuziehen. Vgl. Nr. 8.

Canonische Formen. Wenn erstens e^ und ^2 so gewählt
werden, dass sie mit dem Punktepaare f zusammenfallen, so
müssen e^ und ^j; statt x gesetzt, der Gleichung (1) genügen;
d. h. man hat

cce{^ = 0; «^2^ = 0,

oder

«11 = 0; «22 = 0;

*) Wir nehmen hierbei an , dass ei und e^ Punkte sind. Die Grösse
X ist aber auch dann vollkommen bestimmt, wenn e^ und e^ zwei
Strecken in einer Ebene bedeuten (vgl. „Raumlehre" Nr. 152). Dann
ist X ebenfalls eine Strecke, oder, da es auf ihre Länge nicht ankommt,
eine Gerade; die binäre quadratische Form repräsentirt zwei sich
schneidende Geraden, und alle Resultate der Untersuchung lassen sich
sowohl auf Punkte einer Geraden , wie auf Geraden einer Ebene an-
wenden. Hiermit hängt der durch die zweite Abtheilung dieses Buches
sich hindurchziehende Dualismus im Ausdruck der Sätze eng zusammen.

- 181 -

mithin nimmt (2) die Form an:

(3) iCirr2 = 0.

Da diese GleichuDg durch die Werthe Xi = und X2 =

befriedigt wird, so ist in der That, wie aus (la) hervorgeht,

entweder x ^= x^ei oder x = rCjej.

Wenn zweitens e^ und e.^ so gewählt werdea, dass sie

mit dem Puuktepaare f harmonisch sind, so müssen die beiden

Punkte X (nach „Raumlehre*' Nr. 169) einzeln den Bedingungen

genügen :

X ~"~ X4 6| "'^~ Xn Co 5 • ' ' X4 e* ■""" Xn e** •

und jeder dieser beiden Werthe muss der Gleichung (1) ge-
nügen; man hat also:

^(^i^i+^2^2)'=^5 oder: ajia?j2+2a^2^i^2 + ^22^'/=05
a(x^ei — ^2^2)^=05 oder: «11^:1^ — 2a,2^ia;2 + a22^2^=ö*

Damit nun die Gleichung (2) beide Punkte x gleichzeitig aus-
drücke, muss, wie aus den beiden letzten Formen zu sehen
ist, a^2 = sein; und die Gleichung (2) nimmt daher die
Form an:

(4) «11^1^ + «22^2^ = 0.

Anmerkung. Man kann auch umgekehrt von den algebraischen
Bedingungen ccn^=oifi = Of lesp. Ui^^^O ausgehen, und ihre geome-
trische Bedeutung ableiten. .

Statt der Gleichung «12= ^ können wir auch schreiben:

ae^e2 = 0,

welche Gleichung, ebenso wie die vorige, ausdrückt, dass
das Punktepaar e^ , e.^ mit dem Punktepaare a harmonisch ist.
Ebenso wird , wenn x, y irgend ein variables Punktepaar
ist, die Gleichung

(5) axy =

ausdrücken, dass dieses Paar mit a harmonisch ist. Hieraus
können wir weiter auf die Bedeutung des Ausdrucks ax
schliessen. Da nämlich

2aa; = /XA) = |,

und I (nach Nr. 81) die Ergänzung eines Punktes im Haupt-
gebiet ist, so ist S zunächst ein Punkt („Raumlehre" Nr. 32).
Wenn aber 2axy == ^y = ist, so bedeutet dies nichts

— 182 -

anderes, als dass die Punkte § und j/ zusammenfallen ^ mithin
ist bis auf einen Zahlfactor

(6) y = ax,

oder: Wenn a ein PunM^aar und x ein beliebiger Punkt auf
derselben Geraden ist, so ist ax der vierte harmonische Punkt,
oder harmonisches Gentrum erster Ordwww^ (wegen /*(*>)
zu dem Punktepaare a in Bezug auf den Pol x.

91. Govarianten. Nach Nr. 83 ist die erste Covariante (für
r = 2 und c = 2)

Da n{=nr — cp) = ist, so ist sie eine Invariante, und
nach Nr. 76 (5) ist sie die Hesse' sehe Determinante der Function.
Wenn sie den Werth Null hat, so kann (nach Nr. 75) x aus
einer einzigen Einheit, statt aus zweien, abgeleitet werden;
d.h.: die beiden Punkte x fallen mit demjenigen, welchen
diese Einheit ausdrückt, zusammen. Die Function f steUt also,
wenn ihre Hesse' sehe Determinante Null ist, zwei zusammen-
fallende Punkte {oder zwei parallele Geraden) dar.

Specielle Ableitimgen dieses Besultates, 1) Es ist | = aa?; ri^= ßx;

{^ri)^{aß)x^; (1^)* = («P); (fn)^ = («') = («ei) (cce^) (na^h Nr. 74,
Formel 3). Wenn nun (aei){ae2) = ist, so muss zwischen diesen
beiden Grössen eine Zahlbeziehung bestehen, etwa hiccct) — >li(ae2)s=« o,
oder, nach x integrirt: X^inxei) — Xiiaxe^) ^= 0; oder ^Ig/i — Xj^ =
(nach Nr. 76, Formel 6J. Nun ist (Nr. 76, Formel 8} S = /*, le^ + fzl^ty

oder mit Benutzung der letzten Gleichung: | = /'|(|ei+ "r"l^2)> oder,

X s f

wenn wir ej -}- — ^ e^ = -r- setzen : | = -^ | g. Ebenso wie | aus der

einzigen Einheit | c , muss nun x aus e ableitbar sein. Da aber x^Xiei
+ x^e^t ist, so muss Xi : Xz^ Xt*- X^ sein; dann ist a; = a?| (6j + "T" ^«)

= rcj -r- ; oder, wenn wir Xi = Xi setzen: x = 8, Es fallen also beide

Funkte x mit s zusammen.

2) AusNr.76,Formell0folgt: (|^)' = 2 (/•„/a-/'«')« 2 (of,i «»—«„*).

Ist nun cfiia28 — a«'«* 0; oder a^i = K^n • «^22» so kann Formel (2) der

Nr. 90 geschrieben werden : (Vcc^i . Xi + Vöc^ . ^Y = 0. Diese Gleichung
hat zwei gleiche Wurzeln, stellt also zwei zusammenfallende Funkte dar.

Anmerkung. Die Hesse'sche Determinante ist, als specieller Fall
der Functionaldeterminante, nach Nr. 72, gleich dem Fotenzwerth eines

— 183 —

Quotienten, und kann daher auch in der Form

m) -' iä) m

geschrieben werden (vgl. Nr. 76, Formel 12). Dieser Potenzwerth ist
derselbe, welcher in Nr. 41 durch (A^) bezeichnet wurde; demnach ist
die Hesae^sche Determinante der binären quadratischen Form gleich dem
Potenzwerth desjenigen Quotienten, durch welchen die Funkte Ci u/nd e^

in die Punkte «j und St (Nr. 41 , Formel 4) d. Ä. -j^ umd -j-^ ver-

• dt

wandelt werden. Setzt man S =* /i^i + ^2^2» so ist -3-^ = /ii^i H-Zii^

=s «liCi + «2162; -5-^ = /it^i+ fti^ = ^J^ii^i + flfa^2> übereinstimmend

mit Nr. 41, Formel 2a und 2b. — Eine weitere Anwendung der binären
quadratischen Form nebst ihrer Hesse'schen Determinante findet sich
in der Anmerkung zu Nr. 7.

Beduction auf die Stammformen. — Alle Covarianten 92.
unserer Function lassen sich nach Nr. 87 aus x — p + 1, d. h.
aus 3 — 2+1 = 2 Stammformen ableiten ; von denen eine,
q)Q die Function f selbst ist.

Für (I rjy erhalten wir nach der in Nr. 88 gegebenen Begel :

oder, da 9i = ist:

Die Hesse'sche Determinante ist daher selbst die zweite
Stammform.

Andere Covarianten, die man bilden würde, konnten
keinen quadratischen Factor, etwa {^riY enthalten; denn da
jeder Buchstabe in der Covariante einer quadratischen Function
nur zweimal vorkommen kann, so müssten § und 97 in dem
übrigen Theile der Covariante fehlen, man könnte also (S^?)^
nach Nr. 83, Begel 3 als algebraischen Factor absondern.
Bildet man nun einen Ausdruck von der Form (|i/)(gg) .. .,
so giebt derselbe bei der Reduction theils Glieder, die irgend
einen Buchstaben in der ersten Potenz enthalten, also (wegen
<Pi = 0) gleich Null sind*, theils solche, die das Product einer
Beihe von Quadraten sind, also die Form 9^** annehmen. Es
sind daher alle anderen Covarianten nicht nur als rationale,
sondern auch als ganze Functionen von (p^ darstellbar; d. h.:
Dc^ Formensystem der Function enthält ausser q)Q selbst nur
die eine Function tp^-

— 184 — .

Noch einfacher ergiebt sich dieses Resultat durch folgende
Betrachtung: Jede Co Variante, die man bilden kann^ liat die
Form oToi^y und da w = 2r — 2c stets gerade ist, so kann
man schreiben:

n
r —

{ax^y ,(a 2) oder: {ax^Y . (««).

Ist nun c gerade, so ist die Co Variante, bis auf einen Zahlen-
factor, gleich •

»' c

d. h. eine ganze Function der beiden Stammformen. Ist aber c
ungerade, so kann man schreiben:

4--1

{ax^Y *((x^x'^) .a^"^,

und da a^ir^ = (|iy) = ist, so verschwindet dieser Ausdruck.

Dritter Beweis: Da {^rjY als Invariante keine üeber-

schiebung duldet, und (|iy) als verschwindende Form auf
keine unabhängige Form führt (vgl. Nr. 87 am Schluss), so

ist {^fif neben f die einzige unabhängige Form. Es möge

jedoch an der Ueberschiebung von f über (|?^) noch gezeigt
werden, wie man beim Beweise jener Eigenschaft der ver-
schwindenden Formen zu verfahren hat. Es ist (| 92)= (5 — V)

=(l-5)-(ij-g)=(IS)-(^); also (f^)(n)=OT-(lg)(^g).

Vertauscht man in dem letzten Gliede | und g, so lautet es:

(g|)(i^|), oder, wenn man in jeder Klammer die beiden Buch-
staben umstellt (was einer doppelten Zeichenänderung ent-

spricht): (Ig) dl); mithin 2(i^)(g£) = (|g)2; (|^)(|g)=i(|g)^

p) Zwei Functionen.
93. Zwei Functionen

(1) ' «a?2 = 0; j3a?2 = o,

worin

(la) X = x^e^ -}- x^e^

ist, und die man auch schreiben kann

«11^1^ + 2a,2^i ^2 + «22 V =
2+2/Ji2a;,a?2 + ^22V = 0,

repräsentiren 0wei Punktepaare auf einer Geraden.

— 185 —

Covarianten, 1) Das System der beiden Formen besitzt
zunächst die gemeinsame Hesse'sche Determinante

welche sich von den entsprechenden Formen der einzelnen
Functionen nur dadurch unterscheidet, dass die beiden Functio-
nen in ihr nicht gleichgesetzt werden. In der Bezeichnung
der Gleichungen (1) ausgedrückt, ist sie gleich (aj3) (vgl.
Nr. 91), und es ist nun die geometrische Bedeutung der
Gleichung *•

(3) {aß) =

ZU untersuchen. Nun haben wir in Nr. 90 gesehen , dass die
Gleichung axy = die harmonische Beziehung zwischen dem
Paare « und dem Paare ooy ausdrückt. Bezeichnen wir dieses
Paar durch ß, so geht die harmonische Gleichung über in
(aß) = 0] mithin ist diese Gleichung die Bedingung dafür,
dass die beiden, durch die Functionen (1) dargestellten Paare
harmonisch sind.

Da die Formel (3) aussagt, dass das äussere Product von
a und ß Null ist, so besteht zwischen diesen Grössen eine
Zahlbeziehung. Man kann also auch schreiben:

(3a) Aa + fA/3 = 0,

woraus durch Multiplication mit ß wieder (3) folgt.

Anmerkung. Des Vergleichs wegen möge hier noch die Ableitung
desselben Resultates auf dem gewöhnlichen Wege der Coordinaten
hinzugefügt werden. Es ist

(S^)* =» «lifo — 2ai2(?,2 + aaßn = 0;

oder:

«^_2-?^ . lll_+ ilL. = 0.

Die Gleichungen (2) können geschrieben werden:

und wenn l^ und X^^ die Wurzeln der ersten , ^^ und yi,^ die der zweiten
sind, 80 ist

2 -?!«- = _ (;i. + i,) i S^^x^i^.

Ptt Pit

— 186 —

Setzt mau diese Werthe in die Form (| 17)* ein , so folgt :

lilt — H^i + h) (fti + ^f) + /*if*t = 0;
oder :

h — l^t h — l^i

Wenn nun A und C die Punkte des Paares a, B und D diejenigen
des Paares ß sind^ so sind ZiZiftifi, der Reihe nach die Coordinaten
dieser Punkte, d. h. ihre Entfernungen von einem festen Punkte 0\
also ist

oder:

B-A _ B — C

D- A B — C

wodurch das Paar {AG) als harmonisch mit dem Paare {BD) nach-
gewiesen ist.

2) Da I uüd ri nicht gleichbedeutend sind, so wird der
Ausdruck (i,rj) nicht identisch Null sein; denn (|^) ist nicht
dasselbe wie (lyS). Wir haben daher noch die Govariante

zu betrachten^ für welche r = 2, c=l, und deren Grad
n' = wr — cp =^2 ist. Sie ist nach Nr. 72 die Fundional-
determinante des Systems der beiden Functionen. In der Be-
zeichnung von (1) ausgedrückt ist sie (aß)x^, und es handelt
sich noch um die geometrische Bedeutung der Gleichung

(4) (aß)x'^ = 0.

Dieselbe drückt als binäre quadratische Form zunächst ein
Punktepaar aus. Sei dasselbe mit y bezeichnet^ so ist yx^:=0
dieselbe Gleichung, mithin

(5) {aß) = y.

Fügen wir den beiden Seiten dieser Gleichung a oder ß als
äusseren Factor hinzu, so wird die linke Seite jedesmal Null
(nach den Gesetzen der äusseren Multiplication) ; mithin ist

(6) (ay) = und (ßy)=.0.

Diese Gleichungen aber sagen, wie oben gefunden wurde,
aus, dass sowohl das Paar a wie das Paar ß mit y harmonisch
ist. Mithin stellt {aß)x^ = dasjenige Funlctepaar dar,
welches mit den Paaren a und ß gleichzeitig harmonisch ist,
oder (nach Nr. 37) die Doppelpunkte der durch die Paare a
und ß bestimmten Involution.

- 187 -

ReducHon auf die Stammformen. Alle Covarianten des 94.
Systems lassen sich aas 6 — 2 -f- 1 "= 5 Stammformen ab-
leiten ^ von denen vier bereits bekannt sind, nämlich die ge-
gebenen Functionen g)^ und i^Q, sowie ihre Hesse'schen Deter-
minanten 9^2 u^^ ^2* ^^^ Beduction der beiden oben gegebenen
Covarianten liefert:

(6a) (aß)x'^ = (1^) = (g _ iy) = 9,, - V', ;

(«^)=(|l,)2 = (|-,^)2==|2_2|^ + ^2 = ^^_2g,^^^ + ^^.

Zu den vier bekannten Stammformen kommen also noch zwei,
nämlich 9^ und ^^ hinzu, von denen jedoch eine willkürlich
bestimmt werden kann. Wir bilden zu diesem Zweck

und erhalten durch Subtraction dieser Gleichung von der
vorigen :

(6b) ar,y - iar,)y = 9,, + v», - (9,* + Vi^).

Darauf bestimmen wir (p^ und ^^ durch die Gleichung
in Verbindung mit (6a), woraus folgt:

9i = (l'?)(^); ^i-(l'?)(^),

während (6b) übergeht in:

(6c) (aß) = (^) + ip + l{aß)x^2''

Um diese Gleichung schliesslich homogen zu machen, müssen
wir ihren drei ersten Gliedern resp. die Factoren ccx^ . ßx'^,
{ßx'^y, {ccx^y hinzufügen, und erhalten:

(7) axKßxKiaß)=^[ia'^) . (ßx^f+m . {ax^^ + [{«ß)x^y,
oder in der früheren Bezeichnung:

(8) ip.MivY = 9^t2 + ^'fi + mv)?'*)

Bei der Bildung weiterer Ciovarianten trifft das an ent-
sprechender Stelle in Nr. 92 Gesagte auch hier zu. Da nun,
wie aus der letzten Formel hervorgeht, (Siy)^ nicht als ganze.

*) Identisch mit den Formeln in Clebsch, Binäre Formen, S. 119,
(10) u. S. 197| (1). — Auch für Formen von höherem als zweitem Grade
giltig.

— 188 —

und (1^) nicht einmal als rationale Function der übrigen
5 Formen auftritt, so sind beide Formen unabhängig (nach
Nr. 87 am Schluss). Das Formensystem der beiden Functionen
enthält demnach ausser den vier Formen gp^, tp^, %, ^2 ^^^
noch die leiden Formen {^riY und (S^).
95. unter den abhängigen Formen des Systems sei noch er-
wähnt die Hesse* sehe Determinante von (Si?). Um dieselbe
durch andere Formen auszudrücken, nehmen wir aus der
Formel (7) den Werth

Da links die gleich Null zu setzende Function (I17) steht, so
ist auch die rechte Seite der Gleichung Null, und wenn wir
setzen

px — -A^ij ax — -A.2, "2 -^11» 2 "^12 7 2 — ^^'

so erhält die Gleichung die Form

A,,X,^ + 2A,,X,X, + 422^2' = 0.

Da dieselbe mit (2) in Nr. 90 übereinstimmt, so ist ihre
Hesse'sche Determinante (welche gleichzeitig diejenige von (| r^)
ist) nach S. 182 2) gleich 2(AnA22 — ^n^)- Andrerseits ist
dieselbe gleich [{ccßy}. Wir erhalten mithin, wenn wir die
Grössen A durch ihre Werthe ersetzen:

(9) K^ßf] = 1 [(«^) . (ß^) - [(aß)^]. *)

Die Hesse'sche Determinante der Functionaldeterminante
zweier binärer quadratischer Formen heisst die Resultante des
Systems der beiden Formen. Berechnet man sie nämlich in
Function der Coefficienten der Coordinaten- Gleichungen, so
nimmt sie die Form an, zu der wir im ersten Beispiel am
Schluss von Nr. 71 gelangten, d.h.: sie ist das Resultat der
Elimination von x^ und x^ zwischen den beiden Formen.

y) Drei Functionen.

%^ Drei Functionen

(1) -ax^ = 0', ßx'^ = 0\ ya;2 = 0,

*) IdentiBch mit der Formel bei Clebsch a. a. 0. am Schlnss vom
§ 67.

— 189 —
worin

ist, repräsentiren drei Punktepaare auf einer Geraden,

Covarianten. Um eine gemeinsame Covariante der drei
Functionen zu finden, haben wir in der Formel w=wr — cp
zu setzen r = 3. Die Annahme c = *S führt auf die Form

oder in andrer Bezeichnung (ccßy). Dieselbe ist, da w'«=sO,
eine Invariante, und ihr Verschwinden bedeutet das Vor-
handensein einer geometrischen Beziehung zwischen den drei
Punktepaaren. Nach Gleichung (5) der Nr. 93 bedeutet nun
die Gleichung (ccß) = d, dass das Paar a und das Paar ß
beide mit einem Paare d harmonisch sind. Fügen wir auf
beiden Seiten dieser Gleichung den äusseren Factor y hinzu,
80 ist {ccßy) = (ßy). Wenn nun

(2) (aßy) =

ist, so ist auch

{dy) = 0;

d. h. nach Formel (3) der Nr. 93 : auch y ist mit 8 harmonisch.
Die Gleichung (2) drückt also aus, dass die drei Pa^re a, j3, y
alle mit einem Paare d harmonisch sind, d, h. (nach „Raum-
lehre^' Nr. 171), dass sie involutorisch sind.

Da die Formel (2) aussagt, dass das äussere Product von
CK, ß und y Null ist, so besteht zwischen diesen Grössen eine
Zahlbeziehung. Man kann also auch schreiben:

(2a) Aa + ft/J + i/y = 0,

woraus durch Multiplication mit ßy wieder (2) folgt. Liegen
die Paare a, ß, y auf drei verschiedenen Geraden, so drücken
die Formeln (2) und (2a) aus, dass a, ß, y einen involutori-
schen Verein bilden. (Vgl. Nr. 39).

Beduction auf die Stammformen. — Alle Covarianten des 97,
Systems lassen sich aus 9 — 2 + 1 *= 8 Stammformen ab-
leiten, von denen sechs bereits bekannt sind, nämlich die
gegebenen Functionen qpQ, ^q, %q, und ihre Hesse'schen Deter-
minanten 92>^2;%2- Durch Reduction der oben gegebenen
Covariante erhalten wir:

— 190 —

oder, da Anfangs- und Endglied sich heben:

Von den drei neuen Stammformen <Pi^iXi I^a.nn die eine be-
seitigt werden; wir ersetzen sie jedoch sämmtlich (ähnlich
wie in Nr. 94) durch andre Formen , indem wir aus (6a) in
Nr. 94 entnehmen:

*i - 9i = — («/J)^^; %i — V'i = — (ßy)x'^j

g)t—Xi = — (ycc)x\

Ersetzen wir ausserdem 92;^2;%2 ^^^ ^^^ linke Seite der
Gleichung durch ihre Werthe in Function von x, so folgt:

(aßr) = - i[(«^) . {ßy)x^ + (ß^) . (r'Ox^ •+ ry) . iaß)x^] .

Um schliesslich diese Gleichung homogen zu machen, mul-
tipliciren wir ihre Glieder resp. mit ax"^ . ßx^.yx"^, ßx^.yx^y
yx^,ax*-y ax'^.ßx^y und erhalten:

(3) ax'^ . ßx'^ . yx'^ . {aßy) == — ^ [ßx'^ . yx^ . (a^) . {ßy)x'^

+ yx'^. ax^. {ß'^).(ycc)x^ + ax\ ßx\ (y^). (aß)x^]

oder in der früheren Bezeichnung«:

(4) g^oV^o^^oC^^) (^O(SS) = — i[toXo9>2(nt) + XoV^oMti)

+ 9^0*0X2(5^?)].*)

Die Covariante {aßy) ist nach diesem Besultat eine unabhän-
gige Form.

Es ist nun noch der Fall r = 3, c = 2 zu untersuchen.
Dieser führt auf die Form

(l^)(IO.

Die Reduction liefert:

= gjj — Vi 9)1 — <Pi%i+ ^iZi
oder, mit 2 multiplicirt:

*) Auch für Formen von höherem als zweitem Grade giltig.

— 191 —
Nan ist nach den Formeln (6b) und (6c) der Nr. 94:

- 2t,g>, = [ißa)x^Y = ißa) - (?!)±i^;

- 29.Z1 = [(«y)a:']^ = («y) - ^-^^ 5

mithin durch Einsetzung dieser Werthe:

2{aßy)x^ = ißa) + (ay) - (^y),
oder^ homogen gemacht:

(5) 2(aßy)x^ = yx^ . (/Ja) + ßx^ . (ay) — aa;^ . (ßy),
oder in der früheren Bezeichnung:

(6) 2(|i,)(|g) = x,{W + *oa5)' - 9o('/0'- *)

Die Form (£^)(IS) erweist sich hiernach als eine abhängige.
Nimmt man r grösser als 3 an ^ so muss man schliesslich
durch Gleichsetzung die Zahl der verwendeten Buchstaben
auf 3 reduciren. Es entstehen dabei in ähnlicher Weise wie
früher Factoren von der Form 92" ^^^ ^^^^ Neubildungen
erscheinen als ganze Functionen der bisher betrachteten.
Das Formensystem der drei Functionen enthält hiernach ausser

dm Formen 9?o, %, U 9v ^2; Xi^ (S n), (^ S)? in l\ (5 vfy (S S)^ {vtf
nur noch die eine gemeinsa^ne Form (|i?)(i7S)(f6).

9) Vier und mehr Functionen.

Im Falle von 4Functionen gestattet dieFormel n=nr—cpy 98.
oder n' = 8 — 2c die beiden Annahmen c = 4 und c == 3.
Für c SS 4 hat man

-l^iPii + l^-n^)

wobei aus dem letzten Gliede durch circuläre Vertauschung
der Buchstaben noch drei neue Glieder hervorgehen. Diese
Gleichung kann man schreiben:

— 9>2(^iZi + a^i^i — ^('lOJi)

oder nach den Formeln der vorigen Nr.:

*) Siehe Anm. zu Formel (4).

— 192 -

(^ccßyS) = («•)W + (P')<*') + 2 [Miiei _ ML]

Diese GleichuDg lässt durch ihre Homogenität bereits erken-
nen, dass (aßyd) als ganze Function niederer Formen dar-
stellbar ^ also keine unabhängige Form ist.

Dasselbe Resultat \?ürde sich für die aus dem Falle c »= 3
entspringende Form {^i])(ri^)(j^^) ergeben, sodass hiernach
ein System von vier Functionen .keine unabhängige gemeinsame
Covariante besitzt. Wir schliessen hieraus , dass dasselbe auch
für Systeme von mehr als vier Functionen zutrifft.

Ein System von n binären quadratischen Functionen be-
sitzt hiemach folgendes Formensystem:

a) Aus je einer Function gebildet:

1 . Die n Functionen selbst.

2. Die n Hesse'schen Determinanten von der Form

b) Aus je zwei Functionen gebildet:

3. Die ^ ,7" Hesse'schen Determinanten von der
Form (|iy)2.

4. Die — - — - Functional- Determinanten von der

Form (|iy).

c) Aus je drei Functionen gebildet:

5. Die ^7" 2 3~" Invarianten von der Form

b) Die Function 3. Grades. (CubiBche Form.)
a) Eine Function.

99. Die allgemeine Form dieser Function ist

(1) ax^ = 0,

oder wenn man

( JL a ) sc s=s oCt e* ~t~ '^2 2

setzt:

— 193 —

Durch eine ähnliche Betrachtung wie bei der binären
quadratischen Form findet man, dass die culiscJie Form eine
dreigliedrige FunJctreihe {oder einen dreigliedrigen Stralen-
hüscJiel) vorstellt.

Canonische Formen, — Um für die Gleichung (2) eine
canonische Form zu finden , nehmen wir erstens an , dass zwei
der dargestellten Punkte mit e^ und e.^ zusammenfallen. Dann
ist nach (1)

ae^^ = 0; aaj^ = .
oder

«111 = 0; «222 = 0,

sodass Gleichung (2) die Form annimmt:

«112^l''^2 "l «122*^1 '''2* ''^^ ^;

oder

(3) ^i^2(«ii2^i + «122^2) = 0.

Der dritte Punkt der Function ist also dargestellt durch die
Gleichung:

«112*^1 I «122*^2 '^^ ^'

Ist auch «112 = 0; so folgt aus' dieser Gleichung a;2 = 0-,
d. h. der dritte Punkt fällt mit dem ersten {e^) zusammen.
In diesem besonderen Falle also reducirt sich die canonische
Form auf

1 2 ^^ v.

*

Um eine zweite canonische Form zu finden ^ stellen wir
eine Betrachtung, an, welche der bei der quadratischen Form
gemachten analog ist. Dort wurden ßj und 62 ^Is harmonische
Punkte zu den beiden Punkten (Xj und X.^) der Function
angenommen. Die BedingungsgTeichung dieses harmonischen
Verhältnisses kann nun („Raumlehre'^ Nr. 172) geschrieben
werden :

^1 — ^1 I ^1 — -^2 __ Q.

62 — Xi €2 — Xj

und diese Gleichung lässt sich für die drei Punkte (X^XjXg)
einer cubischen Function zu folgender Form erweitern:

v^; ej - X "^ ^2 - x^ "^ e,;- X, ~ '^'

Sohle gel, Elemente. 13

194 —

Setzen wir nun

,

(«1 + «2) ^1 — «1^1 + «2^2 ;

{ß, + ß2)X, = ß,e, + ß,e,',

i?\ +^2) ^3 — ^1^1 +^2^2 7

folglich:

y«

y.'

so geht Gleichung (4) über in

■ a* , ßt , Yt
''i ^ |5i ^ Vi

Nun sind — , -|^, — als Coordinaten der Punkte X. X, Xo
«1 ' ft ' yi ^ 1 2 j

die drei Wurzeln der Gleichung (2). Wenn also die Summe
dieser Wurzeln gleich Null ist, so ist

(5) «122 = 0.

Durch die Gleichung (4) ist der Punkt $2 bestimmt, so-
bald man e^ irgendwie bestimmt hat. Um die Punctions-
gleichung noch weiter zu vereinfachen, stellen wir eine neue
Gleichung zwischen e^ und 63 auf, welche dann in Verbindung
mit (4) beide Punkte vollständig bestimmen wird. Wir be-
merken für diesen Zweck, dass die Bedingungsgleichung des
harmonischen Verhältnisses auch geschrieben werden kann:

^2 — -^1 I ^2 — -^2

und diese Gleichung giebt Anlass zu der erweiterten Form:
Die Substitutionen (4a) geben:

0^2 ' |52 ' y2 '

oder, mit "^^^'^^ multiplicirt :

P2 . y2 [ y2 . «2 j_ ^» . Pg — - Q
' ßt yi "*" yi * «1 ' «1 ßi

Diese Gleichung, welche aussagt, dass die Summe der Pro-
ducte je zweier Wurzeln der Gleichung (2) gleich Null ist,
ist gleichbedeutend mit

(7) «112 = 0.

— 195 -

Bestimmt man also die Punkte e^ und 62 durch die
Gleichungen (4) und (6), so lautet die canonische Form von (2) :

(8) «111^1^+ «222^2^ = 0.

Die Gleichungen (5) und (7) können geschriehen werden :

Da a die Punktreihe X^ Xg X3 vorstellt, so ist die geometrische
Bedeutung dieser Gleichung in der That dieselbe wie die von
(4) und (6). Dieselbe geometrische Beziehung wie zwischen
dem Paar e^ 62 und der Reihe X^ X2 X3 wird nun obwalten
zwischen irgend einem Punktepaar xy und der Reihe X^ Xj X3,
wenn man hat:

(9) axy'^ = 0] ax^y = 0.

Es ist aber weiter:

Sax'^ = fii)'^ Qax = pK

Die Gleichungen (9) können also geschrieben werden:

Wir sagen hiemach, in üebereinstimmung mit Nr. 90: Wenn
a eine dreigliedrige Punktreihe, und x ein beliebiger Punkt
auf derselben Geraden ist, so ist ax*^ Qiarmonisehes) Gen-
trum erster Ordnung zu der Punktreihe a in Bezug
auf den Pol x. Und es ist ux {harmonisches) Gentrum
zweiter Ordnung zu der Punktreihe a in Bezug auf
den Pol X.

Die geometrische Bedeutung der Gleichungen (4) und (6)
als Bedingungen für die canonische Form (8) lässt sich also
wie folgt aussprechen: Damit eine binäre cubische Form sich
auf die canonische Form (8) redudre, müssen die Punkte e^
und ^2 so gewählt werden, dass jeder von ihnen harmonisches
Centrum erster Ordnung zu der Punktreihe a ist, in Bezug
auf den andern als Pol.

Govarianten, Zur vorläufigen üebersicht mögen alle den 100.
Werthen r = 2, 3, 4, 5 entsprechenden Bildungen aufgestellt
werden, soweit dieselben durch Ueberschiebungen über un-
abhängige Formen zu Stande kommen.

13*

f

f

(1^)'

(«■ji"

'

«

«■

2

3

2

2

3

f

f

• (l#

("■)

2

3

i

t

^Vi)'

(Hl'dti

(«■)«?

3

3

3

2

f

(W'

• (S)'(R)M

(«■)«

3

4

1

1

f

(w(r£i

• (sl)<(iT)(m

(.1);.'

4

4

i

' 1

f

}• ({?)■(£»)■(«)

(.<).■

4

6

2

3
2

f

(Sl)"

} («'(£»;•(«) (i*)

{«-)

4

6

1

t

KIlW'

>{li)'(t»)'(l-)')

(.•)«>

5

7

ß

2

1

f

(£1)'

({i)'(la

]•(»■(£»)■ (fijCS)

(«•)«■

5

ö

3

3

2

f

j<(5)'(ie)'(T")(Ä(S)

(«•)«

5

7

'

Von Formen höherer Orduuag fehlen in dieser Tabelle
(in der die abhängigen Formen durch einen Stern hervor-
gehoben sind) nur noch die Ueberschiebungen über die
3. Potenz von (|»))^ und die zweite von (|ij)*(S£), weil diese
Potenzen, wie unten gezeigt wird, abhängige Formen sind,
und die Ueberschiebungen von (S);)'{S5) ober sich selbst und
Ober das Quadrat von {!»))*.

1) Wir betrachten zunächst die Form

die Hesse'sche Determinante der Function. In andrer Bezeich-
nung, mit Null gleichgesetzt, lautet sie:
(ß')a;2 = 0.

*) Diese Form ist sofort ala abhängige zu erkeDuen uach Nr. 83,
Regel 3. Von den folgenden beiden wird nur die letzte in ßesug anf
ihre Unabhängigkeit untersucht zn werden brauchen.

— 197 —

Um ihre geometrische Bedeutung zu finden, multipliciren
wir die Gleichungen (9), nachdem wir sie auf die Form
gebracht:

und erhalten

oder, falls nicht x und y zusammenfallen, durch Weglassung
des Factors {xy)\

(10) ixy) = a\

Demnach repräsentirt «^ diejenigen zwei Punkte, welche in
Bezug auf einander harmonische Centra erster Ordnung zu der
PunJctreihe a sind, und a^x'^ = ist die Gleichung dieser Punkte.
Eine weitere Eigenschaft dieser beiden Punkte ergiebt
sich durch folgende Betrachtung: Es seien XYZ die drei
durch a vorgestellten Punkte. Construiren wir zu jedem der-
selben den vierten harmonischen Punkt in Bezug . auf die
beiden andern, sodass X^ zu X, Yj zu Y und Z^ zu Z con-
jugirt ist, dann ist, nach Nr. 90 (6) und der darauf folgenden
Erklärung

(11) X^{YZ)Xr, r=(ZZ)r,; Z=(XY)Z^;
multiplicirt :

iXYZ)==^{7Z){ZX){XY).iX,T,Z,)=={XYZ)\{XJ,Z,),
oder, wenn wir X^ Y^Z^ durch a bezeichnen:

d. h. : jeder der Punkte a ist vierter harmonischer Punkt zu
dem entsprechenden Punkte a' in Bezug auf das Paar a^.
Das Paar a^ ist also harmonisch mit jedem der drei Paare
(XX,), (YY^), {ZZ^)y und ist das Doppelpunktpaar der durch
jene ^ Paare gebildeten Involution. Vgl. Nr. 38.

Es mag noch beachtet werden, dass die Hesse'sche Deter-
minante der Hesse'schen Determinante gleich [(a^)^] = («*) ist.

2) Wir betrachten ferner die Form: 101.

oder in anderer Bezeichnung, und gleich Null gesetzt:

(«3)^3^0.

- 198 —

Die geometrische Bedeutung von a^ findet sich, wenn wir,
wie oben, a = XYZ setzen. Dann können wir schreiben:

«3 = (YX)Z . {ZY)X . {XZ)Y.

Vertauscht man aber in jeder der Formeln (11) die beiden
Punkte jedes conjugirten Paares mit einander, so folgt:

Xi = (zr)X; r, = (z^)r; z, = (rz)Z;

mithin ist

(12) a^ =^ (X,Y,Z,);

d. h.: Die Covariante a^a;^ = stelU die drei Punkte dar,
welche man erhält, wenn man su jedem der Funkte a den
vierten harmonischen Punkt in Bezug auf die leiden anderen
bestimmt.

3) Die dritte der zu betrachtenden Formen ist

oder in andrer Bezeichnung, und gleich Null gesetzt:

(«4) = 0,

Sie ist hiernach mit der oben gefundenen Hesse'schen Deter-
minante der Hesse'schen Determinante identisch. Ihr Ver-
schwinden bedeutet, dass das Punktepaar (a^) in einen Punkt
zusammenfallt. Mithin werden die vierten harmonischen
Punkte (X^Yj^i) zu diesem Punktepaar und den Punkten
X FZ unbestimmt. Da aber Xj, Y^,Z^ auch die vierten har-
monischen Punkte zu den Gruppen lxY\z{(YZ),X\ {ZX)yY
sind, so müssen irgend zwei von den Punkten XYZ zu-
sammenfallen, und dies ist die geometrische Bed&idung der
Invariante («*).
102. Peduction auf die Stammformen, — Alle Covarianten der
Function lassen sich aas 4 — 2+1 = 3 Stammformen ab-
leiten, von denen eine, tp^ die Function selbst ist. Es ist
ferner nach Nr. 92:

(13) {a-^)x^ = {üy = 292,

mithin (|^)^ die zweite Stammform. Gehen wiij^ in der Reihe
der oben aufgestellten Covarianten weiter, so findet sich

(«^) = iüf - 0,

nach Nr. 83, Regel 2. Sodann:

— 199 —

iTvnM) = (r - 2|7? + f]^)a - o,

oder mit Weglassung der Glieder, die einen Factor in der
ersten Potenz enthalten , und nach der Bedingung q)^ =
verschwinden:

(14) («3)a;3 = (1^)2 (Ig) = |3 = 9,3.
Weiter findet man:

ia^)x = (1^)2 (fl)(^) 2|2,2 + §2g2 4. ,2g2 _

(«*)«* = myrnm) — in'-Vv' — sy,^

_ _ _ = — i[(a^)a;T*)

(«<)x2 = (gi?)2(g#)»(|g)==0,

weil die Vertauschung von | mit g und von ij mit ö- die Form
ungeändert lässt, nach Kr. 83, Regel 2. Endlich:

(a^) = (i^)nw'(r5)(^) = - ävnü) . (öt)^(rij)

= [|3 _ 21*^ + ,2| - |2,, + 2|ijg - f}H]
. [—9» + 2»H - ^» + #«ij — 2#gij + ^fj], .

oder, ausmultiplicirt, mit Weglassung der verschwindenden
Glieder:

= -2[(a3)a7»]2- [(a?)a;^]3. .

Um diese Gleichung homogen zu machen ^ müssen wir ihre
linke Seite mit (ccx^Y multipliciren^ und erhalten schliesslich:

(15) [ax^Y • («^) = - 2[(a3)a;3]2 — [(a2)^2j3^
oder in der früheren Bezeichnung:

(16) W ' C(g^)'P)HrO(^)] = - 2^3^ - 8g,,3.**)
Hiernach ist (cc^) eine unabhängige Form.

*) Auch auf folgende Art, nach Analogie von (^ti)(^S) ^^ Nr. 92,

— (S^)*(f'ö')*. Vertauscht man rechts f und ^, und bringt das erste
GUed nach links, so folgt: 2(|^)«(|j)(fä^) = — (|^)«(J^)«; oder

(l^)'(lt)(W = -i[(l^)T.

**) Identisch mit den Formeln bei Clebsch a. a, 0. S. 118 (7) und
S. 337 unten.

— 200 —

Wir haben bis jetzt nur die den Werthen r = 2, 3, 4
entsprechenden Covarianten betrachtet. Jede andere Covariante
wird wieder in der allgemeinen Form

enthalten sein, worin r und vi durch die aus w' = 3r — 2c
folgende Bedingung

zunächst in der Weise beschränkt sind, dass r und vi ent-
weder gleichzeitig gerade, oder gleichzeitig imgerade sein
müssen, und dass 3r^w' sein muss.

Es können nun alle in der so definirten Form «** a;*' ent-
haltenen Ausdrücke auf eine oder mehrere Weisen als Producte
aus folgenden Formen dargestellt werden :

d. h. aus der Function selbst, und ihren bisher ermittelten
unabhängigen Covarianten. Diejenigen Formen, welche eine
derartige Zerlegung nicht gestatten, sind identisch gleich Null.
Sind P„ P2 . . • die verschiedenen Zerlegungsweisen einer
Form oT x^\ so ist

worin Aj Ag . . . reelle Zahlen sind. Um die Abhängigkeit einer
Form nachzuweisen, genügt es offenbar, die Möglichkeit einer
einzigen Zerlegung darzuthun.

Bei der Aufstellung der verschiedenen möglichen Formen
haben wir noch zu beachten, dass, wenn nicht schon von
vornherein zerfallende Formen entstehen sollen, c minde-
stens gleich r — 1 sein muss; das Maximum von vi ist also
3r — {r — 1) 2 = r + 2. So erhalten wir folgende Reihen.

Formen ungeraden Grades, - Formen geraden Grades.

{a^x\ [a^x% a^x^f (a^), [a^a;^], («2^4)^

a^x, a^x^y w'x^j a^x^y [«*], (a^rc^), a^x^^ a*a;®,

oi}Xy a^x^, a^x^, a^x'^^tOx^y a^, a^x^y a^x^j a^x^y a^x^.

Hierbei sind die unabhängigen Formen in eckige, die als
verschwindende bereits bekannten (incl. {i,ri) = a?x^) in runde

— 201 —

Klammern geschlossen. Die übrigen lassen sich der Reihe
nach als Producte von «^ oder o^x^ und einer bereits be-
kannten Form darstellen (mit einziger Ausnahme von a^oc)^
und sind daher entweder abhängige oder verschwindende
Formen (letzteres in dem Falle, wo der eine Factor selbst
eine verschwindende Form ist. Der Üeberschiebungs-Ausdruck
der Form verschwindet alsdann nach Nr. 83, Regel 2).

Anmerkung. In der oben gegebenen Uebersicht über die den
Werthen r = 2 bis 5 entsprechenden Formen kam es wiederholt vor,
dass derselbe Ausdruck Resultat von mehreren Bildungen war. Es ist
hiernach denkbar (und kommt bei den Formen von höherem als dem
4. Grade wirklich vor), dass verschiedene Bildungen auf unabhängige
Formen von gleichem Grade und gleicher Ordnung führen. Insbesondere
können Covarianten einer Form in Grad und Ordnung mit Covarianten
ihrer eigenen Covarianten übereinstimmen , ohne doch mit ihnen iden-
tisch zu sein. In diesem Falle verliert der Ausdruck a*"«?** seine Ein-
deutigkeit, und seine Zerlegbarkeit in Formen niederer. Art erlaubt

nur den Schluss, dass, wenn J?i,^2 zwei gleichzeitig durch tü'oip' dar-
gestellte Bildungen sind, eine Gleichung von der Form

besteht^ d. h. dass die eine unabhängige Form i^^ durch die andre 2?2
ersetzt werden kann. Ein Beispiel giebt Formel (11) S. 283 bei Clebsch
a. a. 0. Vgl. auch Nr. 85. ,

Es ist nun noch ofix zu untersuchen, oder

Berechnet man die beiden. Theile {^tifi^^y und (S«)(^3<)(gx)
einzeln, so können alle Glieder, welche -Ö- und ;c in der ersten
Potenz enthalten, wegbleiben, und die Multiplication der
übrig bleibenden Ausdrücke zeigt, dass auch diese Co Variante
gleich Null ist.

Hiernach enthält das vollständige Formensystem der cu-
bischen binären Form nur vier Formen, deren Charactere (c)
in Abhängigkeit von Grad (n) und Ordnung (r) in folgendem
Schema dargestellt sind.

n =

r =

1

2
3

1 4

1

2

3

6

•

2

3

-- 202 -

103.

ß) Zwei Functionen.
Zwei Functionen:

repräsentiren zwei Punktetripel auf einer Geraden.

Covarianten. Ausser den acht Formen, welche den beiden
Functionen, jede für sich genommen, angehören, nämlich:

sind noch sämmtliche in Nr. 100 aufgestellten üeberschiebun-
gen zu bilden, und zwar so, dass die beiden Theile der
üeberschiebung je einer Form angehören. Dadurch entsteht
folgendes System:

Uebers
von

chiebg.
über

1.

2.

3.

Uebers
von

chiebg.
über

1.

2.

3.

ax^

(?a;»

aßx^

ccßx^

aß

a*a;*

ß^x^

a^ß^x^

««(3*

ax^

I3«a;«

ccß^x^

ccß^x

a^x^

ß^X^

*a*j3'a;3

a^ß^x

a*a?*

ßx^

a^ßx^

cc^ßx

«3^3

ß^X^

tcc^ß^x^

a^ß^x

1

ax^

ß^x^

* aß^x*

ccß^x^

aß^

a^x^

ß^x^

*a3|J8^4

*a^ß^a^

ec^ß^

a^x^

ßx^

* a^ßx*

a^ßx*

a^ß

aW

[ß^x'^Y

*a^ß^x^

*a''|52a;3.

a^ß^x

ax^

[ß^x^]^

*aß*x^

*aßW

aß^x

[««ä;«]*

ßW

*a*ß^x^

*cc^ß^x^

tt^ß^X

[a^x^Y

ßx^

* a*ßx^

*a^ßx^

CL^ßX

Die abhängigen Formen sind wieder durch einen Stern
hervorgehoben. *)
104. Beduction auf die Stammformen. Alle Covarianten des
Systems lassen sich aus 8 — 2 + 1 = 7 Stammformen ableiten,
von denen sechs bereits bekannt sind, nämlich 9?o 9^2 93 ^0^2 ^3'
Es ist ferner, wie früher:

und man kann bei der Beduction auf die Stammformen mit-
telst dieser Gleichung eine der Formen 9^ und ^^ eliminiren
und die andere willkürlich bestimmen. Es ist dann {^rj) selbst
die siebente Stammform. Nachdem in Nr. 94 Formel (8) be-

♦) Vgl. Clebsch a. a. O. §. 61.

— 203 —

reits die Ableitung von (|i?)^ gegeben ist, möge hier noch
als Beispiel die von {^rjY folgen.

i^Vy = 93 + 3(9)j^2 — ^1^2) — ^3* — ^^^ erhält zu-
nächst durch die Substitutionen:

9^1 = i^v) + ^1 ; *i = 9i — (S^)

ÜV? = 93 — *3 + 3(1 1?) (9)2 + ^2) — 3(^1 92 — ti ^2)^
Aehnlich wie in Nr. 94 subti^hirt man hiervon :

und erhält:

{Uf - [{UW = 9z-% + HU) (9^2 +^2)

— [9^1^ — 39)1^1(9)1 — ^1) + 3(9?i9)2 - tx^2) — ^1^]-
Man bestimmt nun (p^ und ^^ durch die Gleichung:

9^1^ — 391^1(9^1 — f\) + 3(9)19)2 — ^1^2) — ^1^==
oder:

(9i -- 'l>d^ = — 3 (9), 9)2 — *i ^2)
in Verbindung mit

9^1 — ^l = (l^);

woraus folgt:

9^i(9>2 — ^2) = — \[klvW— %{ln)\

ti (92 — ^2) = -- 1 [(S 'y)]^ — 9^2 (§ ^) •
Die Hauptgleichung aber geht über in:

iUf = 93 - ts + H^v) (92 + i>2) + [(I'J)]',

oder :

homogen gemacht:

[ax^f . [ßx^Y . (aß) = [ßx^Y . itt^)x^ — [a«»]» . (ß^)x^

+ f («/3)a;<, {[ßx,]^ . {a^)x^+ [ax^]\ (ß')x^] + [(aß)x*]\

oder in andrer Bezeichnung:

(2) 9^0^ V^^)' = V9^3— 9?0^^3+ ^W9>2+Wt2)(U)

+ [(S^)P.*)

Nach diesen Resultaten sind die Formen (|i?); (1^)^; (1^)^
sämmtlich unabhängig.

«

) Auch für Formen von höherem Skh drittem Grade giltig.

— 204 —

Anmerkung. Für die Bestimmung der Functionen (pi und '^i,
welche in jedem einzelnen Falle durch eine besondere Gleichung erfolgt^
mangelt es einstweilen noch an einem festen Principe. — Andere,
zwischen den Covarianten bestehende Beziehungen, wie sie bei Clebsch
a. a. 0. S. 223 — 228 abgeleitet worden, sind specielle Fälle solcher
Beziehungen , welche zwischen den Covarianten binärer Functionen von
beliebigem Grade stattfinden, und werden theilweise in Nr, 112 ihre
Erledigung finden. •

•

c) Die Function 4« Grades« (Biquadratische Form.)

105. Die allgemeine Form dieser Function ist
(1) ax^ = 0,

oder, wenn man

(18.) tX/ ^==5 •^1^1 i~ *^2^2

setzt:

(2) ^Jiii^i "1 ^ttj^jjÄJj ^2 "T* ^^J122^1 *^2 "1 4 «1222*^1 "^2

Sie stellt eine viergliedrige Funkt/reihe oder einen vietyliedrigen

Stralenhüschel vor.

Canonische Formen. Um für die Gleichung (2) eine

canonische Form zu finden, nehmen wir erstens an, dass zwei

der dargestellten Punkte mit e^ und Cj zusammenfallen. Dann

ist nach (1):

ae/==0; ae/ = 0;
oder

^1111 =^ ^5 ^2222 =^ ^)
sodass Gleichung (2) die Form annimmt:

(o) ^i^Z^jV^ ^11 12*^1 "r *^ ^11 22*^1 ^2 "l ^^1222*^^2 ) = V.

Die beiden übrigen Punkte der Function sind also dargestellt
durch die Gleichung:

^^1112*^1 "1 t5ajj22^1*^2 I ^^^1222 ^2 '^^ ^«

Ist auch «1^22 = 0; s^ s^^^ diese beide# Punkte (nach
Nr. 90) mit e^ und Cj harmonisch, und die canonische Form
reducirt sich auf

^1112*^1 *^2 i ^1222 '^1^2 *^ ^'

Um eine zweite canonische Form zu finden, bezeichnen
wir die vier Punkte der Function mit X^ Xj X3 X^ , und

— 205 —

bestimmen (analog mit Nr. .99) e, und e^ durch die Be-
dingungen :

(4)

^t — -^1 I ^2 — -^2 I ^2 "^ ^3 I ^ 2 — -^4 n

1 ^ V "T ^ Y I /. Y ^ '

Wenn dann

(«t + «2)^1 = «1^1 +«2^2;

(^1 + ^2)^3 = ^^! +^2^2 5
(*1 + ^2)^4 = *l^l + *2^2

gesetzt wird, woraus folgt:

^1 — ^1 ,^ _ f^ . g| — •^'2 ^_ ßt,

€2 — Xi ffl ' «2 — -3^2 ß '

1

(4a)

^t-^-ys _y2. ^l'~^4 ^

f2-X,— y, ' e2--X4"- d, '

SO gehen die Gleichungen (4) über in

«i + ßt^yi^^i" ^' c.2 + |?2^y2 "^(y«"^^'
Multiplicirt man die zweite derselben mit ^'^'^'/ , so lau-
tet sie:

P2 72 ^t [ 72 , ^2 , <yt 1 ^2 , ^^2 , P2 I *^« . P» . y» ^^ Q

Nun sind — , §^, — , ^ir als Coordinaten der Punkte X, X^X^X.

«i' Pi' y,' dl 12 3 4

die Wurzeln der Gleichung (2). Mithin sind die beiden letzt-
erhaltenen Gleichungen gleichbedeutend mit

(5) «1112 = 0; «1222 = 0.

Bestimmt man also die Punkte Ci und Cj durch die Glei-
chungen (4), so lautet die canonische Form von (2)

W ^iiii^i ~r *^ ^1122*^1 ^2 "r ^2222^2 = ^•

Die Gleichungen (5) können geschrieben werden:

und drücken auch in dieser Gestalt die geometrische Be-
ziehung aus, welche zwischen e, und e,^ einerseits und den
Punkten der Function andrerseits besteht. Setzt man zwei

— 206 —

beliebige Punkte x und y an die Stelle von e^ und ^j, so ist
dieselbe Beziehung ausgedrückt durch die Gleichungen:

(7) ax^y = 0] axy^ = 0.

Da nun

ist, so können die Gleichungen (7) auch geschrieben werden:

Wir sagen demnach (übereinstimmend mit Nr. 99) : W^n a
eine viergliedrige Punktreihe, und x ein beliebiger Punkt auf
derselben Geraden ist, so ist ax^ Centrum erster, und ax
Centrum dritter Ordnung m der Punktreihe a in Bezug
auf den Pol x.

Damit also eine ünäre biqua^ratische Form sich auf die
canonische Form (6) reducire, müssen die Punkte e^ und e2 so
gewählt werden, dass jeder von ihnen harmonisches Centrum
erster Ordnung zu der Punktreihe cc ist, in Bezug auf den
andern als Pol.

Bemerkenswerth »ist noch, dass*die Gleichungen (4) auch
befriedigt werden durch das Systeui

Denn durch Addition dieser Gleichungen erhält man die obere
der Gleichungen (4), und da die eben aufgestellten Gleichungen
auch geschrieben werden können

^a ^ 1 I g« X2 ß, €2 X3 I gg Xj rv

ei — Xi "^ Ci - Xg ~~ ^' ei — Xg "^ Ci - X4 "" ^'
SO zeigt sich, dass man durch Addition dieser Gleichungen
auch die untere (4) erhält.

Durch das System (8) sind aber e^ und e^ als Doppel-
punkte der du/rch die 4 Punkte der Function gegebenen Invo-
lution bestimmt Es reicht also diese Bestimmung zur Her-
Stellung der canonischen Form (6) aus.

In einem speciellen Falle gestattet die Form (6) npch
eine weitere Vereinfachung. Dieselbe tritt ein, wenn die
vier Punkte der Function so beschaffen sind, dass

^1122 "^ ^•
Die canonische Form ist dann

(9) ^ihi^i I ^2222^2 *= ^'

— 207 —

Nun haben wir oben geseben, dass, wenn a^u^ = ist, das
eine Pnnktepaar der Function mit dem anderen (oben e^ und Cj)
harmonisch ist. Diese geometrische Seziehüng der vier Punkte
ist also äie Bedingung für die Vereinfachung der Gleichung (6)
auf die Form (9). *)

Covarianten. Zur Toriäufigen Uebersicht mögen alle den 106.
Werthen r ^2 und 3 entsprechenden Bildungen aufgestellt
werden, soweit dieselben durch üeberschiebungen über nu-
abhängige Formen zu Stande kommen.

vielte

von

über

der CoTariante

'

1

(W-

(«■)»:'

2

3

4

3

f

•(£!)■

M»'

2

3

6

4

f

(!*'

(«•)

2

4

«

(il)"

(S *•(«£)

(«■)»!•

3

3

6

({>!)'

•(iil)'(iS)'

(«■)«!

3

^

*

(S-i)'

•(ei)'(st)*(in

(.>):^

3

5 2

(rn-

(i^)"«)'«)'

«

9

6

*) Andere Ableitung dieses Besultates. — Wenn das Paar X,X,
gleichzeitig mit X,X^, nnd mit e,ei harmoniach ist (die zweite An-
nahme kann stets gemacht werden) dann ist nach „ßaamlehre" Nr. 170
(am Schluss):

«1-^. €|-X, 1 e,-X, f ,-X^ _
e, — Xj e, — X, ■•" f s - X, e, — X, ~ '
oder, mit Rücksicht auf (la)

(a)

= 0.

Femer liefert die Annahme, dau X,Xi mit X,X, harmoniach ist, für
sich allein die Gleichung:

— 208 —

Die abhängigen Formen sind in dieser Tabelle wieder
durch einen Stern hervorgehoben. Die Formen höherer Ord-
nungen sind weggelassen, weil, wie sich unten zeigen wird,
nur noch eine derselben, nämlich die vierte üeberschiebung

von /-über (1^)2 (l£) [in Zeichen: {lv)Hi^y(MY{v^)=WiX)^]
einer besonderen Untersuchung bedürfen wird.
1) Wir betrachten zunächst die Form

die Hesse' sehe Determinante der Function. In anderer Be-
zeichnung, mit Null gleichgesetzt, lautet sie:

Um ihre geometrische Bedeutung zu finden, bestimmen
wir zu je dreien der vier Punkte {XYZU) der Function die
vierten harmonischen Punkte (X^F, Z^ U^\ sodass (nach Nr. 90,
Formel 6)

Z= {UZ)Y,] Y=={XZ)U,]

,Z={UY)X^:, V--={XY)Zy.

Durch Multiplication dieser vier Gleichungen erhält man:

(XYZU) = {UZ)(XZ){UY){XY) . {X,Y,Z, U,)-,

oder, wenn man {X^Y^Z^ U^) = a setzt:

Wenn nun oben ax harmonisches Centrum dritter Ord-
nung zu der Punktreihe a in Bezug auf den Pol x war, so
können wir jetzt sagen : Jeder der FunJcte a ist harmonisches
Centrum dritter Ordnung ßu der PunUreihe («^) in Bemg auf
den entsprechenden Funkt a als Pol,

oder wegen (a)

^ ^ «1 Vi ^ ßi yi «1 ^\ ^ ßi ^i

Durch Additiou von (a) und (b) aber erhält man

"1122 = ö«

Da ferner eiC^ mit XfXj^ harmonisch ist, so ist, wenn man eie^ durch
die fernere Bedingung bestimmt, dass es auch mitX3X4 harmonisch sei,

«1112 = 0; «1822 = 0,

wie schon oben gezeigt wurde; mithin ist durch diese Annahmen die
Form (2) auf (9) reducirt.

— 209 —

2) Wir betrachten ferner die Form 107.

oder in andrer Bezeichnung, und gleich Null gesetzt i

(«3)^6 = 0.

Ihre geometrische Bedeutung ergiebt sich unmittelbar, wenn
wir («3) in der Form schreiben:

(«3) = [{XY)(ZU)] . [(XZ){TTr)] . [(XÜ){YZ)].

Es ist nämlicB (nach Nr. 93, Formel 5) {XY){ZU) das Paar,
welches gleichzeitig mit (XY) undmit(ZZ7) harmonisch ist.
Bezeichnen wir dasselbe mit (-4,2-^34), und wenden auf die
beiden anderen eckigen Klammern analoge Bezeichnungen
an, so ist

(«3) -_ (^^^ ^^^) (^^^ ^^^) (J^^^ ^^^) ^

Bildet man also aus den vier Funkien der Function auf
dreifache Weise je zwei Paare, und sucht zu jedem der drei
Doppelpaare das gemeinsame harmonische Paar^ so sind diese
drei neuen Paare dwch die Covariante (a?)x^ = dargestellt,*)
Vgl Nr. 38.

3) Die dritte der zu untersuchenden Formen,

oder in andrer Bezeichnung und gleich Null gesetzt:

(«2) =

ist eine Invariante; ihr Verschwinden drückt also eine zwischen
den 4 Punkten der Function bestehende Beziehung aus. Wir
finden diese Beziehung, wenn wir sie in der Form schreiben:

2(a2) _ (XY){ZU) . {XZ){YU) + (XUy.{YZf = 0.

*) Weun man von der Form (a*)aj*'die Covariante (Si2)*(6S)* bil-
det, 80 lautet dieselbe {a^)x^. Dieser Ausdruck ist aber das Product
aus a^ und a^rc^, (weil, wie sich unten zeigen wird, die andere Zu-
sammensetzung aus a^x^ und a^x'^ wegen a^rc* = hinfällig wird),
unterscheidet sich also von a^x^ nur durch eine Invariante, und stellt
daher die nämlichen 6 Punkte dar, wie a^x^\ In dieser Beziehung liegt
der Satz: Bildet man aus den vier Punkten (oc^) auf dreifache Weise
je zwei Paare ^ u/nd sucht zu jedem der drei Paare das gemeinsame har-
monische Paar^ so erhält man dieselben drei Paare, als wenn man von
den Punkten a ausgeht.

Sohlegel, Elemente. 11

— 210 —

Betrachtet man in dieser Gleichung die Producte je zweier
Buchstaben als äussere, so stellen dieselben Linientheile vor.
Ersetzt man dieselben durch die entsprechenden Strecken
{XY durch X — Y etc.), so geht die Gleichung in die Be-
dingungsgleichung äquianharmonischer Punkte über. (Vgl.
Nr. 47 am Schluss.) Mithin zeigt das Verschwinden der In-
variante (a^) an, dass die vier FunMe der Function sich in
äquianharmonischer Lage befinden.
^4) Die letzte Form

- oder in andrer Bezeichnung und gleich Null gesetzt:

(«3) = 0,

ist ebenfalls eine Invariante. Ihre geometrische Bedeutung
geht unmittelbar aus der unter 2) gegebenen Form hervor:

(«3) = l{XY)iZU)] . [{XZHTÜ}] . [iXU){rZ)] = 0.

Diese Gleichung wird nämlich befriedigt, wenn irgend
einer ihrer drei algebraischen Factoren gleich Null ist, z. B.
wenn

(xr)(z?7) = o.

Diese Gleichung sagt aber (nach Nr. 93, Formel 3) aus,
dass das Paar XY mit ZU harmonisch ist; mithin zeigt das
Verschmfiden der Invariante (a^) aw, dass die vier Punkte
der Function sich auf irgend welche Weise in harmonischer
Lage befinden.
108. Beduction auf die Stammformen. — Alle Co Varianten der
Function lassen sich aus 5 — 2+1 = 4 Stammformen ab-
leiten, von denen eine, (pQ die Function selbst ist. Es ist
ferner

(10) (a^)x^ = (1^)^ = 2<p^] (Nr. 102, Formel 13).
{tt^)x^ = (X^y = 0; (Nr. 83, Regel 2).

(11) {a^)afi = (ü)'(|g) = 93; (Nr. 102, Formel 14).
Weiter ist

(1^)4 = I* - 4|»ij + 61^»?' — 4|i?9 + ij*

= 9>4 + ^W + 9i ;
also:

(IIa) (a^) = (|^)« = 2(91.4 + 39,3»).

— 211 —

Hieraus folgt:

9E.,=i(a»)-i[(a2);r*P,

oder^ homogen gemacht:

oder in andrer Bezeichnung:

(12) <P4 = i<(l?)'-392';
oder:

(13) Jg'o'(N)* = 9'4 + 39.S*)

wodurch sich (Itj)* als unabhängige Form kennzeichnet.
Die nächste Form ist (vgl. das Beispiel in Nr. 85. Anm.)

= i(94 + 39'2') = i(a'),
oder, homogen gemacht:

also eine abhängige Form.
Die nächste Form

(a^)a;2 = (|^)2(|g)2(^)

verschwindet nach Nr. 83, Regel 2, wie sich zeigt, wenn man
r^ mit 5 vertauscht. Es bleibt noch zu betrachten:

(a')=(l^)2(l£)M"^g)'=(5--2|i?+iJ*)(g*-2|g+g^)(i22-2.jg+g2).

Bei der Multiplication der ersten beiden Klammern können
die Glieder, welche | in erster Potenz enthalten, wegbleiben.
So erhält man:

(«3)=(|4_2|3g_2|3^+4|2^g_^g2J2^|2,2^^2g2,(^2_2,g+g5)

= 1^»?' + 1*5' — 2|3g3 — 2g3-.?3 — 8|»1j'52 + g*))'g*+ IH*
+ |ilj< + |2lj»g2 + 1j<g2_2,3g3 + ^2g4

(13a) (a^) = 6q)^g)^ — 6g>3^ — 6g>2^.

-^ («3) = |(a2) [(a*)a;*] — |[(a')«*]3 — [(a')««]* — ^ [(«*) a;^]»
= i(a*) [(«'')«'] — i[(a*)a;*]3— [(«3)3;«]%

*) Identisch mit der zweiten Formel auf S. 337 bei Clebach a. a. 0.

14*

— 212 -
oder, homogen gemacht:

oder in andrer Bezeichnung:

(14) iq>/ ' iivY mnvty = <po' . «Psd^»)* - 492» - 93^*)

wodurch (a^) als unabhängige Form nachgewiesen ist.

Die übrigen aus der Function ableitbaren Covarianten
lassen sich entweder als Producte der Formen

darstellen, oder sind, sofern sie diese Zerlegung nicht ge-
statten, gleich Null. Wir erhalten mit Rücksicht auf die
Bedingung, dass das Maximum von w' gleich 4r — (r — 1)2
= 2r + 2 ist, die Reihen: ^

[«2], (a2i^2)^ [a^x^'], («^a;«).

a'

a^x^j a*a^, a^a;^, a*a;^, a*a?

10

worin die unabhängigen Formen in eckige, die bereits als

verschwindend bekannten (incl. {^rfj = a^x^) in runde Klam-
mern geschlossen sind. Es ist ferner a^x* bereits als ab-
hängig nachgewiesen. Alle übrigen Formen aber sind als
Producte früherer Formen darstellbar, mithin theils abhängige,
theils verschwindende Formen (letzteres in dem- Falle, wo
der eine Factor selbst eine verschwindende Form ist. Der
lleberschiebungs- Ausdruck der Form verschwindet alsdaun
nach Nr. 83, Regel 2).

Hiernach enthält das vollständige Formensystem der bi-
quadratischen binären Form nur fünf Formen, deren Cha-
ractere (c) in Abhängigkeit von Grad (n) und Ordnung (r)
in folgendem Schema dargestellt sind:

n =

%

1

2
3

2

4

6

4
6

2

3

*) Identisch mit der zweiten Formel auf S. 143 bei Clebsch a. a. 0.

— 213 —

Unter den abhängigen Formen verdienen noch zwei eine 109.
nähere Betrachtung.

1) {a^)x\ ein Theil der dritten Ueberschiebung von/* über

(S^)^(SS)« — Nach der bei den cubischen Formen gegebenen
üebersichtstabelle ist

und nach Nr. 102, Formel 16 ist (ohne Homogenität) :

(«4)^4 2ip,^-8ip^\

Hiemach wäre {a^)x* eine unabhängige Form, da man zur
Herstellung der Homogenität links 9?^^ hinzufügen muss. Wir
können aber {a*)x^ durch die invarianten Bildungen (IIa)
und (13a) der Nr. 108 ausdrücken. Zu diesem Zweck addir^n
und subtrahiren wir rechts 29)29^4 ^^^ erhalten:

oder, nach Formel (IIa) und (13a) Nr, 108:

. . («V = ^-9'2(«^),

oder, homogen gemacht:

(15) («*)^* = <Po^-f - ni«') ■

Es liegt also hier der Fall vor, dass ein Ausdruck, wel-
cher den Stammformen gegenüber unabhängig erscheint, als
abhängige Function andrer Formen darstellbar ist. Combinirt
man bei der Herstellung der Ueberschiebung die Buchstaben
anders als oben, so entstehen Formen, die gleichfalls durch
(a^)x* ausgedrückt werden, sich aber sogleich als abhängige
Formen darstellen, indem sie entweder in (Pq{cc^) oder in 92(^0
übergehen. Es verdient bemerkt zu werden, dass a*x^ un-
mittelbar die Zerlegungen (cc^){ax^) und {a'^){a^x*) liefert.

2) (a^), die sechste Ueberschiebung von (§)^)^(|g) über
sich selbst. Aus der Form dieser Invariante schliessen wir
auf eine Zerlegung von folgender Gestalt:

(a«) = A[(a*)]3 + ^[(a3)P.

Für den Fall, dass (a^) gleich Null ist, wird man haben:

[c^ _ _ JL

_ 214 —

Wenn die Function f, statt auf (e,, e.^, auf zwei andere
Punkte (fj, ^2) bezogen wird^ so ist nach Nr. 78:

(^1^2) = ^(^1^2);
wobei ^ der Modulus der Transformation (nach Nr. 62) ist.
Um nun die beiden Ausdrücke

auf das neue Punktsystem zu beziehen , hat man jedem alge-
braischen Factor noch z/ als Factor hinzuzufügen; daher
geht über

(«2) in (a2)z/*; {a^) in («3)^6;

[a^f in M5^»2. [-«3]2 in («3)^12.

mithin bleibt der Ausdruck t—^ bei der Transformation gänz-
lich unverändert (während sonst eine Potenz des. Modulus der
Transformation hinzutritt). Dieser Ausdruck heisst daher eine
absolute Invariante, Er ist also von den Coefficienten a^m etc.
der Coordinatengleichung von f durchaus unabhängig, und
besitzt einen absoluten Zahlenwerth, der sich lediglich nach
der gegenseitigen Lage der vier durch die Function dar-
gestellten Punkte richtet. Wir wollen diesen Werth bestim-
men für den Fall dass zwei dieser Punkte zusammenfallen.

Wenn wir zu diesem Zweck auf die erste der oben auf-
gestellten canonischen Formen zurückgehen, so finden wir,
dass, wenn e^ und ^2 das eine der beiden Punktepaare ist,
das andre durch

^1112^1 ~r Y ^1122*^1^2 "r ^1222*^2 ""^ ^;
oder in kürzerer Bezeichnung durch

(16) aia?j2 + — a^x^x^ -f ag^ = ö

ausgedrückt ist. Man findet ferner:

(17) («2) = 2(3^2^ — ^ciiCiz) ; («^) = 6a2(2aj a^ — «2^)-

Soll nun (16) ein Paar zusammenfallender Punkte ausdrücken,
so muss die linke Seite dieser Gleichung ein vollständiges
Quadrat sein; d. h. man muss haben

-^a^ = 2}/a^a^y

f

— 215 —
oder

(18) V = -9-»i«3-

Dieser Werth, in (17) eingesetzt, giebt:

demnach :

[«2]3 = ^ (a, a^)^ 5 [«3]2 = I- («1 %)' 5 •

1^ = 6

Hiemach ist

(«6) = [a2]3 ___ 6 [a3J2

diejenige Invariante der Function, deren Verschwi^iden das
Zusammenfallen von zweien ihrer Punkte bedeutet.

Diejenige Invariante einer binären Function, welche 110.
diese Eigenschaft besitzt, heisst ihre Discrifninante. Da nun
n Punkte, von denen zwei zusammenfallen, in Wirklichkeit
nur n — 1 verschiedene Punkte vorstellen, so folgt, dass das
Verschwinden der Discriminante einer Function ccx^ = mit
der gleichzeitigen Geltung der Gleichungen

/*«= aoc^ = 0; f^^^ = n . ax^-^ =

zusammenfallt. Aus der zweiten dieser Gleichungen folgt nun

f^=n , axi^-^e^ = 0; /i = nax'^^^e2 = ^•

Eliminirt man zwischen diesen beiden Gleichungen x^ und X2,
so bleibt eine zwischen den Coefficienten der Gleichung /*=
bestehende Gleichung, welche mit der gleich Null gesetzten
Discriminante identisch ist. Nun ist nach Nr. 70 das Resultat
der Elimination der Variablen aus zwei Gleichungen vom
m. und n. Grade eine Gleichung vom Grade m + w in den
Coefficienten. In unserem Falle also, wo diese Summe gleich
2(n — 1) ist, wird die Ordnungszahl der Discriminante
r = 2(n — 1) sein. Wir können daher auch sagen: Wenn
ax^ = eine binäre Function n. Grades ist, so ist ihre
Discriminante eine Invariante von *der Form

— 216 —

Hiernach sind die Discriminanten der quadratischen, cubischen
und biquadralischen Form resp. ausgedrückt durch

CC'

a

4

a

6

Für alle drei Formen ist oben die geometrische Bedeutung
ihres Verschwindens bereits nachgewiesen worden.

111. Wir schliessen hiermit die systematische Betrachtung
specieller binärer Functionen. Die für das vollständige Formen-
system der cubischen und biquadratischen Function gegebenen
kleinen Tabellen lassen eine gesetzmässige Anordnung der
unabhängigen Formen nicht erkennen, da die Zahl der For-
• men zu gering ist. Dass aber ein solches Gesetz existirt,
wird wahrscheinlich, wenn man in den bei Clebsch a. a. 0.
auf Seite 277 u. 296 gegebenen Tabellen des Formensystems
der Functionen 5. u. 6. Grades jede Form durch ihren Cha-
racter bezeichnet, was mittelst der Gleichung n' = rw — 2c

oder € =

rn~ n.

leicht ausführbar ist. Diese Tabellen neh-

men dann folgende Gestalt an:

Vollständiges Formensystem der Function^ fünften Grades.

n

c* 1

—5

-4

-3

-2

— 1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

2

1

4

6

5

2

3

4

10

8

7

5

6

16

12

14

"Tf

13

9

7

18

t

17

15

8
9

22

24

23

20

19

21

10

26

(25)

11

29

31

28

30

27

12

13

35

34

33

32

14

37

36

1

15

40

39

38

16

42

41

17
18

!

44

43

~45'

— 217 —

In dieser Tabelle sind die Formen mit negativem n des
Zusammenhanges wegen hinzugefügt. Der Werth c = 25
liefert eine abhängige Form.

Vollständiges Formensystem der Function sechsten Grades.

n =

r ==

)-6

1

-4

-2

2

4

6

8

10

12
3

1
)

1

1

2

1 3
4

5

6

7

8

9

10 1
11
12
13
14
15

1
1

1

t

1 24

36

20

26

32

38
41

16

6
12
18

8

14

(17)

23
29
35

4

10
13

19

25

6
9

15

2
5

11

7

22

1
28

(21)
(27)

31
34
37

30

(33)

(39)

43

45

üeber die Formen mit negativem n vgl. oben. Die ein-
geklammerten Formen sind abhangige. Zwei Formen haben
den Character 6.

In beiden Tabellen muss man die Formen von geradem
und diejenigen von ungeradem Character für sich allein ver-
folgen.

d) Beziehungen zwischen den Covarianten einer oder mehrerer

Functionen n. Grades«

Ausser den Beziehungen, durch welche die Covarianten 112,
einer Function mit den Stammformen verbunden sind, exi-
stiren noch mannigfache andere Beziehuugen zwischen den
ersteren, von denen oben gelegentlich Beispiele gegeben
wurden. Wählt man zur Bezeichnung einer Covariante die
Form (|i/)"(|5y..., so kann man diese Beziehungen un-
abhängig von dem Grade der gegebenen Function dadurch
herstellen, dass man irgend einen Factor (|i/) als Differenz
(5 — 1/) schreibt, dieselbe durch Einführung eines anderen

— 218 —

Buchstabens g in (g — g) — (i^ — g) oder (| - g) + (g - n)
verwandelt, und in der gegebenen Co Variante (^rf) durch
(Ig) — (^g) resp. (Sg) + (gi^) ersetzt. In einer so erhaltenen
Formel, welche für ein System von soviel gleichzeitig ge-
gebenen Functionen gilt, als sie verschiedene Buchstaben
enthält; kann man nun Buchstaben einander gleich setzen^
und solche Glieder der Gleichung, welche durch Vertauschung
zweier gleichgesetzter Buchstaben in einander übergehen, ver-
einigen. In jedem einzelnen Falle wird man schliesslich die
Formel auf die bekaunte Art homogen machen.

Beispiele:

a) r = 3. •

l)c=l. -- arj). Manhat(|-i?)=(g-g) + (g-i?);
also: {^1]) = (gg) + (g'»?), oder (als Grundformel):

homogen gemacht, wenn (p^, to) Xo ^^^ ^^ S; ^j g gehörigen
Functionen sind:

2) c = 2. - avT = m) - ivo? = iuy + (vty

- 2{%ri)(7ii). Andere Zerlegung: (|i,)'^ = {UWi) - in^J]

- an){U) + mini)-

Die erste dieser Formeln geht für i? == g über in (lyg)^
= 2(|iy)(i2g); die zweite für 1 = 72^^ ^^® gleichbedeutende:

(1^)^ = 2(1^) (lg).

3) c = 3. — (1^)^ Man kann einen, oder zwei, oder
alle drei Facforen auflösen. Die beiden ersten Fälle geben:

iUf = {W (S - iUy inl) ; und (ii,)^ = (i,,) {Uf

*) Die Ableitung dieser Grundformel mag hier noch auf einem
zweiten Wege ausgeführt werden, welcher den Vorzug hat, dass er
auch bei Functionen höherer Stufe zum Ziele führt. Die Grössen {x 5),
{X7i)^ (icg) sind nach Nr. 81 gleich Null; mithin ist auch

{xi){sc7i){xi) = 0,
oder:

oder, durch x^ dividirt, und mit Ersetzung von (a;{), (ajiy), (ajf) durch
ihre resp. Werthe qpo» '^o» Zo*

^ 219 —

-2(|i2)(|g)(i?g) + (ii?)(7?g)2. Hierausfolgt: 2(gi2)(|g)(^g)

+ {UYm - (l^)ag)^ = i.%n){nlY - (l^)'(^g), oder, da
man statt (giy)^(|g) — (|i^)(ig)^ wieder (|iy)(|J:)(gi^) schreiben

kann, (Si?)(SS)(^0 = (§^)(^S)^"~ (5^)^(^5)- Man würde diese
Formel auch erhalten, indem man die der vorigen Nr. mit (i;g)
multiplicirte.

4) c = 4. Sei (gi/)2(gg)(i/g) gegeben. Löst man (^r\)

auf, so folgt: (r^)nig)(i?£) = (f^)(ge)^(i?0 + (i^)(lg)('2Ö'-
Da die beiden Glieder rechts durch Vertauschung von | und ri
in einander übergehen, so hat man schliesslich:

Für zwei cubische Functionen ist diese Formel gleich-
bedeutend mit einer der beiden, bei Clebsch a. a. 0. S. 223
unter Nr. 5 gegebenen, jenachdem man y\ durch | oder ^ durch
ri ersetzt.

/J) r = 4.

1) c = 2. Wenn man die Grundformel des vorigen Falles
in der homogenen Form yx\(i,t\) -{- «^»»(i^g) + /^^"(§l) = ^
schreibt, und mit einer neuen Function 8o(S^-^ multiplicirt,
so folgt: 3/*a;2'»-2(|^) _|. aSx'^'-^iri^ + /3*a;2«-2(g|) = 0,

oder, wenn %^ der neuen Function entspricht:

als neue Grwndformd, die bereits homogen ist.

2) c = 5. Durch die Substitution (|g) = (|*) — (g^)
geht {%rif{U){l»y in (|ij)M5*)(SÖ')'- (5'?)'(5^)' über. Setzt
man | == ij = S> so ist:

Anmerkung. Wir haben in dem Abschnitt über binäre Functio-
nen die Punktreihen als zusammengesetzte Grössen kennen gelernt,
und gesehen, welche Gleichungen zwischen diesen Grössen bestehen
müssen^ damit sie die in der zweiten Abtheilung dieses Buches be-
handelten geometrischen Eigenschaften besitzen. Da diese neue Be-
handlungsweise einer Punktreihe keine neuen geometrischen Resultate

*) Für n == 3 ist diese Formel, jenachdem man | oder ri stehen
lässt, analog den bei Clebsch a. a. 0. S. 223 zwischen (6) und (7) stehen-
den Formeln. Der Unterschied rührt davon her, dass oben nur ein
Theil der Ueberschiebung zu Grunde gelegt ist.

- 220 —

liefert , so ist sie nur als Vorstufe für die an zusammengesetzten Grössen
in der Ebene anzustellenden Untersuchungen wichtig, als solche aber
auch unentbehrlich. Ueber das Verhältniss der oben gegebenen zu
der bisherigen Darstellung ist bereits in der Anmerkung zu Nr. 86 das
Nöthige gesagt worden. Man vergleiche auch die Anmerkung am
SchluBB von Nr. 51.

B. Gebiet der Ebene. Functionen 8. Stufe. (Ternäre Formen.)

Die Function 2« Grades« (Quadratische Form.)

a) Eine Function.

113. Die allgemeine Form dieser Function ist
(1) ax'^ = 0,

oder wenn

(1 ä ) X ^^ X\ e* ~t~ 3/9 Co "i **^3 ^3

gesetzt wird,

\r) ^11*^1 H"^22^2 "l"^33'*'3 +^(^12'^l'^2">'^23'^2'^3"l"^3l*^3'^l)^^^"

Da diese Gleichung zwei unabhängige Variablen enthält,

— und — , so entspricht jedem ''beliebigen Werthe der einen
x^ x^

ein bestimmter Werth der anderen, und jede stetige Aenderung
der einen bewirkt eine stetige Aenderung der anderen. Die
Gleichung stellt daher eine stetige Reihe von Punkten oder
Geraden vor, jenachdem 6162^3 Punkte oder Strecken sind.
Im ersten Falle sagt die Gleichung (1), dass der Punkt x,
welcher durch seine Bewegung jene stetige Punktreihe be-
schreibt, stets auf dem Gebilde a liege; also ist a eben jene
Punktreihe, die wir nun Curve nennen, und zwar Curve
zweiten Grades (Kegelschnitt) weil die bestimmende Gleichung
eine Gleichung zweiten Grades ist. Im zweiten Falle kann
man e^e^e^ und x als Ergänzungen von Punkten betrachten,
und X ist dann nach Nr. 8^ Tangente an die Curve «. Die
Gleichung (1) sagt also, dass die Gerade x, welche durch
ihre Bewegung die oben erwähnte stetige Reihe von Geraden
beschreibt, stets Tangente an die Curve cc sei, die somit von
jener Reihe von Geraden umhüllt wird.

Anmerkung. Da die Ergänzung eines Punktes im Gebiet der
Ebene nicht mehr, wie im Gebiet der Geraden, "wieder ein Funkt,
sondern ein Linientheil ist, so sind die durch die verschiedenen Auf-

- 221 -

fassaugsweisen von e, €2 etc. bedingten Erzengaugen einer zusammen-
gesetzten Grösse in der Ebene wesentlich von einander verschieden und
daher gesondert zu betrachten. Die zweifache Entstehung der Kreis-
linie wurde bereits in der „Raumlehre" Nr. 103 besprochen.

Setzt man x^ = 0, so stellt x nach (la) einerseits ein
Punktepaar vor, welches sowohl auf dem Kegelschnitt wie
auf der Geraden (e^ e<^ liegt, und welches durch die Gleichung
(2), die nun eine binäre Function wird, genau bestimmt ist.
Da ^ und e^ beliebig gewählt sind, so schneidet nicht nur
die Gerade (e^e^, sondern jede Gerade den Kegelschnitt in
2 Punkten. — Andrerseits stellt x ein Geradenpaar vor, wel-
ches gleichzeitig durch den Punkt (ßiCj) geht und den Kegel-
schnitt berührt. Man schliesst hieraus , analog wie oben, dass
man aus jedem Tunkte an einen Kegelschnitt 2 Tangenten
ziehen kann.

Canonische Formen. 1) Wenn e^e^e^ so angenommen 114«
werden, dass sie auf der Curve selbst liegen, so müssen diese
Punkte, statt x gesetzt, der Gleichung (1) genügen. Man

hat also:

«01^ = 0; ae^ = 0\ ae^ = 0'^
oder

«,1 = 0; «22 = 0; «33 = 0;

mithin nimmt (2) die Form an:

eine Gleichung, welche durch je zwei der Werthe Xi = 0,
X2 = 0f x^ = befriedigt wird. Es ist also in der That,
wie aus (la) hervorgeht, x = x^ei oder 0:2^2 ^^^ ^3^3-

2) Für die binäre Function 2. Grades wurde die zweite
canonische Form bestimmt durch die Bedingung «6^62 = 0,
oder e^ ^ «Cj*); ^2 ^ ^^i* ^^ analoger Weise mögen nun-
mehr die drei Punkte 6,^2^3 bestimmt werden durch die Be-
dingung:

«6,^263 = 0,
oder:

(e, 62) = a «3 ; («2 «3) = ««1 ; (^3 61) = « ^2 .

Multipliciren wir diese Gleichungen resp. mit e^y Cj, e^,
so wird die linke Seite als äusseres Product, welches zwei
gleiche Factoren enthält, jedesmal Null; man erhält also:

*) Das Zeichen = bedeutet: ,,gleich, bis auf einen Zahlfactor'*.

-^ 222 —

(^1^2)^1 = «^3^1 = 0-, (^263)62 = «6162 = 0;

(^3^1)^3 = «^2^3 = 05
oder:

«31=0; «12 = 0; «23 = 0.
Demnach nimmt (2) die Form an:

(4) «11^1 ~r «22 -''^i "T «33^3 "'^ 0.

Es fragt sich nun weiter, in welcher geometrischen Be-
ziehung die so gewählten drei Punkte e^, e^^ e^ zur (üurve
stehen. Seien x, y, z drei beliebige Punkte der Ebene. Die-
selben werden in derselben Beziehung zur Curve stehen, wie
e^, 62, 63, wenn man hat:

axyz = 0,
oder:

(y^)^ax] {zx)^iay\ {xy)^az.

Da f = § = 2«a?, so ist die Gerade {yz) dasselbe wie
die Gerade f , Nimmt man nun an , dass x auf der Geraden
{e^ e.^ liege, so geht die Formel a? = rr, 6^ + ^2^2 + %^3 ^^^^
in x = x^e^ +^2^2- ^^^ Gerade {e^e^ schneidet dann den
Kegelschnitt in einem Punktepaar a und die 'Gerade {yz) in
einem Punkte x. Aber wenn man in der Gleichung (yz) ^aXy
oder f ^ax, worin man sich x durch e^e.^e^ ausgedrückt
denken mag, a?3 == setzt, so verwandelt- sich (f) in den
Schnittpunkt dieser Geraden mit {e^e^^ und a in das Punkte-
paar, in welchem (^162) ^^^ Curve schneidet. Also ist

x^dx\

d. h. (nach Nr. 90 (6)): x' ist der vierte harmonische Punkt
zu X in Bezug auf das Paar d. Da nun e^ und e<^ beliebig
angenommen werden können, so hat jede durch x gezogene
Gerade die Eigenschaft, dass ihre Schnittpunkte mit der Curve
harmonisch sind zu ihrem Schnittpunkte mit (yz) und zu x.
Anders ausgedrückt: Die Gerade ax ist der geometrisehe Ort
des vierten harmonischen Punktes zu dem Faare der Schnitt-
punkte einer beliebigen durch x gezogenen Geraden mit der
Curve ccy in Bezug auf den Punkt x. — Vermöge dieser Eigen-
schaft heisst {ax) (harmonische) Centrale erster Ordnung
(wegen f^^^) zu der Curve a in Bezug auf den Pol x. Es
heissen ferner x und sein vierter harmonischer Punkt zu-
sammen harmonische Pole des Kegelschnitts.

— 223 —

Anmerkung. Bei einer Curve w. Gradea wird das durch f^^ dar
gestellte Gebilde Centrale p. Ordnwng in Bezug auf den Pol x genannt,

dagegen das durch f^^"^^ dargestellte Gebilde Polare p. Ordnung in
Bezug auf das Centrum x. Da für n =» 2 und p = 1 die Gleichung
f{p)^fin~p) besteht, so fallen für die Kegelschnitte die Begriffe Cen-
trale und Polare, sowie Pol und Centrum zusammen. Wir werden
daher, dem Sprachgebrauche gemäss, die Bezeichnungen Pol und Po-
lare anwenden. (Vglf „Raumlehre" Nr. 174.) — Es mag bei dieser Ge-
legenheit bemerkt werden, dass die p. ,, Polare" andrer Autoren bei
Grassmann „Centrale" von p. Ordnung heisst, während die (n — p). Po-
lare hier Polare p, Ordnung genannt wird.

Hieraus geht hervor, dass die allgemeine Gleichung (2)
eines Kegelschnitts sich auf die canonische Form (4) redudrt,
wenn die Punkte e^e^e^ so gewählt werden, dass in dem Drei-
eck derselben jede Seite die Polare des Kegelschnittes ist, in
Bezug auf die gegenüberliegende Ecke als Pol,

Sätze über Pol und Polare. — Wenn in der vorigen Nr. 115.
die Buchstaben e^, e2, e.^, Xy y, z Strecken bedeuten, so ist a
das Tangentenpaar, welches man von dem Punkte (61^2) ^^
die Curve a ziehen kann, und x die Verbindungslinie zwi-
schen den Punkten (^1^2) ^^^ (2/^)* Wenn dann wieder in
der Gleichung /*' = ccx für x^ der Werth Null gesetzt wird,
so verwandelt sich f in die Verbindungslinie dieses Punktes
mit dem Punkte (e^ 63), und a in das Tangentenpaar, welches
aus (^ißi) an die Curve gezogen wird. Und die Gleichung
x'^a'x bedeutet: x ist die vierte harmonische Linie zu x
in Bezug auf das Tangentenpaar a. Es hat dann jeder auf x
gewählte Punkt die Eigenschaft, dass die von ihm an die
Curve gezogenen Tangenten harmonisch sind zu seiner Ver-
bindungslinie mit (yz) und zu x. Man kann in Folge dessen
(ax) (harmonisches) Centrum erster Ordnung zur Curve a in
Bezug auf die Polare x nennen. Es heissen ferner x und die
zugehörige vierte harmonische Linie zusammen harmonische
Polaren des Kegelschnittes.

Anmerkung. Die doppelte Auffassung der Variable x als Punkt
und als Strecke bewirkt, dass jeder Untersuchung über Curven sich
eine reciproke zur Seite stellen lässt, sofern eben die Curve als zu-
sammengesetzte Grösse betrachtet wird. Die soeben auf doppelte Weise
gewonnenen Begriffe von Pol und Polare bieten ein Beispiel dafür. —
Man kann jedoch im vorliegenden Falle das Resultat der zweiten Unter-

— 224 —

Biichang auch direct aus dem der ersten ableiten. Dies soll im Folgen-
den geschehen.

Sei P ein beliebiger Punkt auf der convexen Seite des
Kegelschnitts, und p die zugehörige Polare. Es entstehen
dann auf einer beliebigen durch P gezogenen Secante r die

y^-"

Fig. 32.

harmonischen Punktepaare (PQ), (SjSj). Wenn die Secante
in eine Tangente übergeht, d. h. wenn &\ und S2 zusammen-
fallen^ so fallt auch Q mit diesen beiden Punkten zusammen,
d. h, Q ist der Berührungspunkt der Tangente. Da man
durch P zwei Tangenten (mit den Berührungspunkten T^ und
jPj) an den Kegelschnitt legen kann, so ist die Verbindungslinie
ihrer Berührungspunkte die Polare zu P.

Anmerkung. Construction der Polare zu einem auf der convexen
Seite des Kegelschnittes gegebenen Punkte, und des Pols zu einer
Secante.

Multiplicirt man die harmonische Relation

P-Ä + p—'s: = ^ ™* inrsr ' n

St

s.

Q

Si Q-s^'

0. Dieselbe Form

so geht sie über in 7^ ^ +75 ^ =

würde man aber auch durch Vertauschung von P mit Q er-
halten; mithin lässt diese Vertauschung die harmonische Re-
lation ungeändert. Man kann daher sagen: Dreht sich die
Secante r um den einen der beiden harmonischen Pole {Q, P),
so beschreibt der andere eine Gerade. — Hat sich nun r um
Q bis in die Richtung p gedreht, so wird R, der vierte har-
monische Punkt zu {T^T^ in Bezug auf §, die neue Lage
von P bezeichnen, und PB ist die Gerade, welche P be-
schreibt, während r sich bis p dreht. Anders ausgedrückt:

- 225 —

Dreht sich eine Gerade um einen ihrer Punkte, so beschreibt
ihr Pol eine Gerade. — Aber ebenso, wie vorher p als Ort
des Punktes Q die Polare von P war, so ist nun (PB) = q
als Ort des Punktes P. die Polare von Q. Der letzte Satz
kann daher so ausgesprochen werden:

Dreht sich eine Gerade um
einen ihrer Punkte, so beschreibt
ihr Pol die Polare dieses Punktes,

Beschreibt ein Punkt eine Ge-
rade, so dreht sich seine Polare
um den Pol dieser Geraden,

Die Verbindungslinien des Punktes P mit den harmo-
nischen Paaren {Q, B) und (T, T^) sind (nach „Raumlehre"
119) harmonische Linien. Da nun zu jedem Punkt auf der
Linie q eine durch* Q gehende Polare gehört, deren Schnitt-
punkte mit der Curve harmonisch sind zu Q und dem Schnitt-
punkte der Polare mit q, so wird für jeden Punkt auf q das
an die Curve gezogene Tangenteupaar harmonisch sein zu q
und der Verbindungslinie des gegebenen Punktes mit Q, Es
ist also nach der im Anfang dieser Nr. gegebenen Definition
Q harmonisches Centrum erster Ordnung zur Curve in Bezug
auf die Polare q. Da aber Q bereits als Pol zur Curve in
Bezug auf die Centrale q nachgewiesen ist, so zeigt sich aufs
Neue, dass für Kegelschnitte die Begriffe Pol und Centrum,
sowie Centrale und Polare sich decken.

Unmittelbar aus der Figur lassen sich die Sätze ablesen:

Die Polaren (r, q) zweier
harmonischer Pole {B, Q) eines
Kegelschnittes sind harmonische
Polaren,

Die Pole {B, Q) zweier har-
monischer Polaren (r, q) eines
Kegelschnittes sind harmonische
Pole.

Anmerkung. Constrnction der Polare q zu einem auf der con-
caven Seite des Kegelschnittes gegebenen Funkte Q mittelst zweier
beliebiger durch Q gehenden Secanten r und p, — Construction des
Pols Q zu einer den Eegplechnitt nicht schneidenden Geraden q mittelst
zweier beliebigen auf q liegenden Punkte B und P.

Construirt man auf der Geraden p dasjenige Punktepaar 116.
(B^Q^), welches gleichzeitig mit (T, jTj) und mit (QB) har-
monisch ist, so ist die Linie (PB^) = q^ die Polare von Q^ ,
und (P^j) == r^ die Polare von JB, . Man hat also die Sätze:

Die Polaren von zwei har-
monischen Punktepaaren sind
harmonische Linienpaare. —

Die Pole von zwei harmo-
nischen Linienpaaren sind har-
monische Punktepaare, — Der

Schlegel, Elemente. 15

226

Die Polare jedes Punktes geht
durch den zugeordneten Punkt,
wenn der erstere Punkt nicht
auf der Curve liegt.

Die Polaren von drei involu-
forischen Punktepaaren sind in-
volutorische Linienpaare.

Pol jeder Linie liegt auf der
zugeordneten Linie j wenn die
erstere Linie nicht Tangente an
die Curve ist.

Die Pole von drei involu-
torischen Linienpaaren sind in-
volutorische Punkt&paare.

Wenn drei Punktepaare /3, y, tf, die auf verschiedenen
Geraden gegeben sind, einen involutorischen Verein bilden,
so ist nach Nr. 96:

A^ + f*y + ^* = 0;.
daher, mit a multiplicirt, wenn ax^ =^0 die Gleichung des
Kegelschnittes ist:

k . aß -\- IL . ay '\' V . a8 = .

Nun sagte oben die Formel axyz = 0, dass x und {yz)
harmonische Polaren von « seien. Ist also ß ein Linienpaar,
sa sagt a^ = 0, dass diese Linien ein Paar harmonischer
Polaren, und wenn ß ein Punktepaar ist, dass diese Punkte
harmonische Pole des Kegelschnittes sind. Da nun aus aß =0
und ay = vermöge der letzten Formel sich ergiebt: « tf ==» 0,
so hat man die Sätze:

Wenn die Gegenecken- Paare
eines Vierecks harmonische Pole
eines Kegelschnittes sind, so sind
die Schnittpunkte der Gegensei-
ten ebenfalls harmonische Pole.

Wenn die Gegenseiten- Polare
eines Vierseits harmonische Po-
laren eines Kegelschnittes sind,
so sind die Diagonalen eben-
falls harmonische Polaren.

Wenn die Secante, zu welcher man den Pol suchen soll,
ein Durchmesser des Kegelschnittes (Ellipse oder Hyperbel)
ist, so wird, da die in den Endpunkten eines Durchmessers
gezogenen Tangenten parallel sind, der zugehörige Pol der
unendlich entfernte Punkt dieser Tangenten sein. Und da
die Polare des Schnittpunktes zweier Linien die Verbindungs-
linie ihrer Pole ist, so ist die Polare des Mittelpunktes eines
Kegelschnittes die unendlich entfernte Gerade. — Da die Ver-
bindungslinie eines Pols mit einem beliebigen Punkte der
Polare den Kegelschnitt in einem zu den beiden Punkten
harmonischen Paare schneidet, so wird in der That auf jeder
durch den Mittelpunkt gezogenen Secante der dem Mittel-

- 227 —

punkte zugeordnete harmonische Punkt in unendlicher Ent-
fernung liegen müssen („Raumlehre" Nr. 169). — umgekehrt
ist die Polare des unendlich entfehlten JPmiktes einer Geraden
derjenige Du/rchmesser , welcher die Berührungspunkte der
beiden mit der Geraden parallelen Tangenten verbindet. —
Man kann daher die beiden reciproken Sätze auf 8. 267 so
specialisiren:

Die Pole aller parallelen Ge-
raden liegen auf dem Durch-
messer, welcher die Endpunkte
der beiden, diesen Geraden par-
allelen, Tangenten verbindet.

Die Polaren aller Punkte
eines Durchmessers sind der^
beiden im Endpunkte des Durch-
messers gezogenen Tangenten
parallel.

Von den vier harmonischen Punkten, die auf jeder der
parallelen Geraden entstehen, sind zwei die Schnittpunkte der
Geraden mit der Curve, d.« h. die Endpunkte der auf der
Geraden abgeschnittenen Sehne; der dritte ist der unendlich
ferne Punkt der Geraden, der vierte also der Mittelpunkt der
Sehne. Dieser vierte Punkt aber beschreibt, wenn die Gerade
sich um ihren unendlich fernen Punkt dreht, die Polare dieses
Punktes, d. h. den in beiden Sätzen erwähnten Durchmesser;
hiermit ist also der Satz bewiesetv:

Die Mittelpunkte aller parallelen Sehnen eines Kegelschnitts
liegen auf dem Durchmesser^ welcher die Endpunkte der beiden
mit diesen Sehnen paraTiden Tangenten verbindet.

Wenn die Endpunkte zweier beliebigen Durchmesser eines
Kegelschnittes mit einander verbunden, und in denselben
Endpunkten Tangenten gezogen werden, so entstehen zwei
Parallelogramme, von denen das eine dem Kegelschnitt ein-,
das andre umschrieben ist. (Siehe die Figuren zu Nr. 22 u.
Nr. 29.) Es ist dann jeder Eckpunkt des äusseren Parallelo-
gramms der Pol zu derjenigen Seite des inneren, weicht die
Endpunkte der von ihm aus gezogenen Tangenten verbindet.
Die Pole zweier Gegenseiten der inneren Figur sind also die
Endpunkte einer Diagonale des äusseren. Da diese Gegen-
seiten aber parallel sind, so liegen ihre Pole auf dem Durch-
messer, welcher die Endpunkte der beiden, diesen Gegenseiten
psurallelen Tangenten verbindet. Dieser Durchmesser fällt

also mit jener Diagonale zusammen, oder, da der Durchmesser

15*

— 228 —

alle mit jenen beiden Gegenseiten parallelen Sehnen (und
diese Gegenseiten selbst) halbirt, so kann man sagen:

Jede Diagonale des äusseren Parallelogramms halbirt das
eine Seitenpaar des inneren, und ist (in Folge dessen) dem
anderen Seitenpaare parallel.

Da endlich die Diagonalen des äusseren Parallelogramms,
als Sehnen des Kegelschnittes betrachtet, conjugirte Durch-
messer genannt wurden, so hat man schliesslich den Satz:

Von zwei conjugirten Durchmessern eines Kegelschnittes
halbirt jeder die dem anderen parallelen Sehnen. (S. d. Anm.
zu Nr. 22.)
117. Covarianten. — Die erste Co Variante der Function (für
r = 3 und c = 2) ist

{Ulf-

Da w'(== nr — cp) = ist, so ist sie eine Invariante,
und nach Nr. 76, (5) die Hesse' sehe Determinante der Function.
Wenn sie den Werth Null hat, so kann (nach Nr. 75) x aus
zwei, statt aus drei Einheiten abgeleitet werden. Die Function
aoi? ist also in diesem Falle eine binäre Function, u/nd stellt
als solche ein Punktepaar oder ein Linienpaar vor.

Wenn noch die Ableitung der Hesse'schen Determinante
nach einem ihrer Elemente verschwindet, so lässt sich die
Function aus einer einzigen Einheit ableiten, und stellt ein
Paar zusammenfallender Punlde oder paralleler Geraden vor.

Speeielle Ableitungen dieses Resultat es. Es ist (gijS)* = («')
=s (ae{) (ac,) («63). Nun sind (aCi), (aej), («63) die Polaren der Punkte
«1, «2, 63 in Bezug auf die Curve a. — Die Gleichung [ae^ (acj) («63)
sagt aus, dass diese drei Polaren durch einen Punkt gehen („Raum-
lehre** Nr. 144). Wenn aber die Polaren dreier Punkte durch den-
selben Punkt gehen, so liegen die Punkte selbst auf derselben Geraden.
Dann besteht zwischen ei, 62, 63 eine Zahlbeziehung, und man kann x
staiil^ aus drei, aus zwei Punkten ableiten.

Ist nicht nur die Hesse'sche Determinante selbst, sondern auch ihre
Ableitung nach einer der Einheiten (vgl. Nr. 75 am Schluss), z. B. nach

C3 gleich Null, so ist y' ' = {ae^) (ae,) = 0; d. h.: («') = 0. Wenn

»^3

aber (a^), die Hesse'sche Determinante der nunmehr binären Function
aas^ssQ^ verschwindet, so stellt diese Function ein Paar zusammen-
fallender Punkte oder paralleler Geraden vor.

Zwei andere Methoden, analog den in Nr. 91 für die Hesse^sche
Determinante der binären quadratischen Form angewendeten, führen

~ 229 —

zu demselben Besultate. — £iu besonderes Interesse bietet nur die
Beduction der Function auf einen Doppelpunkt mittelst der ersten jener
Methoden; dieselbe möge daher hier noch Platz finden. Es ist

(ac,) = ajiei + flf,2«2 + «is^s» («^j) == «««i + «22«« + «w^s;

(ae,) = «31 Cj + flfajCj + «33^8.

Ist nun das Froduct dieser drei Grössen Null, so besteht zwischen
ihnen eine Zahlbeziehung:

^i(a«i) + ^t(a««) + ^3(a«8) = 0.
Ersetzt man {aei), (ae,), (cce^) durch ihre Werthe, so müssen die
Coefficienten von Cfy e%, €3 einzeln Null sein^ da sonst zwischen diesen
Grössen eine Zahlbeziehung ezistirte. Man hat also:

^1 «18 + ^2^23 + ^8 «88 = 0.

^»(««2) = «21(^8 «1 — ^i^) + «22(^2^2 — ^«3);

^8(««8) = «81 (^3 «1 — h^i) + «82 (^8 «2 — ^t^») y

oder, wenn ^361 — X1C3 = X3€i und X^e^ — XjCg = ^3^2 gesetzt wird:

(a«l) = «11^1 + «12*2; («^2) = «21 «1 + «22*2» (««8) = «81*1 + «82*2.

Führt man in der Formel 05 = aJiCj + a52«t + ^s^s ^i© Werthe Bi
und €f ein, so folgt:

XiX = iCiC^se, + Z1C3) 4- 0:2(^3 fj + ^263) + 13053^3.

Da sich aber x ebenso wie die Grössen (aei) etc. durlsh Si und «2 allein
ausdrücken lässt, mithin nunmehr von e^ unabhängig ist, so muss der
Coefficient von e^ verschwinden. Es ist also:

XiXi + liOCt + Z3a?3 = 0.

Dies ist die Gleichung einer Geraden^ die von dem Funkte

beschrieben wird» d. h. die Gleichung der Geraden (siSf). Da aus

aa;' = zwei Werthe für — folgen, so zerfallt die Curve in zwei sich

schneidende Geraden (resp. zwei Punkte).

Wenn auch noch -^ — - == (aC|) (««2) =» ist, so verfahrt man nun

»63

* ebenso , wie an entsprechender Stelle bei der binären quadratischen

Form, und findet, dass die Curve in zwei zusammenfallende Punkte

oder parallele Geraden zerfällt.

Anmerkung. Die Hesse^sche Determinante kann nach Nr. 72

geschrieben werden : | -j— | ( ^— l I g— - j , d. h. als Potenzwerth eines

Quotienten. Dieser Potenzwerth ist derselbe, welcher in Nr. 42 durch
(A^) bezeichnet wurde. Demnach ist die Resse^sche Determinante der
ternären quadratischen Form gleich dem Potenewerth de^enigen Quo-

- 230 —

tienten, durch welchen die Punkte «i, e», «3 in die Punkte S|, s,, f,

(Nr. 42. Formel 4), d. h. 3-^, 3-^, 3-^ t;ert(?an(ieZ* werden. Setzt
^ aa?! aa?2 dx^

man 5 = /i^i + A^ + /a^s» ^'i*^ bestimmt die Ableitungen von 5 nach

Xij X2i iPa, so erkennt man aus Nr. 42. Formel (2 a), (2b), (2 c), dass

dieselben mit 81, s^, £3 übereinstimmen. Eine weitere Anwendung der

ternären quadratischen Form nebst ihrer Hesse'schen Determinante

findet sich am Schluss dieses Buches.

118. Für die binäre quadratische Form stellte es sich heraus,

dass ihre Hesse'sche Determinante gleichzeitig ihre Discrimi-
nante war (Nr. 110), d. h. diejenige Invariante, deren Ver-
sch.winden das Vorhandensein eines Doppelpunktes in dem
durch die Function dargestellten Gebilde anzeigte. Da nun
das Verschwinden der Hesse'schen Determinante eines Kegel-
schnittes anzeigt, dass derselbe in ein Linienpaar zerfällt,
dessen Schnittpunkt als Doppelpunkt, oder in ein Punkte-
paar, dessen Verbindungslinie als Doppeltangente des Gebildes
zu betrachten ist, so folgt, dass auch hier jene Determinante
gleich der Discriminante der Function ist.

Es ist jedoch erforderlich, die Bestimmung der Dis-
criminante unabhängig von dieser zufälligen Bemerkung, und
nach einer Methode auszuführen. Welche allgemein auf eine
Function n. Grades anwendbar ist. Wir bestimmen zu diesem
Zwecke die Durchschnittspunkte einer Geraden mit der Curve,
und untersuchen, unter welcher Bedingung zwei (oder meh-
rere) Schnittpunkte zusammenfallen.

Seien a und 6 zwei beliebige Punkte der Ebene; dann
ist jeder Punkt x der Geraden (ab) durch

X ==-' a -^ Ib
ausgedrückt, worin A ein variable Zahl ist.

Setzt man diesen Werth von x in der Gleichung der.
Curve

«0?^ =

ein, so giebt dieselbe zwei Werthe für A, und diese Werthe,
in die vorige Gleichung eingesetzt, geben die beiden Schnitt-
punkte der Curve und der Geraden (ab). Entwickelt lautet
die letzte Gleichung:

a(a + Ib)^ = aa^ + 2laab + X^ab^ = 0.

— 231 —

Ist hierin «a^ = 0, so liegt a auf der Curve; dasselbe
zeigt auch der Umstand, dass einer der beiden Werthe von
A Null, also einer der Werthe von x gleich a ist.

Ist «a6 = 0; so ist das Punktepaar, in welchem die
Gerade die Curve a schneidet, harmonisch mit dem Paare
(ah)] d. h. : a und 6 sind harmonische Pole der Curve. Das-
selbe zeigt auch der Umstand, dass in diesem Falle die beiden
Werthe von A sich nur durch das Vorzeichen unterscheiden,
sodass die beiden Schnittpunkte der Geraden und der Curve
durch die Ausdrücke:

gegeben und damit als harmonische Punkte zu a und h be-
stimmt sind.

Ist gleichzeitig «a^ = und aah = 0, so fallt a mit
einem der Schnittpunkte, z. B. x^ , und (nach der Eigenschaft
der harmonischen Punkte) auch mit dem andern, X2 zusammen.
Die Gerade ist daher Tangente an die Curve im Punkte a,
und b hat auf dieser Tangente eine beliebige Lage. Da in
diesem Falle beide Werthe von A Null sind, so lehrt auch die
Gleichung x^a-j- li, dass beide Schnittpunkte der Geraden
und der Curve mit a zusammenfallen.

Wenn endlich die Gleichungen aa^^^O und aah =
für jeden Werth (jede Lage) von 6 gelten, so heisst dies nichts'
andres, als dass für jede durch a gezogene Gerade die Schnitt-
punkte mit der Curve mit a zusammenfallen. In diesem Falle
aber ist a ein doppelter Punkt der Curve. Die Grosse aa
kann aber nur dann mit jedem Punkte b der Ebene das Pro-
duct Null geben, wenn sie selbst gleich Null ist. Es ist also,
wenn f= ax^ = wieder die Gleichung der Curve ist,

die Bedingung für das Vorhandensein eines Doppelpunktes.
Aus dieser Gleichung folgt weiter:

f^ =s axe^ = 0; /2 = ^^^2 = 0; f^ = axe^ = 0.
EHminirt man zwischen diesen drei Gleichungen x^y x^^ x^^
so bleibt eine zwischen den Coefficienten der Gleichung /*=
bestehende Gleichung, welche mit der gleich Null gesetzten
Discriminante identisch ist. Nun ist nach Nr. 68 das Re-
sultat der Elimination der Variablen aus drei linearen Glei-

- 232 —

chungen eine Gleichung vom 3. Grade in den Coefficienten ;
mithin ist die Discriminante eine Invariante von der Form

und, da diese Invariante die Invariante niedrigster Ordnung,

also ein eindeutiger Ausdruck ist, so ist die Discriminante

gleich (a^), d. h. gleich der Hesse'schen Determinante.

Anmerkung. Die in dieser Nr. angewendete Methode der Schnitt-
punkte einer Geraden mit einer Curve, welche, wie wir gesehen haben,
einerseits zur Theorie der Polaren und Centralen, andrerseits zu der-
jenigen der vielfachen Punkte führt, gab Grassmann für Curven
n. Grades (nebst Beispielen für n = 3, 4, 5) in den Göttinger „Nach-
richten" 1872. Nr. 28. S. 567 ff. — Mit Hilfe des Satzes über den Grad
der Resultante aus 3 Gleichungen beliebigen Grades (vgl. z. B. Fiedler,
„Vorlesg. z. Einführung i. d. Algebra d. lin. Trans f." Nr. 34) lässt sich
leicht zeigen, dass die Discriminante der teruären Form n. Grades eine
Invariante von der Ordnung 3 (n — 1)* ist.

119. Unter den Punktepaaren und Linienpaaren, in die der

Kegelschnitt zerfallen kann, sind noch zwei wegen der be-
sonderen Eigenschaften ihrer Pol- resp. Polarenpaare hervor-'
zuheben. Es sind dies die in unendliche Entfernung ver-
setzten Gebilde eines Parallelenpaares und eines Doppel-
punktes.

Zieht man durch ein endlich entferntes Parallelenpaar
eine schneidende Gerade, so sind die Schnittpunkte harmo-
nisch mit ihrem Mittelpunkte und dem unendlich fernen Punkte
der Geraden, und letztere beiden Punkte sind harmonische
Pole des als Kegelschnitt betrachteten Parallelenpaars. Es ist
also jedes Paar von Punkten, von denen der eine in der Mitte
zwischen den Parallelen, der andre in unendlicher Entfernung
liegt, ein harmonisches Polenpaar dieses Kegelschnittes. —
Rückt nun umgekehrt das Parallelenpaar in unendliche Ent-
fernung, und der unendlich ferne Punkt der Geraden ins End-
liche, so schneidet jede durch diesen Punkt gezogene Gerade
das Parallelenpaar in zwei Punkten, deren Mitte der dem
gegebenen Punkte zugeordnete harmonische Pol ist.

Das Parallelenpaar ist aber vermöge seiner unendlichen
Entfernung als eine einzige Gerade (die unendlich entfernte
Gerade der Ebene, vgl. Nr. 3) zu betrachten; mithin fallen
seine beiden Schnittpunkte mit der Geraden, und der Mittel-
punkt dieser Punkte in den unendlich fernen Punkt der Ge-

- 233 —

raden. — Hiernach sind auf jeder Geraden in der Ebene ein
Mliebiger Funkt und der unendlich entfernte Punkt zusammen
harmonische Pole desjenigen Kegelschnitts, welcher durch die
unendlich ferne Gerade der Ebene (als doppelte Gerade be-
trachtet) repräsentirt wird.

Verbindet man zweitens einen Doppelpunkt mit einem
beliebigen Punkte der Ebene, so ist diese doppelte Verbin-
dungslinie als Tangentenpaar an den Kegelschnitt zu be-
trachten, welcher durch jenen Doppelpunkt repräsentirt wird.
Nun bildet die Linie, welche d^n Winkel zweier Tangenten
halbirt, nebst der auf ihr senkrechten Linie ein harmonisches
Polarenpaar des Kegelschnittes. In unserem Falle aber fallt
die Winkelhalbirende mit dem Tangentenpaare zusammen.
Es ist also jedes Paar senkrecht zu einander stehendeir Li-
nien, von denen die eine durch den gegebenen Doppelpunkt
geht, harmonisches Polarenpaar dieses Kegelschnittes. — Rückt
nun der Doppelpunkt auf irgend einer Geraden in unendliche
Ferne, so kann jede Gerade der Ebene als solche betrachtet
werden, deren unendlich entfernter Punkt mit diesem Kegel-
schnitt zusammenfällt, und jede auf ihr senkrechte Linie bildet
mit ihr selbst ein harmonisches Polarenpaar. Hiernach ist
jedes Paar senkrechter Linien in der Ebene harmonisches Po-
larenpaar desjenigen Kegelschnittes, welcher durch den u/nend-
lich fernen Punkt der einen Linie (als doppelten Punkt be-
trachtet) repräsentirt wird,

Anmerkung. Der Doppelpunkt-Kegelschnitt kann als Kreis mit
dem Radius Null betrachtet werden, und die unendlich ferne Gerade
als Kreis mit unendlich grossem Radius, der erstere mithin als Central-
punkt (5i), die letztere als grösster Kreis eines Systems von Kreisen,
die von einem zweiten System rechtwinklig geschnitten werden (S, die
Figur S. 111). Da nun die Centralpunkte die imaginären Schnitt-
punkte aller Kreise des ersten Systems sind, mithin auch der Kreise
mit unendlich kleinem und unendlich grossem Radius, und da ferner
das Paar der Centralpunkte {Sy^ und S^), in unendlicher Entfernung be-
trachtet, in einen Punkt zusammenfällt, so, kann man sagen, „der un-
endlich ferne Doppelpunkt - Kegelschnitt sei das imaginäre zusammen-
fallende Punktepaar, in welchem die unendlich ferne doppelte Gerade
von einem unendlich kleinen doppelten Kreise geschnitten werde".

Dieser Satz bezeichnet wohl den Gipfelpunkt dessen, was die syn-
thetische Geometrie in der Anwendung paradoxer Begriffe leistet.
Denn die Begriffe „unendlich ferner Punkt** und „imaginärer Schnitt-

— 234 —

puDkt" siDd und bleiben paradox, solange man sie wörtlich nimmt,
statt in ihnen nur andere Ausdrucksformen für anschauliche geome-
trische Begriffe zu sehen. Nur unter diesem letzteren Gesichtspunkte
lässt sich ihre Anwendung rechtfertigen, und der vielseitige, wohl-
berechtigte Widerstand, welcher diesen Begriffen ausserhalb des Kreises
der Synthetiker entgegengesetzt wird, wird erst dann gegenstandlos
erscheinen, wenn man sich bescheiden wird, den „unendlich fernen
Punkt*' als andre Ausdrucksform für „Strecke", den „imaginären Schnitt-
punkt" zweier Kreise als andre Ausdrucksform für „Centralpunkt" an-
zusehen.

Auch der oben' gegebene Satz verliert seine mystische Form, und
lässt einen äusserst einfachen Inhalt erkennen, sobald man die eben
erwähnte Umschreibung auf ihn anwendet. Da ist zunächst ein un-
endlich ferner Doppelpunkt nichts weiter als ein endliches paralleles
Streckenpaar. Wenn ferner ein Punkt und eine ausserhalb desselben
liegende Gerade als Centralpunkt und grösster Kreis eines orthogonal
geschnittenen Kreissystems betrachtet werden, d. h. als Gebilde, die
sich in imaginären Punkten schneiden, so wird, wenn man beide Ge-
bilde mit dem Prädicat „unendlich fern'* versieht, der Punkt in eine
Strecke, und die Gerade in einen mit dieser Strecke parallelen Flächen-
theil verwandelt. Da aber in unendlicher Entfernung schliesslich beide
Centralpunkte zusammen in die doppelte unendlich ferne Gerade fallen,
so heisst dies nichts andres, als: das Paar der parallelen Strecken (als
Kegelschnitt betrachtet) fällt in die Ebene des doppelten Flächentheils.
Und der» oben gegebene Satz hat den Inhalt: Ein Parallelenpaar kann
man betrachten als dasjenige Gebilde, welches die durcb> dasselbe be-
stimmte Ebene mit eben diesem Parallelenpaar gemeinsam hat.

120. ^^^ d®^ Eigenschaften der beiden eben besprochenen
Kegelschnitte können wir Gebrauch machen, um die beideji
reciproken Sätze von Vierecken in Nr. 116 zu specialisiren.
Wir zeichnen zu diesem Zweck für den ersten Satz ein so-
genanntes überschlagen es Viereck (ÄBÄ^B^), für den zweiten
ein Vierseit, dessen Gegenseiten auf einander senkrecht stehen

A

»Mg. «3. Fig. 34.

Nach dem ersten jener Sätze wird, wenn {Ä, Ä^) und
(J5, jB,) harmonische Polenpaare eines Kegelschnittes sind,

- 235 -

auch (0, Cj) ein solches sein. Dieser Fall tritt aber ein,
wenn Ä^ und J?i in unendliche Entfernung rücken, wobei
die unendlich entfernte Doppelgerade der zugehörige Kegel-
schnitt ist. Beide Punkte liegen dann auf der unendlich ent-
fernten Geraden,* und unser Satz sagt, dass auch C^, der zu
C zugeordnete harmonische Pol, auf derselben liegt. Man
kann daher sagen: Die unendlich fernen Punkte dreier Ge-
raden, welche die Seiten^ eines Dreiecks bilden, liegen auf der-
selben (unendlich entfernten) Geraden, Umschrieben lautet
dieser Satz : Drei Strecken auf den Geraden, welche die Seiten
eines Dreiecks {ABC) bilden, liegen in demselben Flächen-
theil. Oder, da es hierbei auf die Grosse der Strecken und
des Flächentheils nicht ankommt:

Drei Geraden, von welchen sich je zwei in einem Funkte
schneiden, liegen in derselben Ebene,

Nach dem zweiten jener Sätze wird, wenn {a, a,) und
(6, 6j) harmonische Polarenpaare eines Kegelschnittes sind,
auch {Cy Ci) ein solches sein. Dieser Fall tritt aber ein, wenn
«j auf a und b^ auf b senkrecht steht, wobei ein unendlich
femer Doppelpunkt der zugehörige Kegelschnitt ist. Unser
Satz sagt dann, dass auch {c, e^ ein harmonisches Polenpaar
dieses Kegelschnitts, und als solches ein paar senkrechter
Linien ist. Man kann daher sagen: Die aus den Ecken eines
Dreiecks (abc) auf die Gegenseiten gefällten Senkrechten gehen
du/rch denselben Pu/nkt, Reciprok sind also folgende beiden
Sätze:

Die Seiten eines Dreiecks
liegen in derselben Ebene.

Die Höhen eines Dreiecks
schneiden sich in demselben
Punkte.

Anmerkung. Das hier gegebene Beispiel einer Umschreibung
zeigt uns die Bedeutung der unendJich fernen Gebilde in einem neuen
Lichte. Ebenso wie der unendlich ferne Funkt als gemeinsames Ge-
bilde paralleler Linien uns aus dem Gebiet einer Linie in das der
Ebene hinausführt, so auch die unendlich ferne Gerade als gemeinsames
Gebilde paralleler Ebenen aus dem Gebiet einer Ebene in das des
Baumes. In der That giebt es zu dem Satze von den Höhen eines
Dreiecks im Gebiet der Ebene keinen reciproken Satz, sofern man un-
endlich entfernte Gebilde ausschliesst. Wohl aber sind die ' beiden
letzten Sätze recipr-ok in Bezug auf das Gebiet des Eaumes. Denn in
diesem Gebiete entsprechen sich die Gebilde: Punkt und Ebene, Gerade
und Gerade. Mithin sind drei Geraden, die in einer Ebene liegen.

- 236 —

reciprok mit drei andern Geraden, die durch einen Punkt gehen. —
Die unendlich fernen Gebilde können also benutzt werden, um einen
Ausdruck für eine Reciprocität in der Ebene zu gewinnen, die that-
sächlich nur im Räume besteht. — Vgl. über diesen Gegenstand auch
die Bemerkung bei Hesse, „Sieben Vorlesg. a. d. anal. Geom. d. Kegel-
schnitte". S. 43 unten.

121. Contravarianten. — Aus der oben betrachteten Invariante

{^rj^y entsteht nach Nr. 82 eine Contravariante, indem man
einen ihrer Buchstaben, z. B. |, als neue Variable betrachtet.
Wenn dann der Punkt x den Kegelschnitt a beschreibt (dessen
Gleichung ax^ ==: ist), so beschreibt die Gerade | als um-
hüllende Linie ein zweites Gebilde, das im Allgemeinen noch
unbestimmt ist, aber durch Aufstellung einer Beziehung
zwischen den Variablen x und | definirt werden kann, und

dessen Gleichung {^ . rj^y ==0 ist, eine Gleichung, die offen-
bar vom zweiten Grade in | ist, und daher ebenfalls einen
Kegelschnitt repräsentirt. — Die zweite Form dieser Glei-
chung ist offenbar:

Von jenen Beziehungen zwischen x und | mögen nun
die einfachsten betrachtet werden. — Wenn erstens 5 «= /^^>
ist, dann ist nach Nr. 81 (icl) =0, und S ist Tangente an
die gegebene Curve. Die von | umhüllte Curve ist also mit
der von x beschriebenen identisch, und ebenso wie die Glei-
chung ttx'^ = 0, wenn man a? =« ic^ej + iTj^j + x^e^ setzt,
auf die in Punktcoordinaten ausgedrückte Gleichung der Curve

führt, so die Gleichung (| . lyg)^ = durch die Substitution

5 = liki + §21^2 "h isks ^^f ^^® Gleichung der Curve in
Liniencoordinaten. *)

•) Ausgeführt: Aus g = Si|e,-fS2k«+S3l ^3 ; V = Vt\ßi+Vt\et+ri3\ea;
f^Jil^i + fil^ + fsUa folgt:

(l^ö = li(^t?3 — ^3&) + itivsti — Vi fs) + l3(^i& — ■»yjti)

(S^f)*= «uSl* + O22I8* + «33 S3' + 2(a,2|,|2 + (h3^tis + OjlSsSl)»

worin

«11 = (VzSs — mi%Y = VnitS — 2 1723 f 32 + ^38?22

«12 = (^2 ?3 — ^3 &) (^3 Sl — Vi fa) == ^23 tsi — ^33 Su — ^21 ?33 + Vsi ttS

ist, während die anderen Coefficienten aus diesen beiden durch circuläre
Vertauschung der Indices gefunden werden. — Da aber 17 und J sich

^ 237 -

Nimmt man zweitens an, | sei die Ergänzung von x in
Bezug auf das Dreieck der Punkte ^^6263^ also | = |^; dann
folgt aus der Gleichung x = x^ei + ^2^2 "1" ^3^3 {j^^^^ ;,Raum-
lehre" Nr. 142)

\X = Xi\ei + iZJj I ^2 + 5?3 1 63 5

man hat also statt li; S27 ^3 ^^^p. zu setzen ^1; ^2; ^3* ^^i-
sehen den durch die Gleichungen

dargestellten Curven besteht also die Beziehung» dass ein Punkt
der ersteren aus den Einheiten e^, e^y e^ mittelst derselben
Zahlen abgeleitet wird, wie eine entsprechende Tangente der
zweiten aus den Ergänzungen dieser Einheiten. Dasselbe
gilt auch; wenn man die beiden Curven vertauscht, da, wenn
5 die Ergänzung von x, auch x diejenige von | ist. — Ver-
möge dieser Beziehung nennt man jede der beiden Curven
die ReciprokaJcurve der anderen. Um den Ausdruck der
zweiten Curve in Punktcoordinaten zu finden, hat man nur
in der Darstellung der letzten Anmerkung statt ^iSa^s ^^^P*
^1^2% ^^ setzen.

Beduction auf die Stammformen. Alle Covarianten der 122.
Function lassen sich aus x — i>+l; d. h. 6 — 3+1=4
Stammformen ableiten. Für die eine oben betrachtete Co-

variante {^rj^y ist diese Reduction bereits in Nr. 89 aus-
geführt, und gefunden worden:

ii^Vty = 9^20 9^02 — 9^11^ — 9^10^9^02-
Da die Function keine weiteren unabhängigen Covarianten

anf die gegebene Function ax^ beziehen, so ist

Oll =» 2 («2, of3s — «83«) ; a„ = 2 (of,3 a^t — ofas er,,) ;
mithin die Gleichung der Curve in Liniencoordinaten:

+ 2 [{ccntxsi — ccssccii) gi l, + (ofsia« — of ^,^23) gg gj + («„ofj, - ofjjorgi) J3 gj = 0.

Da diese Gleichung, wie aus ihrer oben gegebenen Form erhellt, aus
den Grössen a und g gerade so zusammengesetzt ist, wie die Gleichung
in Punktcoordinaten aus a und x, so kann man die erstere auch
schreiben : a £' = ; d. h. man kann gleichzeitig a mit a und £ mit x
vertauschen. Also ist auch

«11 = 2(aj, . 033 — a,8«); a« =» 2(02303, — 03301,), etc.

— 238 —

besitzt, so bleibt nur noch übrig, die in Nr. 89 erwähnte Ver-
einfachung der Reduction vorzunehmen, um diese letztere für
Functionen höherer Grade ausführbar zu machen.

Wenn |=/'<^>, i^ = ^(i), g = %(^^ -9' = aj(i) die Ab-
leitungen von vier ternären Formen nach x sind, so ist

mithin auch

{xl){xri){xl){x%)==Q,
oder:

oder, durch x^ dividirt:

{xl){ril%^) + {X71){XH) + {xl){Hri) + {x&){Ui) = 0.

Dies ist für vier ternäre Functionen eine ähnliche Grund-
formel, wie sie in Nr. 112, Beispiel 1) für drei binäre Func-
tionen aufgestellt wurde. — Betrachtet man nun -9' als un-
abhängige Variable, d. h. als Linie, welche nicht durch den
Punkt X geht, so ist auch {x%') nicht gleich Null, und man
kann aus der Gleichung nur die drei Homogenitäts-Factoren
(ir§), {xri), (xl) weglassen. Setzt man noch, um die Natur
der einzelnen Formen besser hervortreten zu lassen,

wo u ein Punkt ist, so lautet die letzte Formel:

- {x\u) {U%) = d« .rii)-\-{\u. g|).+ (|M . In).
Bei der weiteren Rechnung wollen wir uns wieder auf das

Beispiel (§i?£)^ beschränken, aus welchem das allgemein zu
beobachtende Verfahren vollständig zu ersehen ist. Man hat
also zunächst:

{x\uf. {Ulf = 3(1« . nif + 6(1« . ni){\u . gl),

da bei der Gleichsetzung von §, i^, g sowohl die drei Qua-
drate, wie die drei doppelten Producte einander gleich werden.
Nun werden in die auf der rechten Seite der Gleichung
stehenden Klammerausdrücke die Hilfsgrossen y und x ein-
geführt, und zwar mittelst der in Nr. 89 abgeleiteten Formel :

(Jni) = m{riy){i^) + {lxny){ns) + {n^y^U)

- i^'^XtyKve) - (g^)(i?y)(l«) - (nx)(^y)(t0),

— 239 -

wobei die an jener Stelle weggelassenen Homogenitats-Factoren
beibehalten sind. Man braucht zu diesem Zweck in dieser
Formel nur |, resp. iy durch \u zu ersetzen. — Zur weiteren
Vereinfachung" nehmen wir aber vorher an, die bis jetzt un-
bestimmt gelassene Linie # sei die Verbindungslinie der
Punkte y und 0. Dann ist

oder :

Es werden demnach in der obigen Formel auf der rech-
ten Seite alle Glieder gleich Null, welche die Grösse |, resp.
7j enthalten, und man erhält:

{\u . ^) = (x\u) . [(i?y)(g^) — {ty)(ri^)h
{\u . Ü) = {x\u) . [{ty){U) - ay){t^)]. '

Setzt man diese Werthe in dem oben gegebenen Aus-
druck für {irj^y ein, so hebt sich (x\uy beiderseits weg,
und es bleibt:

U^vt? = my)(t^) - ay)(rig)? + [(ny)ite) - (gy)(ij^)]

.[(gy)(|^)-(gi/)(g^)].

Wir schreiben nun wieder, wie an entsprechender Stelle
der früheren Methode, für |, iy, g den Ausdruck aa;'»~^, für
S^^), i]^^\ g(*> also ax^-^y und bestimmen durch die Be-
dingung

ax^^^0 ==s 0.

Wenn dann in der letzten Gleichung die Klammern gelöst
werden, so verschwinden drei von den vier Gliedern, welche
der zweite Summand liefert, weil sie ax!^~^0 als Factor ent-
halten, und es bleibt:

— [ttx^-^^yY . ccx^-^is^,
oder, wenn wir wieder setzen:

hi^V^y = 9^20 9>02 — 9>ii^ — 9>io^9o2;
übereinstimmend mit dem früher gefundenen Resultate.*)

*) Die hier durchgeführte abgekürzte Methode verdanke ich einer
brieflichen Mittheilung von Hrn. Grassmann.

''

— 240 —

9

ß) Zwei Functionen.
l23. Zwei Functionen

worin

X = x^ e^ -\- X2 X2 ~i" x^ 63

ist, repräsentiren iswei Kegelschnitte in einer Ebene.

Covarianten. — Jenachdem man in dem Ausdrucke (|iy5)^
die drei Grössen ^, rj, ^ sämmtlich aus der ersten, oder
sämmtlich aus der zweiten Function ableitet, erhält man die
bereits bekannten Invarianten (a^) oder (ß^), Jenachdem man
ferner zwei dieser Grössen aus der ersten, und die andre aus
der zweiten Function ableitet, oder umgekehrt, erhält man
zwei neue Invarianten (a^/3) oder (a/3^). Hebt man in dem
Ausdruck (S^^)^ diejenigen Buchstaben, welche aus der zwei-
ten Function genommen werden sollen, durch einen oberen
Index hervor, so kann man die vier Invarianten in folgender
Weise unterscheiden:

Um die geometrische Bedeutung der beiden neuen In-
varianten zu erkennen, gehen wir von den drei Formeln
(Nr. 1 14) aus, welche sagten, dass in dem Dreieck der Punkte
xy0 jede Seite die Polare des Kegelschnittes a in Bezug auf
die Gegenecke sei:

(y0)^ax] (zx)^ay\ {xy)^a0.
Durch Multiplication von je zwei dieser Formeln folgt:
(xy)0'^ ^ a^{xy)] (y0)x^ ^ «^(j/^); i^^)y'^ ^ cc^{0x)]
daher, wenn keine zwei Punkte zusammenfallen:

;8f2 ^ ^2. ^2 ^ ^2. y^ ^ a'^ ^

und durch Multiplication mit ß:

ß0'^ = a'^ß] ßx'^ = a^ß] ßy'^ = a}ß.

Ist nun («^/3) = 0, so ist ßx'^ = ßy^ = ßg^ = 0; d. h.: die
drei Punkte xy0 liegen auf dem Kegelschnitt ß.

Das Verschwinden der Invariante (cc^ß) 0eigt also an,
dass der Kegelschnitt ß durch die Ecken eines Dreiecks geht,

- 241 —

dessen Seiten Polaren des Kegelschnitts a in Bezug auf die
gegenüberliegenden Ecken sind. — Durch Vertauschung von
a und ß erhält man aus diesem Satze die Bedeutung der
anderen Invari|nte.

ContravarioMten. Ausser den beiden Contravarianten der 124.

einzeln^ Functionien, nämlich (|^ . 1^5)^ i^nd {\x . ri^Y kann
nur noch eine Form dieser Art gebildet werden, nämlich da-
durch , dass man den einen der beiden Buchstaben ri und t,
aus der ersten, den andern aus der zweiten Form nimmt.
Man hat also im Ganzen folgende drei Contravarianten, worin
g = I a; sein soll :

Die mittlere dieser Formen repräsentirt ebenso wie die
beiden anderen einen Kegelschnitt. Um denselben näher
kennen zu lernen, nehmen wir an, es sei i, = \e^. Dann
würden bei der Ausrechnung des Productes (| . i^g') die-
jenigen Glieder von ri und f', welche den Factor 1^3 enthalten,
nicht zur Verwendung kommen. Es ist daher

vorausgesetzt; dass man ri und ^ nur aus |e, und {e^ ableitet,
und in Folge dessen x nur aus e, und e^* Unter letzterer
Voraussetzung aber bedeuten a und ß die Punktepaare, in
denen die Curven « und ß von der Linie | geschnitten wer-
den. Wenn nun

ist, so sind die Punktepaare a und ß harmonisch (Nr. 93).
Es schneidet also die Linie 5 (= I ^3) die beiden Curven a und
ß in harmonischen Punktepaaren; und da jede der Lagen
von I, die der Gleichung (a/3)|2==0 genügt, als Linie {\e^
angenommen werden kann, so repräsentirt die Gleichung
(a^)|2 -_= denjenigen Kegelschnitt, dessen sämmtliche Tangen-
ten die Curven a und ß in harmonischen Punktepaaren
schneiden.

Bezeichnen wir die zu « und ß reciproken Kegelschnitte
mit a resp. 6, so ist

Schlegel, Elemente. 16

— 242 -

Nun erhält man den ursprünglichen Kegelschnitt wieder durch
Vertauschung der griechischen und lateinischen Buchstaben;
man hat also:

(a^) x^ = a 7? ; {l[p-)x^ = ßx\^

Es wird femer der zu (a/3)§^ = reciproke Kegelschnitt
ausgedrückt sein durch

Und dieser Kegelschnitt hat die redproke Eigenschaft, dass
die aus irgend einem seiner Punkte an die beiden gegebenen
Curven gezogenen Tangentenpaare harmonische Linienpaare
sind. — Seine Gleichung ist eine Covariante der beiden ge-
gebenen Functionen^ wie man sogleich erkennt; wenn man
darin a und b durch die gleichbedeutenden Werthe «^ resp.
ß^ ersetzt, wodurch die Gleichung die Form erhält:

«2 ^2 ^2 ^ 0.

Man wird diese Covariante unmittelbar aus den gegebenen
Functionen erhalten durch die Bildung

wobei 5' ^nd ^' aus der einen, ri und g aus der anderen
Function entnommen werden.

y) Drei Functionen.

125. Drei Functionen

«0^2 = 0, ßx'^^0, ya;2 = 0,
worin

X • • " X I &| I »«/o Vn r Xo Co

ist, repräsentiren drei KegelschniMe in einer Ebene.

Covarianten. 1) Ausser den neun bereits bekannten In-
varianten :

(« ß:') = ififr ; iß y') = (rW)* ; (y «^) = (S"^)* ,

kann noch eine gemeinsame Invariante der drei Functionen
gebildet werden, nämlich:

(aßy) = (l^'D* = {^ViY-
Die geometrische Bedeutung ihres Verschwindens findet

— 243 —

sich, wenn man bedenkt, dass die Gleichung {aßy) = nichts
weiter sagt, als dass zwischen den drei Grössen cc, ß, y eine
Zahlgleichung existirt, sodass man statt dieser Gleichung auch
schreiben kann:

Xa -{- [iß -{- vy == 0,

oder, mit dem Quadrat eines beliebigen Punktes x mul-
tiplicirt:

Xax^ + ^ßx^ + vyx'^ = 0.

Wenn nun x einer der Schnittpunkte der Curven a und ß

ist, so ist

ax' = 0, ßx'^ = 0',

mithin nach der letzten Gleichung auch

d. h.: auch die Curve y geht durch diesen Punkt.

Denkt man sich nun aus den in entwickelter Form ge-
schriebenen Gleichungen ax'^ = und ßx'^ = eine der

beiden Variablen — und — ^ eliminirt, so erhält man nach

x^ x^

Nr. 70 eine Gleichung vom vierten Grade in der anderen,
mithin auch vier Werthe für diese Variable, deren jedem ein
Werth der anderen entspricht. Zwei Kegelschnitte haben also
im Allgemeinen vier gemeinsame Punkte, und, redprok, vier
gemeinsame Tangenten.

Demnach ist das Verschwinden der Invariante {aßy) die
Bedingung dafür ^ dass die drei Kegelschnitte cc, ß, y durch
die nämlichen vier Punkte gehen (dem nämlichen Viereck um-
schrieben sind), und das Verschwinden der Invariante (abc)
die Bedingung dafür, dass die drei Kegelschnitte a, b, c, vier
gemeinsame Tangenten haben (dem nämlichen Vierseit ein-
beschrieben sind).

Wir haben früher die Gesammtheit der durch einen
Punkt gehenden Geraden, von denen also je drei der Glei-
chung (a/Jy) = genügten, einen Stralenbüschel, und die
Gesammtheit der auf einer Geraden liegenden Punkte, von
denen also je drei der Gleichung [abc) = genügten, eine
Punktreihe genannt. — In entsprechender Weise können wir
jetzt die Gesammtheit der durch dieselben vier Punkte gehen-
den Kegelschnitte, von denen also je drei der Gleichung

16*

- 244 -

(^aßy) = genügen, einen Kegelschnitthüschel nennen, und

die Gesammtheit der dieselben vier Geraden berührenden

Kegelschnitte, von denen also je drei der Gleichung (a6c) =

genügen, eine Kegelschnittreihe.

Anmerkung. Auf den Begriff des Kegelschnittbüschels führte
uns schon früher die Darstellung des Kegelschnittes durch ein plani-
metrisches Product. S. „Raumlehre'* Nr. 178. 179. — Die Darstellung
von Curvenbüscheln und Curvenreihen nach beiden Methoden hat Grass-
maun ausgeführt in Crelle^s Journal Band 42. S. 193 ff.

Wird in den Gleichungen der drei Kegelschnitte cc, ß, y
die Variable x nur aus den Einheiten e^ und Cj abgeleitet,
so stellen a, j3, y die Punktepaare vor, in welchen die gleich-
benannnten Kegelschnitte von der Geraden (e^eg) geschnitten
"werden. Und die Gleichung (ccßy) = sagt aus, dass diese
Punktepaare involutorisch sind. (Nr. 96.) Man hat daher die
beiden reciproken Sätze:

Die Punktepaare, in welchen
ein Curvenhüschel zweiten Gra-
des von einer beliebigen Geraden
geschnitten wird, sind involu-
torisch.

Die Tangentenpaare, welche
an eine Curvenreihe zweiter
Klasse von einem beliebigen
Punkte aus gelegt werden, sind
involutorisch.

126. Die Function y = ka-\- jiß. — In der Gleichung A a + ft/J
■^ vy = können wir v = — 1 setzen/ und erhalten dadurch
y als Function der beiden Curven a und ß, nämlich

y = Xa -{- fiß.

Man kann also einen Kegelschnitt des Büschels aus zwei
andern (durch welche ein Büschel vollständig bestimmt ist) eben-
so ableiten y wie einen Punkt auf einer Geraden aus zwei
Punkten auf derselben, oder eine Gerade in einem Stralen-
büschel aus zwei Geraden dieses Büschels.

Die Hesse'sche Determinante von y. — Die Curve y zer-
fällt in ein Linienpaar, wenn ihre Hesse'sche Determinante
{y^) verschwindet. Dann ist nach der letzten Formel

(y3) = x\a^) + 3AV(a^^) + 3 A/x2(a/32) + ^3(^3) = o.
Diese Gleichung giebt, wenn a und ß feste Curven, also
Constanten sind, für die Variable — drei Werthe. Es existi-
ren also drei Linienpaare, die, als Kegelschnitte betrachtet,

J

- .245 —

dem Büschd angehören. Sind Ä, B, C, D die vier Schnitt-
punkte von a und /J, so sind diese Linienpaare:

{AB), {CD); {AC),{SDy, {AB),{BC).

Die Gleichung (y^) = (als Function von A und fi ge-
schrieben), kann augenscheinlich als binäre cubisehe Function
, betrachtet werden. Wir lernen daher für diese Function eine
neue geometrische Deutung kennen. Sie repräsentirf nämlich
hier drei Linienpaare (resp. Punktepaare) y welche einen in-
volutorischen Verein iilden. (Vgl. Nr. 39.) Ist nun die Dis-
criminante dieser Function gleich Null, so fallen von den
drei durch sie dargestellten Gebilden zwei zusammen, z. B.
(ÄD) mit (BD) und {ÄC) mit (5(7); d. h.: es fällt A mit
B zusammen, und die gemeinsame Secante der beiden Curven,
(AB) geht über in eine gemeinsame Tangente. Da aber der
Berührungspunkt dieser Tangente für beide Kegelschnitte der-
selbe ist, so sagt man: Die Kegelschnitte ierühren sich in
einem Punkte.

Fällt auch noch C mit D zusammen, so sind die vier
Schnittpunkte der Kegelschnitte durch zwei Berührungspunkte
(A und C) ersetzt, und von den drei oben aufgezählten Linien-
paaren ist das erste das Paar der gemeinsamen Tangenten
geworden, die beiden anderen fallen mit der (vierfach zu
zählenden) Secante (AC) zusammen.

Man erhält ferner folgende reciproke Resultate: Die
Curve c = Xa-^ fib zerfällt in ein Punktepaar, wenn (c^) =
ist. Es giebt drei solcher Punktepaare, nämlich die 6 Punkte,
in denen die vier gemeinsamen Tangenten der Curven a und b
sich schneiden. Ist die Discriminante von (c^) gleich Null,
so fallen zwei dieser Punktepaare, mithin auch zwei der vier
Tangenten zusammen. Man hat dann ebenso wie vorher eine
Doppel-Tangente, woraus wieder folgt, dass die Kegelschnitte
sich berühren.

Die Contravariante von y. — Dieselbe ist, wie früher
gefunden, durch (y^) ausgedrückt, oder^ wenn man für y seinen
Werth setzt, durch:

Giebt man in den Ausdrücken (a^), (a/J), (/5^), welches
die schon bekannten Contravarianten von a und ß sind, der

— 246 —

»

Variablen (\x) einen festen Werth, so kann man diese Aus-
drücke als constant, und die Gleichung (y^) = (insofern sie
durch A und /x ausgedrückt ist) als binäre €[uadratische Function
ansehen. Dieselbe drückt alsdann irgend zwei Punkte aus,
in denen die beiden Kegelschnitte a und ß von der Geraden
(1^) geschnitten werden, d. h., wenn M und M^ die Schnitt-
punkte mit a, und N und N^ diejenigen mit ß sind, nach Aus- .
wähl eines der Punktepaare (JfJV), {MN^)y {M^N\ (M^N^).
Ist die Discriminante dieser quadratischen Form gleich Null,
so fällt eins dieser Punktepaare in einen einzigen Punkt zu-
sammen; d. h.: die Gerade {\x) geht durch einen der vier
Schnittpunkte der Kegelschnitte a und /J. Man kann daher
diese gleich Null gesetzte Discriminante

(«') • iß') - C(«/3)]^ = 0,
die in Bezug auf {\x) offenbar vom vierten Grade ist, als
die Gleichung einer Curve vom vierten Grade betrachten, die
in vier Punkte (reciprok : vier Geraden) einer Ebene verfallen
ist, nämlich in die vier Schnittpu/nhte der Curven a und ß.
127. SpecieUe Fälle der Function y, — a) Es ist noch zu
untersuchen , welche besonderen Eigenschaften ein durch
y == Aa + f^jä dargestellter Curvenbüschel hat, wenn ß das
in Nr# 119 erwähnte, in unendlicher Entfernung liegende
Parallelenpaar ist. Wir bestimmen zunächst für die Punkte-
paare (-4., JB) und (CT, XJ\ in denen a und ß von einer be-
liebigen Geraden geschnitten werden, das gemeinsame har-
monische Paar. Dasselbe besteht offenbar aus dem Mittel-
punkte von A und JB, und dem unendlich fernen Punkte TJ
selbst. Da nun diese Punkte auch mit jedem Punktepaare
(^|5,) harmonisch sind, in welchem eine der Curven y von

A I B

der Geraden geschnitten wird , so ist der Punkt G = — —■ —

auch der Mittelpunkt des Paares (Ä^B^). Der Kegelschnitt-
büschel y hat also die Eigenschaft , dass alle Sehnen y welche
von einer beliebigen Secante auf seinen Curven abgeschnitten
werden, denselben MittelpunJct haben. Zieht man nun beliebige
Secanten durch den Mittelpunkt M einer dieser Curven, so
werden die zugehörigen Sehnen dieser, und mithin auch der
übrigen Curven, in M halbirt; d. h.: M ist der gemeinsame
Mittelpunkt aller Curven des Büschels. Vermöge beider Eigen-

— 247 —

Schäften bezeichnet man diese Curven als ähnliche und ähn-
lich liegende concentrische Kegelschnitte.

Anmerkung. Da der Mittelpunkt der Parabel der unendlich
ferne Punkt ihrer Axe ist, so werden concentrische Parabeln solche
sein, deren Axen (auch der Richtung nach) zusammenfallen.

Da die Doppellinie ß von jeder Geraden in einem Doppel-
punkte geschnitten wird, so sind auch die Schnittpunkte von
cc und ß zwei Doppelpunkte auf jener Linie; man kann daher
diese Punkte die Berührungspunkte von a und ß nennen.
Von den 6 durch die vier Schnittpunkte gehenden gemein-
samen Secanten fallen also 4 mit der Geraden ß zusammen;
die beiden anderen sind die gemeinsamen Tangenten von
a und ß, oder, da sie die Linien sind, welche a in seinen
beiden unendlich fernen Punkten berühren, die Asymptoten
von a. Betrachtet man nun die Asymptoten als Polaren des
Kegelschnittes, so sind ihre Berührungspunkte, d. h. die un-
endlich fernen Punkte, die zugehörigen Pole, und der Schnitt-
punkt der Asymptoten ist der Pol der Verbindungslinie jener
Punkte, d. h. der Pol der unendlich fernen Geraden. Hier-
nach aber fällt der Schnittpunkt der Asymptoten mit dein
Mittelpunkt der Curve zusammen. Man kann also die Asym-
ptoten eines Kegelschnitts als die von seinem Mittelpunkt aus
gezogenen Tangenten bezeichnen.

Da die gemeinsamen Tangenten von a und ß auch die*
gemeinsamen Tangenten des ganzen Büschels sind, so folgt
noch, dass alle Curven des Büschels dieselben Asymptoten haben.
Endlich kann man die Asymptoten selbst als dasjenige Linien-
paar bezeichnen, in welches einer der Kegelschnitte des
Büschels zerfällt.

6) Es ist femer zu untersuchen, welche besonderen Eigen- 128,
Schäften eine durch c = Aa-f-ft6 dargestellte Curvenreihe
hat, wenn b der in Nr. 119 erwähnte, in unendlicher Ent-
fernung liegende Doppelpunkt ist. Wir bestimmen zunächst
für die Tangenteupaare (a, V) und (m, te)," die von einem
beliebigen Punkte der Ebene an «und b gezogen werden,
das gemeinsame harmonische Paar. Nun ist jedes Paar von
senkrechten Linien in der Ebene harmonisches Polarenpaar
des Kegelschnitts 6, daher, wenn eine dieser beiden Linien
mit u bezeichnet wird, harmonisch zu dem Tangentenpaare

— 248 —

•

(u, u). Andrerseits ist dasjenige Paar senkrechter Linien,
welches die Winkel von d und 6' halbirt, mit diesem Linien-
paare harmonisch; also das gesuchte Paar. Da nun diese
Linien auch mit jedem Tangentenpaare (a,', fe/) harmonisch
sind, welches an eine der Curven c von dem gegebenen

Punkte aus gelegt wird, so ist die Linie c = — ~ — auch

die Mittelrichtung des Paares (a/, 6/). Die Kegelschnittreihe c
hat also die Eigenschaft , dass die Winkel aller Tangentenpaare,
die von einem beliebigen Punkte der Ebene an seine Curven
gezogen werden, durch dieselbe Linie halbirt werden. Diese
Halbirungslinie fällt aber (nach den in Nr. 19. 26. 32 auf-
gestellten Sätzen) mit der Halbirungslinie des Winkels der
von dem gegebenen Punkte nach den Brennpunkten dieser
Curven gezogenen Linien zusammen. Und da dies für jeden
Punkt der Ebene gilt, so folgt, dass alle Kegelschnitte der
Curvenreihe dieselben Brennpunkte haben. Vermöge letzterer
Eigenschaft bezeichnet man diese Curven als confocale Kegel-
schnitte.

Anmerkung. Da der zweite Brennpunkt der Parabel der unend-
lich ferne Punkt ihrer Axe ist, so werden confocale Parabeln solche
sein, deren Brennpunkte und Axen (auch der Bichtung nach) zusammen-
fallen.

Um diejenigen Punkte einer Curvenreihe zu finden, welche
den Asymptoten des Curvenbüschels entsprechen, erinnern
wir uns, dass die Asymptoten mit derjenigen Curve des
Büschels, welche in ein Linienpaar zerfiel, identisch waren.
Demnach sind die entsprechenden Punkte einer Curvenreihe
diejenigen y in welche eine Curve dieser Reihe zerfällt ^ d. h. das
Paar der den Curven der Beihe gemeinsamen Brennpunkte.

Wenn ferner die Asymptoten als die aus dem gemein-
samen Mittelpunkt an die Curven des Büschels gelegten
Tangenten bezeichnet wurden, so sind reciprok die Brenn-
punkte die imaginären SchnittptmMe der unendlich fernen Ge-
raden mit den Cu/rven der Beihe. (Vgl. Nr. 54.)

Legt man an zwei confocale Kegelschnitte die Tangenten
aus einem ihrer Schnittpunkte, so fällt jedes Tangentenpaar
in eine einzige Tangente zusammen, und der Winkel der
zusammenfallenden Tangenten ist für den einen Kegelschnitt

— 249 —

180®, für den andern 0®. Da beide Winkel durch dieselbe
Gerade halbirt werden, so steht die eine Doppeltangente auf
der anderen senkrecht, und man hat den Satz: Confocale
Kegelschnitte schneiden sich unter rechtem Winkel.

2) Drei Functionen zweiten Grades haben noch die ge- 129,
meinsame Covariante:

Die Gleichung

{InD =

sagt aus, dass die drei Geraden |, ly, g, d. h, die Polaren ein-
und desselben Punjctes x in Bezug auf die drei Kegelschnitte,
durch denselben PunJd gehen. Mithin ist die durch die Gleichung

aßyx^ =

ausgedrückte Curve dritten Grades der geometrische Ort für aUe
Punkte Xy welche diese Eigenschaft besitzen.

Wenn (S^Ö identisch Null ist, so besteht zwischen den
drei Functionen, deren Functionaldeterminante diese Grösse
ist, eine Zahlbeziehung (nach Nr. 73); d. h. die drei Curven
schneiden sich in denselben vier Punkten. Man hat in Folge
dessen die reciproken Sätze :

Die Pole jeder Geraden der
Ebene in Bezug auf die Curven
einer Kegelschnittreihe liegen
auf derselben Geraden ^ bilden
also eine Polreihe.

Die Polaren jedes Punktes
der Ebene in Bezug auf die
Curven eines Kegelschnitt-
büschels gehen durch denselben
Punkt, bilden also einen Po-
larenbüschel.

Haben die drei Kegelschnitte cc, /5, y einen gemeinsamen
Punkt Äy so geht nach Nr. 73 auch die durch die Functional-
determinante aßyx^==0 bestimmte Curve durch diesen Punkt;
und da für x= Ä auch aßyx'^ = ist, so ist A ein Doppel-
punkt der Curve. — Wenn ferner cc, ßj y zwei gemeinsame
Punkte {Äy B) haben, so hat die Curve dritten Grades zwei
Doppelpunkte y und zerfällt daher in die Gerade (AB) und
einen durch die Pumkte A und B gehenden Kegelschnitt , weil
andernfalls die Gerade {AB) die Curve in vier Punkten (den
beiden Doppelpunkten) schneiden würde, was nicht möglich
ist. — Wenn endlich a, /?, y drei gemeinsame Punkte {A, By C)

- 250 -

haben ^ 50 zerfällt die Curve dritten Grades aus demselben
Grunde in die drei Geraden (AB), (BC), (CA).
130. Contravarianten. Vergleichen wir die Contravarianten
der ternären mit den Invarianten der binären quadratischen
Functionen^ so zeigt sich, dass aus jeder der -letzteren eine
der ersteren hervorgeht, indem man in jeder Klammer den
Factor (\x) hinzufügt. Demgemäss können wir aus der ge-
meinsamen Invariante von drei binären quadratischen Functio-
nen folgende CoDtravariante von drei ternären quadratischen
Functionen bilden:

Clx . rit)(\x . g^) da; . ^r^) = aßy .^^ = 0.

Sie stellt hiernach eine Curve dritter Classe dar. Um ihre
Beziehung zu den drei gegebenen Kegelschnitten kennen zu
lernen, nehmen wir (wie an entsprechender Stelle in Nr. 124)
an, dass

sei. Dann ist wieder

(\x . rjt) = (vi)] (|a; . g^) = a^)5 (\x . »v) ^ (^v).
Die Gleichung der Contravariante wird

und diese Gleichung sagt aus, dass die Punktepaare «, j8, y,
in denen die gleichbenannten Curven von der Linie (\e^) ge-
schnitten werden, involutorisch sind. (Nr. 96.) Demnach ist

die Gleichung

aßy^^ =

die Bedingung dafür, dass die drei Kegelschnitte a, ß, y von
der Linie ^ in involutorischen Punhtepaaren geschnitten werden,
und man hat die reciproken Sätze:

Alle Geraden, welche von drei
gegebenen Kegelschnitten in in-
volutorischen PunJctepaaren ge-
schnitten werden, umhüllen eine
Curve dritter Klasse.

Alle Punkte, in denen sich
involutorische Tangentenpaare
dreier Kegelschnitte schneiden,
liegen auf einer Curve dritten
Grades.

Die Massbezi ehnngen in der Ebene«

131. Im zweiten Abschnitte der Einleitung (Nr. 5 ff.) wurde
gezeigt, dass die Entfernung zweier Punkte auf einer Ge-'

— 251 —

raden als specieller Fall des Richtungsunterschiedes zweier
Geraden in der Ebene, und ^ie Gleichheit zweier Strecken
als harmonische Beziehung ihrer Endpunkte auf ein Griiud-
gebilde (den unendlich fernen Punkt) betrachtet werden kann.
Mit Hilfe der nunmehr beendeten Theorie der Kegelschnitte
können wir jetzt analoge Betrachtungen im Gebiete der Ebene,
wie dort im Gebiet der Geraden anstellen.

Es seien e^, Cj, e^ drei auf einander senkrechte Radien
einer Kugel, und {e^e^e^ = J.

Femer seien x und y zwei andere beliebige, vom Mittel-
punkte der Kugel ausgehende Strecken, und

y = li^e^ +f*2^2 + f*3^3-

Wenn dann %• der Winkel zwischen x und y ist, so hat man
(„Raumlehre^' Nr. 154) folgende Beziehungen:

+ {h^\ ~^if*3)(e3^i);
{x\y) = A,/iAi + ^2f*2 + hN\

Vi^l f^2 — ^2f*l)^ + ('^2^*3 — 'l3f*2)''^ + (^3^*1 — '^1^3)^

= A'+ V+ V • Vi^Mn^^TJ? . sin ^;

^lf*l+^2f*2+'^3f*3 = ^V+V+V • Vl^i^+l^2^+f^3' • cos #5

mithin in abgekürzter Bezeichnung:

(1) sin*=-£^^^; cos^ = ^M

j/x^ . j/y^ l/x'- . Vy^

wodurch -9* als arcus sinus des einen, oder als arcus cosinus
des anderen Ausdrucks bestimmt ist.

Betrachten wir nun die Strecke y als constant, x als
variabel, so repräsentirt die Gleichung

(2) j/(5^ =

eine Radialstrecke, welche mit y zusammenfällt, da sin & =
ist (oder auch weil aus dieser Gleichung folgt: {xy) == 0).
Und die Gleichung

(3) (a;|y) =

stellt jede Radialstrecke vor, welche auf y senkrecht steht

— 252 —

(aus analogen Gründen), d. h. die auf y senkrechte Ebene
des grössten Kreises.

Betrachtet man endlich in den Gleichungen (1) y und 0-
als constant, so repräsentirt jede dieser Gleichungen alle jene
Streckenpaare x^ welche von y um den Winkel -ö* abweichen,
d. h. die Fläche eines geraden Kegels von kreisförmiger Basis,
dessen Spitze in das Kugelcentrum fällt, dessen Axe die
Strecke y, und dessen Winkel an der Spitze für jeden Axen-
schnitt 2%^ ist. Jeder Axenschnitt trifft hiernach die Kegel-
fläche in zwei Seitenlinien, welche harmonisch sind mit y
und mit der Linie, in welcher die Ebene (3) durch den Axen-
schnitt getroffen wird.

Für verschiedene Winkel %^ erhält man verschiedene
Kegelflächen, die durch einen gemeinsamen Axenschnitt in
involutorischen Linienpaaren geschnitten werden.

Es seien ferner | und i^ zwei beliebige Flächentheile,
deren Ebenen durch den Mittelpunkt der Kugel gehen. Wir
können dieselben als Ergänzungen der auf ihnen senkrecht
stehenden Badialstrecken betrachten, und aus den Ergänzungen
der Strecken e^^e^y e^ ableiten. Demnach sei:

r] = m^ \e^ + mjjcj + 'nfh\e^*

Wenn dann '9'' der Neigungswinkel der Ebene ^ und der
Strecke x ist, so erhält man die zu (1) analogen Formeln:

(la) 8iiiy= A'">'^^ ; cos #' = -^^t^- ,

worin

(xri) = A,«^, + ^2^2 + A3 mg-,
{x\7i) = (Aj ^2 — A2m,)(e,e2) + (A2m3 — A3 ^2) (62^3)

ist.

Betrachten wir r^ als constant, so repräsentirt die Glei-
chung j/(xi])^ = alle in i] liegenden Radialstrecken a;, d. h.
die Ebene rj selbst; und {x\fjD = die auf rj senkrecht
stehende Radialstrecke. Ferner drückt jede der Gleichungen
(la) für constantes rj und d'' alle Paare x aus, welche mit iy'
den Winkel %•' bilden, d. h. eine Kegelfläche, deren Spitze

— 253 -

im Kugelcentrum liegt, deren Axe die auf 1/ senkrecht stehende
Radialstrecke 9 und deren Winkel an der Spitze für jeden
Axenschnitt 2R — 2-9'' ist. Die weiteren Folgerungen sind
ganz analog denen des vorigen Falles.

Wenn endlich •9'" der Neigungswinkel der Ebenen § und iy
ist, so hat man:

(Ib) sin r = /l^ ^^^_ ; cos ^''= --iM^ .

Die Werthe von (li^)- ^^^ (S|^) geh^n aus denen für
{xy)~ resp. {x\y) hervor, wenn man darin die griechischen
Buchstaben durch die entsprechenden lateinischen ersetzt.

In der geometrischen Deutung treten Ebenen, dip durch
den Kugelmittelpunkt gehen, an die Stelle der Radialstrecken,
und umgekehrt. Für constantes vi und -9'" stellt jede der
Gleichungen (Ib) die Gesammtheit der Ebenen dar, welche
eine Kegelfläche umhüllen, die von gleicher Beschaffenheit
ist, wie die vorige.

Bisher war die Grösse der Strecken x und y, und die 132.
der Flächentheile | und ri unbestimmt gelassen. Bestimmen
wir dieselben zuerst durch die Gleichungen:

V+V+V=i; f*i' + f*2' + f*3' = 1 ;

Dann liegen die Endpunkte der Strecken x und y auf der
Kugelfläche, und die Ränder der Flächentheile | und ri sind
grosste Kugelkreise. Bezeichnen wir die Endpunkte ebenso
wie die Strecken, und die Kugelkreise ebenso wie die Flächen-
theile, so ist O* das Mass für den Abstand der Punkte x und y\
%'' das Mass für den Abstand des Punktes x von dem Kreise 1^;
'9'" das Mass für den Abstand der Kreise | und iy. — Es wird
femer die Kegelfläche, deren Winkel an der Spitze oben gleich
20' gefunden wurde, von der Kugelfläche in einem Kreise x
geschnitten, dessen Punkte alle von y gleichweit entfernt sind,
während die beiden Punkte x, deren Abstand von y durch O*
ausgedrückt ist, die Endpunkte eines Durchmessers sind. Und
auf dem grössten Kugelkreise, welcher durch einen Axen-
schnitt des Kegels bestimmt ist, wird der Punkt y nebst (^em
einen der um 90® von ihm entfernten (durch {x\y) = be-
stimmten) Punkte ein harmonisches Polenpaar des Kreises tc

— 254 —

bilden.' Ueberhaupt wird man zu jedem Punkte auf der
Peripherie des Axenschnittes den zugeordneten harmonischen
Pol in Bezug auf x bestimmen können, und ebenso zu jedem
Punkte X auf der Eugelfiäche die Polare | in Bezug auf x.
Wie in der Ebene auf einer durch x gelegten yariablen Ge-
raden der zu x zugeordnete harmonische Punkt eine Gerade
(die Polare von x) durchläuft, so kann man auch festsetzen,
dass in der Eugelfiäche auf einem durch x gelegten variablen
grossten Eugelkreise der zu x zugeordnete harmonische Punkt
einen grossten Eugelkreis beschreibe. Die Polare von x ist
hiemach derjenige grösste Eugelkreis, welcher auf dem durch
X bestimmten Radius senkrecht steht, fällt also mit der Peri-
pherie 3er Ergänzungsfläche von x zusammen. — Da nun die
Polare von x vollständig bestimmt ist, so ist durch diese Fest-
setzung auch der Ereis x bestimmt. Und zwar ist jedes Paar
von Punkten auf der Eugelfiäche, dessen Abstand 90® beträgt,
ein Polenpaar, und jedes Paar von senkrecht auf einander
stehenden grossten Eugelkreisen ein Polarenpaar dieses Erei-
ses. Wenn wir nun in den Formeln (1), (la), (Ib) die Grossen
X und y, wie schon oben festgesetzt, als Punkte auf cler
Eugelfiäche betrachten, und die Grössen | und ri als ihre
resp. Polaren in Bezug auf x, so haben wir, da diese Polaren
die Ergänzungen von x resp. y sind , in den Ausdrücken für
I und ri nur die Grössen l und m resp. durch A und ^n zu
ersetzen. Dann aber wird:

{xy) = {x\ri) = {Iri)',
(x\y)= {xri) =(lh);

folglich :

sin %" = cos -9*' = sin O*";
cos %- = sin %•' = cos -O"";
^ = -9."; ^' = 900 — ^.

In Worten: Der Abstand zweier Pv/nkte auf der Kugdfläche
ist gleich dem Abstand ihrer Polaren; der Abstand zweier
grösster Kugdhreise ist gleich dem Abstand ihrer Pole; der
Abstand eines Punktes von einem grossten Kugetkreise ist das
Cott^plement seines Abstandes vom Pol des Kugelkreises, oder
das Complement des Abstandes seiner Polare von dem Kugd-
kreise. — Das erstere dieser beiden Gomplemente ist, wie

- 255 -

noch zu bemerken ist, gleich dem Abstände des Punktes von
demjenigen Punkte des grössten Kugelkreises, in welchem
dieser letztere von einem durch den gegebenen Punkt gelegten
Kugelkreise senkrecht geschnitten wird.

Wir nehmen nun an, dass, während der Punkt y fest 133,
bleibt, der Mittelpunkt der Kugel in unendliche Entfernung
rückt, und wollen alle bei Betrachtung der Kugeloberfläche
erhaltenen Resultate für diesen Fall specialisiren. Zunächst
geht die Kugelfläche selbst in eine Ebene über, und ihre
grössten Kugelkreise in gerade Linien, die sich unter den-
selben Winkeln schneiden, wie jene. Der Kreis x, in Bezug
auf welchen die Begriffe „Pol" und „Polare" anzuwenden
sind, hat die Eigenschaft, dass jedes Paar von senkrecht auf
einander stehenden Geraden ein Polarenpaar für ihn ist;
mithin ist er der in Nr. 119 besprochene unendlich ferne
Doppelpunkt-Kegelschnitt. Es ist ferner %'y der Abstand der
Punkte X und y, die gerade Strecke zwischen diesen Punkten;
^'y der Abstand des Punktes x von der Geraden tj, ist, wie
aus der vorhin gemachten Bemerkung ersichtlich, gleich dem
Abstand des Punktes x von demjenigen Punkte der Geraden i],
in welchem diese letztere von einer durch x gelegten Geraden
senkrecht geschnitten wird. (Mithin ist dieser Fall auf den
vorigen reducirt.) Dagegen lässt sich O*", der Abstand der
Geraden | und i^, nicht durch den Abstand zweier Punkte
ausdrücken. Denn da die Polare jedes Punktes der Ebene
in Bezug auf x die unendlich ferne Gerade ist*); so ist auch
der Pol jeder Geraden eiü unbestimmter Punkt auf jener Ge-
raden*, es liefert daher die Regel, dass der Abstand zweier
Geraden gleich demjenigen ihrer Pole ist, kein bestimmtes
R,esultat mehr.

Da nun in der Ebene jeder Punkt x schon aus zwei
Einheiten, nämlich aus zwei mit x in derselben Geraden
liegenden Punkten e^ und e^ abgeleitet werden kann (deren
Entfernung man als Masseinheit für die Entfernung zweier

*) Da man die beiden unendlich fernen Funkte k auf jeder Ge-
raden der Ebene in entgegengesetzter Richtung liegend annehmen kann,
80 ist in der That jeder Punkt der Ebene Mittelpunkt von x, also seine
Polare die unendlich ferne Gerade.

-r 256 —

Punkte betrachten kann); und da ebenso in der Ebene jede
Gerade | schon aus zwei Einheiten (|ßj und ({^2)9 nämlich
zwei auf einander senkrechten Strecken abgeleitet werden
kann (deren -ßichtungsunterschied man als Masseinheit für
den Richtungsunterschied zweier Geraden betrachten kann);
so wird man die Formeln (1), (la), (Ib) auf diese einfacheren
Gruppen von Einheiten beziehen, wenn man in den Ab-
leitungsformeln für X, y, %, rj, die mit dem Index 3 versehenen
Zahlen gleich Null setzt. Dadurch nehmen jene Formeln die
einfachere Gestalt an:

sin ^ = 77T¥T=fT iZ-Tj-TTi; C08^ =

(4a) sm V = ,y = — ■-. — ; cos ir = ,,— - — tt^^^ — :

Die Formeln (4) sind nun identisch mit den Formeln (1) in
Nr. 5, und es greifen alle an jener Stelle aus diesen Formeln
gezogenen Folgerungen Platz, namentlich auch die, dass die
Masseinheit willkürlich wird. — Die Formeln (4a) können
auf die vorigen reducirt werden, da die Gerade iy, wie oben
gezeigt, darin durch einen Punkt ^ = ViCi4"^2^2 einsetzt
werden kann. — Nur die Formeln (4b) können nicht weiter
vereinfacht werden; 0*" ist der Richtungsunterschied der bei-
den Geraden, und der rechte Winkel bleibt die Masseinheit,
wie in Nr. 7 ausführlicher dargethan ist.

Anmerkung. Der Uebergang von dieser Darstellung zu der ger
wohnlichen (vgl. Anm. zu Nr. 7} erfolgt durch die Substitutionen:

^i^ftaJi+ftÄg+jJgira; X^-^n^i+nx^+yzXj^^ h^S^x^-^-d^x^+Sj^Xs^,

y'i^^ßiVi+ßiyt+ßsysi /«2==yiyi+y82/i+ysy3; /*8=<yiyi+^«y«+^3ys-

Dann ist

x^xiSi + XfSt + xjiSs* y=^yt^i + ytH + ysh'

Setzt man ferner

ßi^ + yi' + *i* — «11 |5iP2 + yiya + ^1*2 = «« _

ft' + y2' + *2' = «22 ßfßs + y2y8 + ^2*3 = «23 (fl''2^3) = K^,
fe* + ys' + *3' = «33 ftPl + ßißft + ftfe = «31

60 ist:

— 257 —

^i* + V + V = «.^^• f^i^ + i"2' + H^ = ay';

;.,.u, + ^2112+ A3U3=»a«.y;

(Xi(i2 - A2.tt,)» + (^2 «3 - hl^i? + ihl^i — ^l.tt3^' = (Xy)^.

Demnach :

sm* -0- =- -—-- — 5- ; cos* '0' = -^-5 — ^ .
Sei ferner:

I ==ll!fl + l2>2 + l3U3; «7 = ^l!«! + 1?2if2+»?3'^3;

SO ist entsprechend:

(XTi)^

sin* -O"' =

aa;* . arj^

ag* . arj^ ag^ . a?j*

worin

(XTj) = a?,??t(8, 1 «,) 4- .'r2J72(f2i f2)+^'<^3'73(f3! «3) = Kl>(a;,i?,+a;2i?2+a:3??3),

und a in dem in der Anm. in Nr. 121 festgestellten Sinne gebraucht ist.
Hiermit sind in kürzester Bezeichnung diejenigen Formeln hergestellt,
deren weitere Specialisirung die Ausdrücke des Abstandes zweier Punkte,
eines Punktes und einer Geraden, zweier Geraden liefert. Diese Spe-
cialisirung mag hier übergangen werden, da sie keine, für die Aus-
dehnungslehre characteristischen Momente bietet, und nach Analogie
der Anmerkung zu Nr. 7 leicht ausgeführt werden kann.

Berichtigungen.

S. 12. Z. 20. V. u. sind die Worte „wenn — setzen** zu streichen.

S. 59. Z. 8 V. 0. lies „c'* statt ,,|)".

S. 144. Z. 10 V. 0. lies „dann" statt „denn**.

S. 162. Z. 7 V. u. gehören die Punkte TOr |^ in den Exponenten.

Schlegel, Klement«. 17

Verzeichniss der erklärten Ausdrücke.

Nr. 1

•

Nr.

Absolute Invariante

109

Centrum der Involution

37

Adjungirtes System

65

— harmonisches 90. 99.

105

Aehnlichkeit

43

— 1. Ordnung d. Kegelschnitte

115

— symmetrische

43

Character der Covariante

78

Aehnlichkeitsaxe

57

Circuläre Multiplication

13

Aehnlichkeitspolare

58

CoUinearität

42

Aehnlichkeitspunkt

56

Complexe Multiplication

15

Aequianharmonische Gebilde

47

Concave Seite der Ellipse

18

Aeussere Multiplication

15

der Hyperbel

25

Affinität

43

der Parabel

31

Algebraische Mulüplication

15

Concentrische Kegelschnitte

127

Alternirende Function

64

Concomitante

80

ApoUonisches Problem

58

Confocale Kegelschnitte

128

Asymptoten der Hyperbel

25

Congruente Determinante

64

Asymptotenwinkel

26

Cougruenz

43

Axen der Ellipse

17

— symmetrische

43

— der Hyperbel 23

►. 24

Conjugirte Durchmesser d. Ellipse 22

Axe der Parabel

^30

— — der Hyperbel

29

Contravariante

82

Berührung von Kreis u. Ellipse

18

Convexe Seite der Ellipse

18

— von Kreis und Hyperbel

25

der Hyperbel

25

— von Kegelschnitten

126

der Parabel

31

Berührungssecante

58

Covariante

78

B^zout-Cayley'sche Methode

71

— unabhängige

87

Brennpunkt der Ellipse

17

Curve

113

— der Hyperbel

24

— der Parabel ^

30

\ Determinante

59

— der Involution

37

— congruente

64

Brianchon'sches Sechseck

48

— Hesse'sche

74

Brianchon'scher Punkt

48

— reciproke

65

— symmetrische

64

Canonische Form

90

Directrix der Ellipse

20

Centrale harmonische

114

— der Hjrperbel

27

Centralpunkt

54

— der Parabel

32

259

Nr.

Nr.

Discriminante

110

Involution

37

Doppelpunkte der Involution

37

1

— von 5 Punkten

37

— homologe

56 ; Involutor. Geradenverein

39

Doppelsecante , homologe

56

— Punktreihe

37

Durchmesser der Ellipse

17

— Punktverein

39

— der Hyperbel

24

— Stralenbüschel

37

— der Parabel

30

f

Kegelschnitte

113

Ellipse

17

— concentrische

127

Excentricität der Ellipse

21

— confocale

128

— der Hyperbel

28 Kegelschnlttbüschel

125

; Kegelschnittreihe

125

Formensystem

87

V

Functioualdeterminante

72

Leitcurve der Ellipse

17

Function, altemirende

64

— der Hyperbel

23

Leitlinie der Parabel

30

Gerade, Hesse'sche

49

Leitpunkt der Ellipse *

17

— Steiner'sche

51

— der Hyperbel

23

— unendlich ferne

4

— der Parabel

30

Geradenverein , involutorischer

39

Leitstralen der Ellipse

17

— projectivischer

46

— der Hyperbel

24

Gesammt-Üeberschiebung

85

— der Parabel

30

Grad der Covariante

78

Lineale Multiplication

14

Linie, Pascal'sche

48

Harmonie

36

Lücke

8

Harmonische Centrale

114

— Centrum 90. 99.

105

Mittelpunkt der Ellipse

17

— Pol des Kreises

55

— der Hyperbel

24

— Pol des Kegelschnitts

114

— der Parabel

30

— Polare des Kegelschnitts

115

Modulus der Transformation

62

— Punktreihe

36

Multiplication , äussere

15

— Stralenbüschel

36

— algebraische

15

Hauptaze der Hyperbel

23

— circuläre

13

Hauptzahl des Quotienten 41

. 42

— complexe

15

Hesse'sche Determinante

74

— innere

15

— Gerade

49

— lineale

14

— Punkt

51

— symmetrische

12

Homologe Punkte

56

Multiplicationstheorem d.Determ. 6 1

— Secanten

56

Hyperbel

23

Nebenaxe der Hyperbel

24

Normale Substitution

63

Imaginäre Schnittpunkte

54

Inhaltsgleichheit

43

Ordnung der Covariante

78

Innere Multiplication

15

Originalsystem

62

Invariante

79

Orthogonale Substitution

63

^ — absolute

109

Orthogonalkreis

54. 57

260

Nr.

Nr.

Parabel

30

Reciprokalcurve

121

Parameter der Ellipse

20

Reciprokaldeterminante

65

-— der Hyperbel

27

Reciproke Substitution

80

— der Parabel

32

Resultante 68

. 95

Pascal'sche Tiinie

48

■

— Sechaseit

48

Scheitel der Parabel

31

Perspectivität

45

Schnittpunkt , im aginär er

54

Perspectivische Punktreihen

45

Secante, homologe

56

— Stralenbüschel

45

Sechseck , ßrianchon'sches

48

Pol, harmonischer, des Kreises

55

Sechsseit, Pascarsches

48

des Kegelschnitts

114

Spitzwinklige Hyperbel

26

Polare, harmonische, des Kegel-

Stammform

87

schnitts

115

Steiner'sche Geraden

51

Polarenbüschel

129

— Punkte

49

Polargleichung der Ellipse

21

Stralenbüschel, harmonischer

36

— der Hyperbel

28

— involutorischer

37

— der Parabel

33

— ^ perspectivischer

45

Polreihe

129

— projectivischer

44

Potenzlinie

53

Stufenzahl der Covariante

78

Potenzpunkt

57

Stumpfwinklige Hyperbel

26

Potenz werth des Quotienten 41

. 42

Substitution, orthogonale

63

Projectivität

44

— reciproke

80

r

Projectivischer Geradenverein

46

Substitutionsdeterminante

62

— JPunktreihe

44

Sylvester's Methode

69

— Punkt verein

46

Symmetrische Determinante

64

— Stralenbüschel

44

— Multiplication

12

Punkt, Brianchon'scher

48

— Hesse'scher

51

Tangente der Ellipse

18

— homologer

56

— der Hyperbel

25

— Steiner'scher

49

der Parabel

31

— unendlich femer

2

— gemeinsame, zweier Kreise

56

Punktreihe, harmonische

36

Tangentialgebilde

81

— involutorische

37

Theile der Ueberschiebiing

85

— perspectivische

45

Transformirtes System

62

— projectivische

44

Tra.n8position

59

Punktverein , involutorischer

39

— projectivischer

46

Ueberschiebung

84

Unendlich ferne Geraden

4

Quotient 41

. 42

— ferne Punkte

2

ünterdeterminante

65

Radius Vector der Ellipse

17

der Hyperbel

24

Verwandtschaft 41

. 42

der Parabel

30

Rechtwinklige Hyperbel

26

Zwischenform

80

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